УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


!

Весь материал настоящего раздела очень «сырой»: я только начал разбираться с тематикой.

Теория сигналов

Сигналы

В наиболее общей формулировке, сигнал — это зависимость одной физической величины от другой. Это может быть зависимость напряжения от времени, звука от времени, цвета от координат точки на изображении: и т.д. Строгим математическим языком: сигнал — это функция от одной или нескольких переменных и имеющая значения во множестве, которое также описывается одной или несколькими величинами (параметрами). При этом области определения функции могут быть также различными по структуре: например, сигнал может быть определен (известен) при всех вещественных значениях времени, а может быть задан только в дискретном (конечном или бесконечном) наборе моментов. Первое задание эквивалентно заданию функции s(t), второе — последовательности s_0,s_1,s_2,\dots,s_k или \dots, s_{-k},s_{-k+1},\dots,s_0,s_1,s_2,\dots В первом случае говорят об аналоговом сигнале, во втором — о дискретном. На практике дискретные сигналы возникают при преобразовании аналогового сигнала в дискретную форму: при выборе последовательности равноотстоящих моментов времени полагают

s(nT)=s_{n} \ .

Число T_{} называют шагом дискретизации, а число 1/T — частотой дискретизации, число s_nnотсчетом, в теории сигналов его принято обозначать s[n]. В настоящем разделе мы, как правило, будем рассматривать последовательности «бесконечные в обе стороны» и будем обозначать их либо \{s_n\} либо — в контексте теории сигналов — \{s[n]\}, считая при этом индекс n_{} «пробегающим» все множество целых чисел \mathbb Z_{}.

Дискретные системы

С математической точки зрения, система с дискретным временем определяется как преобразование, переводящее входную последовательность (сигнал) \{x[n]\} в выходную последовательность \{y[n]\}; последняя называется откликом или реакцией системы. Будем обозначать системы каллиграфическими прописными буквами:

\{y[n]\}= \mathcal A \{x[n]\} \ .
§

С физической же точки зрения, систему с дискретным временем можно представлять как «черный ящик» , на вход которого подаются разные дискретные сигналы: например, с интервалом в одну секунду вбрасываются одинаковые или различные монетки, и иногда нажимается кнопка «зачислить»; на выходе же, также с интервалом в одну секунду, происходят какие-то действия: выдача товаров, напитков, сообщений и т.п. Представьте теперь, что инструкция по работе аппарата утеряна и закономерность, связывающая «вход» с «выходом», неочевидна: аппарат может даже выдавать товары «в долг» (в рассчете на честность клиента), возможна и ситуация, когда «вход» и «выход» не связаны причинно-следственными связями (например, аппарат сломался и выдает товары даром или же не выдает их вовсе).

Задача. Описать работу системы с дискретным временем, имея возможность провести (как правило, конечный) набор испытаний, т.е. на основе знания конечного набора пар «вход-выход» \{x[n]\} \mapsto \{y[n]\} предсказать работу системы для произвольного входного сигнала.

П

Пример. Идеальная система задержки (ИСЗ) определяется формулой

y[n]=x[n-n_d] \quad npu \quad n \in \mathbb Z \ .

Целое число n_d считается фиксированным и называется задержкой системы1). Если n_d > 0 то ИСЗ сдвигает сигнал вправо (по времени) на n_d отсчетов, т.е. реально задерживает сигнал; при n_d < 0 — последовательность сдвигается влево, т.е. выступает в роли гадалки, предсказывающей будущее состояние этого сигнала.

П

Пример. Системой без памяти называется идеальная система задержки при n_d=0. Такой системой будет, например,

y[n]=x[n]^2 \quad npu \quad n \in \mathbb Z\ .

В двух предыдущих примерах реакция системы зависела только одного значения входного сигнала; следующий пример отражает более сложную ситуацию.

П

Пример. Система скользящего среднего имеет общий вид:

y[n]=\frac{1}{M_1+M_2+1} \left(x[n-M_2]+x[n-M_2+1]+\dots+x[n]+x[n+1]+\dots+x[n+M_1] \right)=
=\frac{1}{M_1+M_2+1} \sum_{k=-M_1}^{M_2}x[n-k] \ .

Она вычисляет n_{}-й отсчет выходной последовательности системы как среднее арифметическое M_1+M_2+1 отсчетов входного сигнала, расположенных вокруг n_{}-го .

Система \mathcal A_{} называется линейной если она удовлетворяет свойству линейности

\mathcal A \{\alpha u[n] + \beta v[n]\} = \alpha \mathcal A \{u[n] \} + \beta \mathcal A \{v[n]\}

при любых входных сигналах \{u[n]\} и \{v[n]\} и любых константах \alpha, \beta.

