УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


Резонанс

Рассмотрим одномерную динамическую систему, поведение которой во времени t_{} подчиняется второму закону Ньютона

m\cdot a(t)= F(x(t), v(t), t)\ ,

где, например, в случае описания поведения механического объекта, a_{} может означать его ускорение, а F_{} — действующую на него силу; последняя, в общем случае, может зависеть как от координаты x_{} объекта так и от его скорости v_{}. Для простоты будем считать m_{} = 1_{}. С точки зрения теории дифференциальных уравнений, поведение системы описывается дифференциальным уравнением второго порядка:

\frac{ d\,^2 x }{d\, t^2}=F \left(x(t), \frac{ d\, x(t) }{d\, t}, t \right) \ ,

которому еще «придаются» либо начальные условия:

x(t_0)=x_0, v(t_0)=\frac{ d\, x(t) }{d\, t}\bigg|_{t=t_0}=v_0

(известны положение тела и его скорость в момент времени t_0), либо граничные условия:

x(t_0)=x_0, x(t_1) = x_1 \quad npu \quad t_0 \ne t_1 \ .

Доказывается, что для подавляющего большинства встречающихся на практике функций F_{} (например, для полиномов ) дифференциальное уравнение имеет решение: существует бесконечное множество функций x(t), при подстановке каждой из которых в уравнение последнее обращается в тождество по t_{}; в этом бесконечном множестве можно выбрать функции, удовлетворяющие либо заданным начальным условиям, либо заданным граничным условиям; наконец, гарантируется единственность выбранных решений, удовлетворяющих этим условиям.

П

Пример. Уравнение

\frac{ d\,^2 x }{d\, t^2}=-\omega_0^2 x(t)

при постоянной вещественной величине \omega_0 \ne 0 описывает поведение большого количества механических систем1). Множество решений этого уравнения имеет вид

x(t)=A\cos (\omega_0 t)+ B \sin (\omega_0 t)

при произвольных постоянных \{A,B\} \subset \mathbb R. При любом выборе начальных данных существует решение уравнения, оно будет периодическим по t_{} с периодом 2\pi/\omega_0. Например,

\begin{matrix} npu \ x(0)=1, d\, x / d\, t |_{t=0}=0: \quad & & x(t)= \cos (\omega_0 t) ; \\ npu \ x(0)=0, d\, x / d\, t |_{t=0}=1: \quad & & x(t)= 1/\omega_0 \sin (\omega_0 t) ; \\ npu \ x(0)=0, d\, x / d\, t |_{t=0}=0: \quad & & x(t)\equiv 0 . \end{matrix}

В случае механической системы, о получившихся решениях говорят как о свободных колебаниях — их амплитуда и частота остаются неизменными с течением времени2).

Теперь рассмотрим более сложный пример.

П

Пример. Уравнение

\frac{ d\,^2 x }{d\, t^2}=-\omega_0^2 x(t) + \sin(\omega_1 t)

при постоянных \{\omega_0,\omega_1\} \in \mathbb R, \omega_0 \ne 0, описывает поведение объекта, на которого оказывается воздействие; это воздействие — периодическое и ограниченное по величине. Решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям x(0)=1, d\, x / d\, t |_{t=0}=0, имеет вид:

x(t)=\frac{1}{\omega_0(\omega_0^2-\omega_1^2)}\left(\omega_0\sin(\omega_1\,t)-\omega_1\sin(\omega_0\,t) \right)+\cos(\omega_0\,t) \ .

При \omega_1\ne \pm \omega_0 это решение остается ограниченным по t_{}, хотя периодичность его уже не гарантируется — ниже приведены графики решений для случая \omega_0 =1 и при выборе \omega_1 =\sqrt{2}, а также \omega_1 = 2/5:

Колебания описываются уже двумя частотами — наряду с \omega_0 возникает еще и частота \omega_1 возбуждающей силы. Приведенная формула решения позволяет заметить, что, хотя амплитуда колебаний и остается ограниченной, но при при сближении этих двух частот \omega_0 и \omega_1, амплитуда становится все большей. Что происходит при совпадении частот? Формулу для решения приходится заменять на

x(t)=\frac{1}{2\omega_0^2}\left(\sin(\omega_0 t)- \omega_0\, t \cos (\omega_0\, t) \right) + \cos (\omega_0 \, t)\ .

И это решение перестает быть ограниченным по t_{}:

Аналогичное поведение будет наблюдаться даже в случае, когда изначально система находилась в покое — при x(0)=0, d\, x / d\, t |_{t=0}=0 решение имеет вид:

x(t)= \frac{1}{2\omega_0^2}\left(\sin(\omega_0\, t)-\omega_0 t \cos(\omega_0\,t)\right) \ ;

характер поведения его графика идентичен предыдущему.

