УказательРазделыАвторО проекте


"Школьная" математика

Математические разделы в учебных курсах дореволюционных гимназий

Выделил разделы, которые исключены из современных школьных программ; разделы входили в курс школьной математики еще, по крайней мере, в 1938 г.[1].

  • Проценты (в том числе сложные)
  • Действия с радикалами, в том числе освобождение от иррациональностей в знаменателях дробей
  • Пределы, ряды

С геометрией пока не разбирался, но по задачам можно оценить «глубину деградации» за прошедшее столетие…

§ Формулировки последующих задач приведены в вариантах источников: орфографию не менял, в систему СИ не переводил.

Ариθметика

?

На содержание 45 человек издержано в 56 дней 2040 руб.; сколько нужно издержать на 75 человек в 70 дней?

?

Показать, что разность между каким-нибудь числом и числом, состоящим из тех же цифр, как первое, но написанных в обратном порядке, делится без остатка на 9_{}.

?

Найти сумму остатков от деления 7263 на 5_{} , 85461_{} на 9_{}, 13025 на 25_{}, 1237 на 10_{}, 28003_{} на 100_{}, не производя деления чисел.

?

Доказать, что \displaystyle \frac{23}{75}=\frac{2323}{7575}=\frac{232323}{757575}=\dots

Комбинаторика и биномъ Ньютона

?

Сколько можно провести замкнутых ломаных линий через n_{} точек на плоскости, если эти точки расположены так, что между ними нет трех точек, лежащих на одной прямой.

?

Чему равна сумма всех чисел, которые можно получить, делая всевозможные перестановки из цифр 0,1,3,5,7.

Алгебра

?

Доказать, что если прибавить какое-нибудь положительное число к обоим членам дроби1), то дробь приблизится к единице.

?

Доказать, что если сложить числителей и знаменателей двух разных дробей, то полученная дробь будет заключаться между данными дробями.

?

В какой системе счисления

  • число 73 изображается 111,
  • число 157 изображается 111,
  • число 65793 изображается 10000000100000001,
  • число 1333 изображается 10101?
?

Дано 487=964; по каким системам счисления могут быть написаны эти числа?

?

Какое число при делении на 7,13,4 дает остатки 2,9,1 ?

?

Какие числа при делении на 3,7,11,13 дают остатки 1,6,10,12 ?

?

Из скольких цифр состоит 6^{5^4}, 4^{5^6}, 5^{4^6}, 6^{4^5} ?

?

Доказать, что x^5+y^5-x^4y-xy^4>0 при x>0 и y>0.

?

Решить систему уравнений

  • x^2+xy+y^2=37,\ x^2+xz+z^2=28,\ y^2+yz+z^2=19;
  • xy^2z^3=4725,\ yz^2x^{-1}=45/7,\ zx^{-2}y^{-1}=3/245.
?

Из уравнений x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}=d^{-1} и ax^3=by^3=cz^3 определить ax^2+by^2+cz^2.

?

n_{} прямых линий пересекаются в одной точке, образуя между собой углы =\alpha. Из какой-нибудь точки одной линии опускают перпендикуляр на соседнюю линию; из конца этого перпендикуляра опускают перпендикуляр на следующую линию и т.д. Определить длину образующейся бесконечной ломаной линии, если длина первого перпендикуляра =a.

?

Определить x+3\,x^2+x^3+3\,x^4+x^5+3\,x^6+\dots при |x|<1.

?

Найти коэффициент при x^{n-1} в уравнении, каждый корень которого на 1_{} меньше корня уравнения x^n+x+1 =0.

?

При каком условии уравнение x^n-1=0 имеет корни вида a+b\mathbf i и b+a \mathbf i.

Последовательности и ряды

?

Найти сумму чисел

1+11+111+1111+\dots+\overbrace{111\dots 11}^n \ .

?

Дана геометрическая прогрессия a_1,a_2,\dots,a_n. Определить чему равна сумма

\mathbf a)\ S=\frac{1}{a_1^2-a_2^2}+\frac{1}{a_2^2-a_3^2}+\frac{1}{a_3^2-a_4^2}+\dots+\frac{1}{a_{n-1}^2-a_n^2} ;
\mathbf b)\ S=\frac{1}{a_1^k+a_2^k}+\frac{1}{a_2^k+a_3^k}+\frac{1}{a_3^k+a_4^k}+\dots+\frac{1}{a_{n-1}^k+a_n^k} .

?

Суммировать ряд

\left(x+\frac{1}{x} \right)^2+\left(x^2+\frac{1}{x^2} \right)^2+\dots+ \left(x^n+\frac{1}{x^n} \right)^2 \ .

?