§

Строгим математическим языком: \mathcal A является (линейным) оператором, действующим в линейном пространстве последовательностей. И для описания этих операторов мы могли бы прекрасно обойтись аппаратом, разработанным для этой задачи в линейной алгебре — именно, теорией матриц. Если бы только не одно неприятное обстоятельство. Линейная алгебра имеет дело с конечномерными пространствами, т.е. с объектами (векторами), описываемыми конечным набором параметров (измерений, координат). В теории сигналов приходится же рассматривать бесконечномерные линейные пространства… :-( Теперь представьте себе бесконечную матрицу, причем бесконечную «во все стороны» — не только влево и вправо, но и вниз и вверх. Представили? — А теперь представьте, что нужно найти обратную к ней! Разумеется, математики не опустили в бессилии руки, и бесконечные матрицы рассматривают,… однако инженеры пошли собственным путем.

?

Какие из приведенных выше систем будут линейными?

П

Пример. Система, определяемая уравнением

[ Parse error 1: y[n]=\sum_{k=-\infty}^n x[k] \quad npu \quad n \in \mathbb Z\ , ]

называется сумматором. Она является линейной.

Система \mathcal A называется стационарной если для нее временной сдвиг (задержка) входной последовательности вызывает соответствующий сдвиг (задержку) выходной последовательности:

{}_{}если \ \mathcal A \{x[n]\}=y[n] \quad то \quad \mathcal A \{x[n-n_0]\}=y[n-n_0] \quad при \quad \forall \{n,n_0\} \subset \mathbb Z \ .
П

Пример. Система

y[n]=x[nM] \quad npu \quad n \in \mathbb Z

и фиксированном M\in \mathbb N называется уплотнителем. Образно говоря, эта система из каждых M_{} входных отсчетов оставляет только один. При M>1 она является нестационарной.

Система называется причинной (или казуальной) если член выходной последовательности y[m] зависит только от членов входной последовательности \{x[n]\} с номерами не превосходящими m_{}.

П

Пример. Левая разностная система

y[n]=x[n]-x[n-1] \quad npu \quad n \in \mathbb Z

является причинной, а правая разностная система

y[n]=x[n+1]-x[n] \quad npu \quad n \in \mathbb Z

не является причинной.

Система называется устойчивой, если ее отклик на любой ограниченный входной сигнал будет также ограниченным.

П

Пример. Система y[n]=x[n]^2 устойчива, т.к. при любой ограниченной входной последовательности \{x[n]\}: |x[n]|\le B при n \in \mathbb Z для выходной последовательности будет выполнено |y[n]|\le B^2. Система y[n]=\operatorname{lg} |x[n]|, напротив, неустойчива поскольку y[n]=-\infty для любого x[n] равного нулю даже при условии ограниченности всей входной последовательности.

Линейные стационарные системы

Особый интерес представляют системы, которые обладают одновременно двумя свойствами: линейности и стационарности; для них будем использовать сокращение «ЛС-системы». Во-первых, для таких систем упрощается анализ свойств; во-вторых, более сложные системы, не обладающие каким-то из свойств «Л» или «C», пытаются представить как комбинацию ЛС-систем.

В линейном пространстве всех последовательностей \{x_n\} можно выбрать естественный базис, состоящий из последовательностей, для каждой из которых ровно один элемент отличен от нуля и равен 1_{}; обозначим эти последовательности \{ \delta_{0n}\},\{ \delta_{1n}\},\{ \delta_{-1,n}\},\{ \delta_{2n}\},\{ \delta_{-2,n}\},\dots при величине \delta_{kn} определяемой условиями

\delta_{kn}=\left\{ \begin{array}{cc} 1 & npu \ k = n, \\ 0 & npu \ k \ne n. \end{array} \right.

и известной как символ Кронекера. Очевидно, что любая последовательность \{ \delta_{kn} \} получается из одной-единственной, например \{ \delta_{0n}\}, в результате сдвига на k отсчетов. В указанном базисе любая последовательность \{x_n\} может быть представлена в виде

\{x_n\}=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x_n \{ \delta_{kn}\}=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x_n \{ \delta_{0,n-k}\} \ .