Это явление — возникновение в системе колебаний неограниченной амплитуды при воздействии на нее силы ограниченной по величине — называется резонансом. Практическая значимость этого явления очевидна: подвергая изначально неподвижное тело, закрепленное на пружине, периодическим воздействиям — определенной частоты \omega_1 хотя и сколь угодно малой фиксированной амплитуды — мы вынудим колебаться тело с такой амплитудой, которая разорвет пружину3). В случаях более сложных систем — с несколькими степенями свободы — уравнения движения записываются c помощью систем уравнений второго порядка, например в виде

\left\{ \begin{array}{ccc} d\,^2 x_1 / d\, t^2 &=& a_{11}x_1+a_{12}x_2 \ , \\ d\,^2 x_2 / d\, t^2 &=& a_{21}x_1+a_{22}x_2 \ ; \end{array} \right.

или же, в общем случае, в матричной форме записи:

\frac{ d^2\, X}{ d\, t^2}=A\, X \qquad при заданной матрице \qquad A= \left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right)\ \quad и столбце переменных \quad X= \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) \ .

При матрице A_{}симметричной и отрицательно определенной любое решение системы будет ограниченным; оно может быть представлено в виде линейной комбинации синусов и косинусов от \Omega_1 t,\dots, \Omega_n t, где \Omega_j означает квадратный корень из собственного числа матрицы A_{}, взятого с противоположным знаком. Эти величины \{ \Omega_j \}_{j=1}^n называются собственными частотами колебаний системы и мы предполагаем их различными и несоизмеримыми.

Если в какое-то из уравнений системы ввести дополнительное слагаемое, представляющее собой периодическую возбуждающую силу, то резонансных частот для этой силы будет уже несколько — как раз \{ \Omega_j \}_{j=1}^n.

Акустический резонатор

или резонатор Гельмгольца4) — сосуд сферической формы с открытой горловиной. Служит для выделения или подавления определенных частот в звуковых сигналах. Воздух в горловине является колеблющейся массой, а объем воздуха в сосуде играет роль упругого элемента. При смещении этой массы, например, в сторону сферического объема воздух в этом объеме слегка сжимается и возникающие силы избыточного давления выполняют роль возвращающей силы.

Оригинал фотографии ☞ ЗДЕСЬ











Упрощенная модель резонатора учитывает колебания воздуха только в горловине, поскольку эти резонаторы имеют применения только в слышимом диапазоне частот5). В этом предположении собственная частота колебаний воздуха в горловине (или частота резонатора Гельмгольца) равна

\omega_0= c \sqrt{\frac{S}{V\ell}} \ ,

где c_{} — скорость звука, S_{} — площадь поперечного сечения горловины, \ell_{} — ее длина, V_{} — объем колбы резонатора.

П

Пример. При V=10^{-3} м^3, S=1 см^2, \ell = 1 см, c = 334 м/c получаем частоту

F= \frac{\omega_0}{2\pi} \approx 168 Гц \ .

Если имеется источник (генератор) периодических звуковых колебаний, то при частоте этих колебаний близких к собственной частоте резонатора происходит либо резкое усиление звука, либо его практически полное исчезновение.

§

Череп человека, являясь замкнутой полостью с отверстием, также представляет собой резонатор Гельмгольца. По некоторым данным, резонансной областью для него являются частоты 20-25 Гц. Как известно, облучение человека звуковыми колебаниями частотой 25 Гц в течение 30 минут при определенной интенсивности источника вызывает эпилептический припадок.


Источники.

Алешкевич В.А., Деденко Л.Г., Караваев В.А. Колебания и волны. Лекции. Изд-во физического факультета МГУ. 2001. Текст ☞ ЗДЕСЬ
Шихатов А.И. Акустические резонаторы. Ж-л. «Мастер 12 Вольт». 2004. Текст ☞ ЗДЕСЬ
1) Например, колебания маятника или тела на упругой пружине.
2) Понятно, что такое возможно только в идеальном случае, т.е. при отсутствии потерь энергии на трение воздуха, нагревания пружины и т.п.
3) А порывы ветра смогут разрушить мост.
4) фон Гельмгольц Герман Людвиг Фердинанд (Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz, 1828-1894) — немецкий математик, физик, биолог и психолог, основатель математической теории акустики. Биография ☞ ЗДЕСЬ.
5) Хотя при расширении диапазона возбуждающих колебаний в ультразвуковую сторону можно возбудить стоячую волну и в самой колбе.

2011/02/09 22:53