Суммировать бесконечный ряд

1+x+y+x^2+xy+y^2+x^3+x^2y+xy^2+y^3+\dots+ (x^n+x^{n-1}y+x^{n-2}y^2+\dots+y^n)+\dots \quad npu \quad |x|<1 \ u \ |y|<1 .

?

Дан ряд, составленный по закону a_n=2a_{n-1}-1, причем a_1=1. Найти a_{n}.

?

Дан ряд, составленный по такому закону, что

u_{n+1}=u_n+u_{n-1}, \quad причем \quad u_1=1,u_2=2 .

Доказать, что a) u_{2n}=u_n^2+u_{n-1}^2; b) \left(u_n\right)^2=u_{n+1}u_{n-1}+(-1)^n.

?

В круг вписан квадрат; в него вписан круг; в новый круг вписан опять квадрат и т.д. до бесконечности; определить предел суммы площадей сегментов.

Геометрия

Задачи на построение

?

Построить треугольник

  • по данной стороне, углу к ней прилежащему и сумме двух других сторон;
  • по данному его периметру и углам;
  • по данной стороне и медианам двух других сторон;
  • по данному основанию, высоте на это основание и медиане одной из двух других сторон;
  • по данному основанию, радиусу круга описанного и отношению двух других сторон.
?

Построить трапецию по данным четырем ее сторонам.

?

Описать окружность,

  • касающуюся данной прямой в данной точке и данной окружности;
  • проходящую через две данные точки и касающуюся данной прямой.
?

Найти точку, из которой три отрезка данной прямой AB, BC и CD были бы видны под равными углами.

?

Найти в треугольнике такую точку, чтобы перпендикуляры, опущенные из нее на стороны, находились в данном отношении m:n:p.

?

В данный круг вписать прямоугольник с данной площадью a^{2}.

?

Разделить треугольник пополам прямою, проходящей через данную точку на одной из его сторон.

?

Построить равносторонний треугольник, равновеликий данному треугольнику.

Планиметрия

Стереометрия

Экономико-социальные задачи

?

Домовладельцы должны были платить в Думу седьмую часть получаемого с домов дохода; впоследствии же требовалось платить шестую часть. На сколько домовладельцы должны увеличить плату за квартиры, чтобы получать столько же чистого дохода, как прежде?

?

Три деревни должны внести 594 руб. податей пропорционально числу жителей. Сколько должна внести каждая, если число жителей первой относится к числу жителей второй как 3:5, а число жителей второй к числу жителей третьей как 8:7?

?

Для отопления дома назначено по смете в месяц несколько саженей дров определенной цены. В первый месяц дров вышло 5_{}-ю саженями больше, чем было назначено, и хотя цена их была рублем меньше сметной, но оказалась передержка в 10_{} руб. Во второй месяц дров вышло 2_{} саженями меньше, чем было назначено, но цена их была рублем дороже сметной, и потому также было передержано 10_{} руб. Сколько саженей дров положено в месяц по смете и какая была назначена цена им?

?

Некто купил дом с обязательством платить за него в течение 20 лет по 2200 руб., считая по 5_{} \%. Сколько стоит дом за наличные деньги?

?

Некто выдал вексель в 2750 руб. на год, но расчитался раньше срока, и при учете в 8_{} \% заплатил 2695 руб.; за сколько месяцев до срока он уплатил по векселю?

?

Число жителей одного города постоянно возрастало в одном отношении, и в течение четырех лет возросло с 10000 до 14641. На какую часть оно возрастало ежегодно?

?

A и B внесли для торговли 8\,500 руб.; капитал A был в обороте 6_{} месяцев, а B9_{} месяцев; по окончании дела A и B получили по 6\, 000 руб. Определить капитал каждого.

?

Четверо играют в карты, с тем что проигравший должен заплатить прочим столько, сколько они имели перед сыгранной партией. После четырех партий, проигранных каждым поочередно, у каждого стало по 32 руб. Сколько было у каждого до игры?

?

Одна дама часто встречала у церкви троих нищих — старика, старуху и девочку; однажды она сама не могла идти в церковь, а послала своего сына и дала ему 52 коп., сказав, что если у церкви будет старик и старуха, то старику он должен дать 3/4 денег, а старухе 1/4; если же он встретит старуху и девочку, то он должен дать старухе 3/4, а девочке остальное. У церкви оказались все трое нищих; по скольку надо дать каждому?

?

При выборе директора акционерного общества 1/16 присутствовавших избирателей отказались подавать голос, и из двух кандидатов один, поддерживаемый 19/40 всех присутствовавших, выбран большинством 5_{} голосов. Сколько было голосов за него?

?