Теперь рассмотрим действие на входную последовательность \{x[n]\} системы \mathcal A, которая является как линейной, так и стационарной. Имеем, сначала, за счет свойства линейности:

\mathcal A\{x[n]\}= \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[n] \mathcal A \{ \delta_{kn}\} \ ,

т.е. действие системы на произвольную входную последовательность полностью описывается ее действием на базисные последовательности. Идем далее:

\mathcal A \{ \delta_{kn}\} = \mathcal A \{ \delta_{0,n-k}\} \ .

Обозначим теперь отклик системы \mathcal A на входную последовательность \{ \delta_{0,n-k}\} через \{h_{kn}\}. Если бы система \mathcal A была нестационарной, то величины h_{kn} зависели бы от k_{} и n_{} независимым образом. Свойство стационарности обеспечивает нам более простой характер зависимости: h_{kn}=h_{0,n-k}, т.е. отклик системы на произвольный «базисный» входной сигнал получается сдвигом ее отклика на входной сигнал \{ \delta_{0,n}\}.

§

Обращаясь к использованной в начале ☞ ПУНКТА аналогии с автоматом по выдаче товаров с потерянной инструкцией по использованию, можно сказать, что линейная стационарная система представляет такую разновидность аппарата, реакция которого на любую вложенную сумму денег полностью определяется по одной единственной известной — именно, его реакции на вброшенный 1_{} (один) рубль, причем вброшенный, скажем, в полночь 31 декабря 2000 года2).

Окончательно, получаем формулу

y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]h_{0,n-k} \ ,

позволяющую вычислить отклик системы на произвольный входной сигнал.

Последовательность \{h_{0,n}\} — т.е. отклик системы на входной сигнал \{\delta_{0,n}\} — называется импульсной характеристикой системы \mathcal A. В дальнейшем, с целью упрощения обозначений, будем опускать первый индекс 0_{}, т.е. записывать входной сигнал \{\delta_{0,n}\} в виде \{\delta[n] \}, а импульсную характеристику — в виде \{h[n]\}. С учетом этого упрощения, последнее равенство перепишем в виде

y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]h[n-k] \quad npu \quad n \in \mathbb Z \ ,

и введем сейчас определение для этого действия.


Свёртка

Для произвольных последовательностей \{ x_n \} и \{ h_n \} последовательность \{y_n \}, определяемая посредством последней формулы, называется (дискретной) свёрткой последовательностей \{ h_n \} и \{ x_n \}, сама операция нахождения свертки обозначается \ast:

\{y_n \} = \{ x_n \} \ast \{ h_n \} \ .

Чтобы прояснить себе смысл этой операции, «привяжем» ее к еще одному математическому разделу.

П

Пример. Вычислить свертку двух «конечных» последовательностей:

x_{n}=\left\{ \begin{array}{cc} a_n & npu \ n \in \{0,1,\dots,N\} , \\ 0 & npu \ n \not\in \{0,1,\dots,N\}; \end{array} \right. \quad и \quad h_{n}=\left\{ \begin{array}{cc} b_n & npu \ n \in \{0,1,\dots,M\} , \\ 0 & npu \ n \not\in \{0,1,\dots,M\}; \end{array} \right.

«конечность» понимается в том смысле, что последовательности имеют ненулевые значения разве лишь при конечном наборе индексов.

Решение. Разобьем сумму, определяющую свертку, на три:

y_n=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x_kh_{n-k} =\sum_{k=-\infty}^{-1} x_kh_{n-k} + \sum_{k=0}^{N} x_kh_{n-k} + \sum_{k=N+1}^{\infty} x_kh_{n-k} \ .

Первая и третья сумма пропадают, поскольку для соответствующих значений индексов будет выполнено x_k=0. Оставшаяся сумма является конечной, но при n<0 и при n> M+N она обратится в нуль, поскольку, по предположению, соответствующие значения h_{} будут нулевыми. Распишем подробнее формулы для оставшихся ненулевых значений y_{n}:

\begin{array}{lcl} y_0 &= & a_0b_0, \\ y_1 &= & a_0b_1+a_1b_0, \\ y_2 &=& a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0, \\ \vdots & & \vdots \\ y_{\ell} &= & a_0b_{\ell}+a_1b_{\ell-1}+\dots+a_{\ell}b_0, \\ \vdots & & \vdots \\ y_{N+M-1} & = & a_Nb_{M-1}+a_{N-1}b_M, \\ y_{N+M} & = & a_Nb_M. \end{array}

Видим, что эти формулы определяют коэффициенты произведения двух полиномов (одной переменной)

F(x)=a_0x^N+a_1x^{N-1}+\dots+a_N \qquad и \qquad G(x)=b_0x^M+b_1x^{M-1}+\dots+b_M \ .

