Указатель — Разделы— Обозначения — Автор — О проекте
Вспомогательная страница к пункту АНАЛИТИКА: МЕТОД МАТРИЧНОЙ СТЕПЕНИ раздела «Разностное уравнение и рекуррентная последовательность»
Для разностного уравнения
составим его характеристический полином
Теорема 1. Если все корни характеристического полинома различны, то решение разностного уравнения получается в виде
числа не зависят от
и определяются с помощью начальных условий из системы линейных уравнений:
Доказательство. При условии теоремы матрица Фробениуса
при
Действительно, пользуясь тем, что получаем:
т.е. столбцами матрицы Вандермонда являются собственные векторы матрицы
.
По формуле имеем:
Первый элемент столбца , т.е. искомый элемент рекуррентной последовательности
получается по формуле:
Если теперь обозначить
то и получим представление представление решения из теоремы. ♦
Рассмотрим теперь случай наличия кратного корня у характеристического полинома.
Теорема 2. Если характеристический полином имеет следующее разложение на линейные множители:
то общее решение разностного уравнения имеет вид:
где — полиномы по
:
Доказательство. Если корень
характеристического полинома
имеет кратность
, то в жордановой нормальной форме матрицы
ему соответствует единственная клетка Жордана порядка
.
Действительно, поскольку матрица
имеет ранг равный (
, а минор
-го порядка, стоящий в
правом верхнем углу отличен от нуля), то согласно
алгоритму построения ЖНФ
имеется единственная клетка Жордана, соответствующая
. Тогда
ее порядок совпадает с алгебраической кратностью
. Этот же вывод справедлив и для остальных собственных чисел. Таким образом, имеем
Теперь будем искать соответствующую матрицу .
Из доказательства теоремы 1 нам известно, что фундаментальная система решений системы
должна включать в себя вектор
. Будем искать теперь корневые векторы высоты
. С этой целью рассмотрим систему
. Докажем, что ее решением будет вектор
его можно рассматривать как полученный формальным дифференцированием вектора :
Вычислим сначала :
Если, по предположению, корень кратный, то
. Тогда имеем:
и вектор является корневым высоты
. Аналогично, в предположении, что алгебраическая кратность
, доказывается, что вектор
является корневым высоты и при этом
И так далее. Окончательно, векторы
составляют канонический базис корневого подпространства, принадлежащего . Первые
столбцов матрицы
имеют вид
Здесь означает биномиальный коэффициент. Таким образом, в
-й строке матрицы
стоят члены разложения бинома Ньютона
.
Далее, по аналогии с теоремой 1, применяем формулу при:
Первый элемент столбца , т.е. искомый элемент рекуррентной последовательности
получается отсюда в виде:
(в векторе я указал только элементы, зависящие от ). Элементы столбца
от не зависят. Таким образом,
В скобках стоит полином степени по
.
♦