Некто на 3400 руб. купил 8_{} акций одной железной дороги и 12_{} другой. Через месяц первые поднялись на 15_{} руб., а вторые на 25_{} руб., и продавши половину первых и все вторые, он не вернул только 140 руб. По скольку он платил за акцию?

Задачи дореволюционных вступительных экзаменов в институты C.-Петербурга

§ Обозначения институтов:
ГИ — Гражданских Инженеров2), Гор — Горный, Л — Лесной, П — Путей Сообщения, Т — Технологический, Э — Электротехнический.

Сделать рациональным знаменатель следующей дроби:

Т

\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}},

Л

\displaystyle \frac{1}{2-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}.

Э

Перемножить выражения (x^4+x^3+x^2+x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1).

Найти частное от деления

Т

(x^{6m}-y^{6n}):(x^m+y^n);

ГИ

(x^6+1):(x^2+1).

Разложить на множители следующие выражения

Т

b^2c^2+bc-12;

ГИ

2\,x^4+1.

Э

Разложить на рациональные множители 64\,x^6-729.

Извлечь квадратный корень из многочлена

Л

4\,x^4-4\,x^3+13\,x^2-6\,x+9;

Л

4\,a-12\, a^{1/2}b^{1/3}+16\,a^{1/2}c^{1/4}+9\,b^{2/3}-24\,b^{1/3}c^{1/4}+16\,c^{1/2} .

Найти предел выражения

Т

\sqrt[n]{3}\cdot \sqrt[2n]{3}\cdot \sqrt[4n]{3} \cdot \sqrt[8n]{3} \cdot \dots ,

Л

\left[ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots}}}}+ \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\times\dots}}}} \right]^2.

Решить уравнения с одним неизвестным:

Т

\sqrt[3]{x}+\sqrt[6]{x} - 2=0;

ГИ

2\,x \sqrt[3]{x} - 3\, x \sqrt[3]{\displaystyle \frac{1}{x}}=20.

Решить системы уравнений с двумя неизвестным:

Т

x+y=10, \quad \sqrt{\displaystyle \frac{x}{y}}+ \sqrt{\displaystyle \frac{y}{x}}= \displaystyle \frac{5}{2};

Т

(3\,x+4\,y)(7\,x-2\,y)+3\,x+4\,y=44,\quad (3\,x+4\,y)(7\,x-2\,y)-7\,x+2\,y=30;

Э

xy+x+y=11,\ x^2y+xy^2=30;

Т

\displaystyle \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = 18, x+y=12;

Л

x+y+\sqrt{xy}=14,\quad x^2+y^2+xy=84.

Решить показательные и логарифмические уравнения

Э

2^{x^2-6\,x-5/2} = 16 \sqrt{2},

Т

3^{\sqrt{x}}=\sqrt[x]{6561},

ГИ

\left[ 5^{x^2+x-2} \right]^{3-x}=1,

Т

4^x-5\cdot 2^x+6=0,

ГИ

\log_2 \log_2 \log_2 x = 0

Э

\log_x 5 \sqrt{5}-1.25=\left( \log_x \sqrt{5}\right)^2.

Решить системы уравнений

Т

x^y=32,\quad \sqrt[y]{1024}=2\, x,

Т

\left(a^x\cdot a^y \right): a^5=a^2,\quad \left(a^x \right)^y=\left(a^{-6}\right)^{-2},

Т

xy=8,\quad (2\,x)^{\log_2 y}=8.

Решить неравенства

П

x^4-15\,x^2-16 < 0,

П

\displaystyle \frac{(x^2-1)^2(x+2)}{(x+1)} > 0,

П

(x-2)\sqrt{x^2+1}\ge x^2+2.

§ В следующих задачах на прогрессии обозначено:
u_{j}j-й элемент, S_{n} — сумма n_{} членов, d_{} — разность арифметической, q_{} — знаменатель геометрической прогрессии.

Т

В арифметической прогрессии u_1=1, S_n=8, S_{2n}=40. Найти n_{}.

Т

В арифметической прогрессии u_1+u_3+u_5+\dots+u_{2n+1}=25,\ u_1+ u_{2n+1}=10. Найти n_{}.

Л

В арифметической прогрессии u_p=1/q, u_q=1/p. Найти S_{pq}.

Т

Определить x_{} из уравнения (x+1)+(x+4)+(x+7)+\dots+(x+28)=155.

Т

В геометрической прогрессии u_4=27, u_6=343. Найти S_{4}.

Т

В геометрической прогрессии u_1+u_5=17,\ u_2+u_6=34. При каком n_{} будет S_n=31 ?

Бином Ньютона и сочетания

П

В разложении \displaystyle \left(x^5+\frac{1}{x^{20}}\right)^{1000} определить члены, не зависящие от x_{}.