В «переводе на язык систем» можно дать следующую интерпретацию настоящему примеру. Наш «черный ящик» осуществляет умножение произвольного «входного» полинома на полином G(x). Очевидна линейность этой системы:

(\alpha_1 F_1(x)+\alpha_2 F_2(x))\times G(x)\equiv \alpha_1 (F_1(x)G(x))+\alpha_2 (F_2(x)G(x)) \ ;

однородность же заключается в том, что коэффициенты произведения xF(x) на G(x) — такие же, как и у произведения F(x) на G(x), с точностью до «сдвига».


Возвращаясь к теории ЛС-систем, вычислим импульсные характеристики для примеров предыдущего пункта.

П

Пример. Идеальная система задержки:

h[n]=\delta[n-n_d] \quad при n\in \mathbb Z \quad и некотором фиксированном n_d \ .

Скользящее среднее:

h[n]=\frac{1}{M_1+M_2+1} \sum_{k=-M_1}^{M_2} \delta[n-k] = \left\{ \begin{array}{cc} 1/(M_1+M_2+1) & npu \ n \in \{-M_1,-M_1+1,\dots,M_2-1,M_2\} , \\ 0 & npu \ n \not\in \{-M_1,-M_1+1,\dots,M_2-1,M_2\}; \end{array} \right.

Cумматор:

h[n]=\sum_{k=-\infty}^n \delta[k]= \left\{ \begin{array}{cc} 1 & npu \ n \ge 0 , \\ 0 & npu \ n < 0. \end{array} \right.

Правая разностная система:

h[n]=\delta[n+1]-\delta[n] \ ;

левая разностная система:

h[n]=\delta[n]-\delta[n-1] \ .

Свойства ЛС-систем

Т

Теорема. Свертка обладает свойствами коммутативности и дистрибутивности относительно сложения:

\{x_n\} \ast \{h_n\} = \{h_n\} \ast \{x_n\} \quad ; \quad \{x_n\} \ast (\{h_n\}+\{g_n\})= \{x_n\} \ast \{h_n\}+\{x_n\} \ast \{g_n\} \ .

Каскадным (последовательным) соединением двух ЛС-систем называется система, получаемая при подаче входного сигнала на вход первой системы, выходного сигнала первой системы на вход второй системы; получившийся в результате выходной сигнал второй системы принимается за выход всего каскада.

Т

Каскадное соединение ЛС-систем является ЛС-системой с импульсной характеристикой равной свертке импульсных характеристик соединяемых систем:

\{f_n\}= \{h_n\}\ast \{g_n\} \ .

Т

Теорема. ЛС-система устойчива тогда и только тогда, когда ее импульсная характеристика является абсолютно суммируемой последовательностью, т.е. ряд

\sum_{k=-\infty}^{\infty} | h_{k}|

сходится.

Доказательство. Пусть входной сигнал ограничен: |x_n|\le B для любого n \in \mathbb Z. Тогда

|y_n| = | \sum_{k=-\infty}^{\infty} x_kh_{n-k} | \le \sum_{k=-\infty}^{\infty} |x_k|\cdot |h_{n-k} | \le B \sum_{k=-\infty}^{\infty} |h_{n-k} | \ ,

и при условии теоремы, отклик системы будет ограничен.

Если же ряд из условия теоремы расходится, то рассмотрим входную последовательность

x_n=\left\{ \begin{array}{cc} \overline{h_{-n}}/|h_{-n}| & npu \ h_{-n} \ne 0, \\ 0 & npu \ h_{-n} = 0, \end{array} \right.

и \overline{h_{-n}} означающем число комплексно сопряженное к h_{-n}.

Последовательность x_{n}, очевидно, ограничена: |x_n| \le 1; тем не менее, сумма

y_0= \sum_{k=-\infty}^{\infty} x_kh_{-k} =\sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{|h_{-k}|^2}{|h_{-k}|}

бесконечна.

Система \mathcal A_{}, чья импульсная характеристика имеет лишь конечное число ненулевых отсчетов, называются системой с конечной импульсной характеристикой (КИХ-системой); напротив, система \mathcal A_{}, у которой импульсная характеристика имеет бесконечный набор ненулевых отсчетов, называется системой с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-системой).

Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами

§

Материал настоящего раздела тесно связан с разделом РАЗНОСТНОЕ УРАВНЕНИЕ И РЕКУРРЕНТНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ.

Важный подкласс линейных стационарных систем состоит из таких систем, у которых пара сигнал-отклик связана линейным разностным уравнением порядка N_{} с постоянными коэффициентами:

\sum_{k=0}^N a_ky_{n-k} = \sum_{m=0}^M b_mx_{n-m} \ .

Частотный спектр

Рассмотрим сначала вещественный сигнал непрерывный периодический по времени с периодом \omega. Часто его можно представить в виде тригонометрического полинома

\begin{matrix} s(t)=a_0 & + & a_1 \cos \omega t + a_2 \cos 2\, \omega t+\dots + a_n \cos n\, \omega t + \\ \ &+&b_1 \sin \omega t + b_2 \sin 2\, \omega t+\dots + b_n \sin n\, \omega t = \end{matrix}
=a_0 + \sum_{k=1}^n (a_k \cos\, k\omega t+ b_k \sin \, k \omega t)

или, в общем случае, ряда Фурье

s(t)=a_0 + \sum_{k=1}^{\infty} (a_k \cos\, k\omega t+ b_k \sin \, k \omega t) \ .

В этих представлениях частоты кратные \omega называются гармониками3). Каждую из скобок под знаком \sum_{}^{} можно представить в эквивалентном виде

A_k \cos \, (k \omega t+ \varphi_k) \quad npu \quad A_k=\sqrt{a_k^2+b_k^2}, \ \varphi_k = \operatorname{arctg}\frac{b_k}{a_k} \ ;

величина A_k называется амплитудой, а \varphi_kфазой k_{}-й гармоники.

Частотным спектром временнóго сигнала называется представление сигнала в области частот: по шкале абсцисс откладываются гармоники, а соответствующие им величины амплитуд или фаз представляется в виде вертикальных отрезков соответствующих длин.

П

Пример. Для сигнала

s(t)=1+2\cos \,t - \sin \, t+3\cos 2\,t+ 8.5\, \sin \, 2\,t -7.5 \cos \,4\,t

амплитудный спектр состоит из последовательности 5 чисел \{1,\,\sqrt{2^2+1^2},\,\sqrt{3^2+8.5^2},\,0,\,7.5 \}, отложенной отрезками соответствуюих длин по шкале частот с интервалом 2\pi_{}. Строго говоря, частотный спектр для сигнала s(t)_{} представляет последовательность \{A_k\}_{k=0}^{\infty}, у которой все элементы равны нулю, кроме занумерованных индексами k\in\{ 0,1,2,4\}.


В теле- и радиокоммуникациях, частотный спектр может быть поделен между различными компаниями. Каждая передающая теле- и радиостанция передает волну в предписанном частотном диапазоне, называемом каналом. При наличии нескольких передающих станций, радиоспектр состоит из суммы всех составляющих его каналов. Каждый конкретный приемник сигнала определит единственную функцию амплитуды (напряжение) в ее зависимости от времени. Радио использует резонансный контур (тюнер) для выбора единственного канала или диапазона частот и детектирует или декодирует информацию от передатчика. Если сделать график мощности каждого канала в зависимости от частоты тюнера, то получим частотный спектр антенны.

Спектральным анализом называется процесс разложения сложного сигнала в более простые составляющие. Он может быть произведен как над полным сигналом, так и над его короткими фрагментами (фреймами). Преобразование Фурье, произведенное над функцией дает частотный спектр, содержащий всю информацию об исходном сигнале. Это означает, что исходная функция может быть полностью восстановлена (синтезирована) с помощью обратного преобразования Фурье. На практике, почти все электронные устройства, генерирующие частотный спектр, работают с быстрым преобразованием Фурье.

Спектрограмма

или сонограмма — изображение, показывающее как спектральная плотность сигнала изменяется во времени. Инструмент, генерирующий спектрограмму, называется спектрографом или сонографом. Наиболее распространенный вид — двумерный: по оси абсцисс — время, по оси ординат — частота; третье измерение, показывающее амплитуду конкретной частоты в конкретный момент времени представляется интенсивностью или цветом каждой точки изображения.

П

Пример. Осцилограмма звука [и]

и ее спектограмма

По горизонтали — время в секундах, по вертикали — частота в герцах.

П

Пример. Спектограммы звука блок-флейты — двумерная:

и «трехмерная»:

Источники

Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. М.Техносфера. 2009.


!

Все приведенные в разделе осциллогаммы и спектограммы получены с помощью комплекса «Икар Лаб II+», разработанного Центром речевых технологий.

1) delay (англ.) — задержка, запаздывание, отсрочка.
2) Равно как и в любой другой момент времени.
3) Иногда гармониками называют также тригонометрические функции от k\omega t.

2012/01/29 00:05 редактировал au