П

Найти рациональные члены в разложении \left( \sqrt[3]{x}+\sqrt[5]{y}\right)^{19}.

П

Найти наибольший член разложения \left( \sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^{101}.

Задачи на проценты

ГИ

Определить температуру смеси из 1_{} стакана воды в 80^{\circ} и 3_{} стаканов при 50^{\circ}.

ГИ

Смешано 2_{} сорта серебра: 5_{} фунтов 82_{} пробы и 3_{} фунта 90_{} пробы. Определить пробу сплава.

ГИ

Каким капиталом надо обладать, чтобы получать ежегодно 2000 руб. процентов, если банк платит 4.5 \%?

ГИ

Через сколько лет удвоится капитал, отданный в рост под p_{} сложных процентов?

Задачи на целые числа

ГИ

Некто рассчитал, что если он даст каждому нищему по 15 коп., то у него не хватит 10 коп.; если же он будет давать по 12 коп., то у него останется 14 коп. Сколько было нищих и денег?

П

Написано число 49. Между цифрами 4 и 9 вставили 48, в полученное число 4489 между цифрами 4 и 8 опять вписали 48 и т.д. Доказать, что все полученные таким образом числа будут точными квадратами.

Геометрия

Гор

Вычислить отношение объемов двух конусов одинаковой высоты, если при развертке они образуют два сектора: один с углом в n^{o}, а другой в m^{o}.

Гор

Около шара описана правильная усеченная треугольная призма, а около этой призмы описан шар. Определить отношение3) поверхностей этих шаров.

П

Если O_{} есть центр тяжести треугольника ABC, то доказать что

|AB|^2+|BC|^2+|AC|^2=3 (|AO|^2+|BO|^2+|CO|^2) \ .

П

Если из любой точки окружности, описанной около треугольника, опустить перпендикуляры на три его стороны, то основания этих перпендикуляров лежат на одной прямой (прямая Симпсона).

Разные задачи.

Э

Число N_{}, удовлетворяющее уравнению (0.13)^{N-204}=0.002197, разложить на такие две целые части4), чтобы одна часть была кратной 7_{}, а другая при делении на 17_{} давала бы в остатке 9_{}.

П

В круг радиуса r_{} вписан правильный треугольник, в него вписан круг, в круг — опять треугольник и т.д. Найти предел суммы площадей всех этих треугольников.

П

Имеются два сосуда; в одном находятся A_{} ведер вина, в другом — B_{} ведер воды. Из обоих сосудов отлили сразу C_{} ведер и перелили вино в сосуд с водой, а воду — в сосуд с вином. Определить сколько ведер вина останется в первом сосуде после n_{} таких переливаний.

П

Нанята партия рабочих. Если бы они явились на работу все вместе, то окончили бы ее в 5_{} часов. Но они приходят друг за другом через равные промежутки времени. Первый работал в m_{} раз больше последнего. Сколько времени они будут работать?

П

Моноплан и биплан летают над аэродромом, первый со скоростью 133 км/час, а второй — 73 км/час. Длина пути над аэродромом — 6 км. Сколько раз в течение первого получаса они сойдутся, если в начале полета биплан был на 1 км впереди?

Решения

некоторых задач раздела ☞ ЗДЕСЬ.

Источники

[1]. Киселев А. Алгебра. Часть вторая. Учебник для 8-10-го классов средней школы. Учпедгиз. М.1938.

[2]. Малининъ А., Буренинъ К. Руководство алгебры и собранiе алгебраическихъ задачъ для гимназiй, реальныхъ училищъ и учительскихъ институтовъ. Изданiе седьмое. М. Изданiе книжнаго магазина наследников бр. Салаевыхъ. 1884.

[3]. Малининъ А., Буренинъ К. Собранiе ариθметическихъ задачъ для гимназiй и прогимназiй, мужскихъ и женскихъ; реальных, уездныхъ и городскихъ училищъ, учительскихъ институтовъ и семинарiй. Изданiе тридцать четвертое. М. Изданiе книгоиздательства т-ва И.Д.Сытина. 1912

[4]. Шмулевич П.К. Сборникъ задачъ, предлагавшихся на конкурсныхъ экзаменахъ при поступленiи въ спецiaльныя высшiя учебныя заведенiя. Часть II. Алгебра. Изданiе VIII. Часть III. Геометрия. Изданiе VII. С.-Петербург. 1915

1) Имеется в виду: к числителю и знаменателю. - Примечание au.
2) С 1993 г. — C.-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет.
3) Имеется в виду: площадей. - Примечание au.
4) Имеется в виду: в сумму. - Примечание au.

2014/02/09 12:54 редактировал au