УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательный раздел к пункту Алгебраические уравнения: случай двух переменных.


!

Несколько громоздкий и редко востребуемый материал…


Ряд Пюизё

Пусть f_{}(x,y) — полином степени n_{}>1 с вещественными коэффициентами, f(0,0)=0 и \partial f / \partial y \mid_{(0,0)} = 0, т.е. корень y_{}=0 является кратным корнем полинома f(0,y). Требуется построить все решения уравнения f_{}(x,y)=0, удовлетворяющие условию y(0)=0. Решение этой задачи оказывается возможным посредством представления решения y_{}(x) в виде ряда по степеням переменной x_{}, только указанные степени приходится брать дробными. Для пояснения идеи рассмотрим сначала один частный случай [1]:

f(x,y)=a_{10}x+a_{0m}y^m+\dots \qquad npu \quad m>1 ;

здесь под многоточием скрываются одночлены, делящиеся на один из мономов x^2,\ xy,\ y^m. Алгоритм решения поясню на примере1).

П

Пример. Найти такое решение уравнения Эйлера

f(x,y)=y^5-3\, y^4+3\,y^3 - x(1-y)^2 = 0

относительно переменной y_{}, которое удовлетворяет условию y(0)=0.

Решение. Имеем \partial f / \partial y = 0 в точке (0,0). Условие теоремы 1 (существования неявной функции) нарушено, и, построение решения уравнения в виде ряда по натуральным (целым положительным) степеням переменной x_{} невозможно. Но, может быть, удастся построить решение по дробным степеням этой переменной?

Обратим внимание на то, что \partial f / \partial x \ne 0 в точке (0,0), и, следовательно, в соответствии с теоремой 1, можно найти представление для функциональной зависимости x = \varphi (y) в виде сходящегося ряда по степеням y_{}. Этот ряд строится элементарными рассуждениями:

x=\frac{y^5-3\, y^4+3\,y^3}{(1-y)^2} = (y^5-3\, y^4+3\,y^3) \left( \sum_{j=0}^{\infty} \frac{y^j}{j!} \right)^2 =3\,y^3+ \sum_{j=4}^{\infty} (j-1) y^j =
=y^3(3+3\,y+4\,y^2+5\,y^3+6\,y^4+7\,y^5+\dots )

и он сходится при |y|<1. Теперь построим ряд для обратной функции. Имеем:

\sqrt[3]{x} = y \sqrt[3]{3+3\,y+4\,y^2+5\,y^3+6\,y^4+7\,y^5+\dots} .

Раскладываем выражение ( \quad )^{1/3} из правой части в ряд Тейлора:

\sqrt[3]{3+3\,y+4\,y^2+5\,y^3+6\,y^4+7\,y^5+\dots} = \sqrt[3]{3} \left(1+\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}y^2+\frac{26}{81}y^3+\frac{74}{243}y^4+\frac{70}{243} y^5+\frac{1793}{6561}y^6 + \dots \right) \ .

Это — вещественное значение корня кубического из ряда. Помимо него, существуют еще и два мнимых, получаемых домножением вещественного значения на корни кубические из единицы: \varepsilon_{1,2}= -\frac{1}{2} + \mathbf i \frac{\sqrt{3}}{2}.

Последний шаг заключается в применении теоремы 1 к выражению y_{} как функции от X=\sqrt[3]{x/3} из уравнения

X= y\left(1+\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}y^2+\frac{26}{81}y^3+\frac{74}{243}y^4+\frac{70}{243} y^5+\frac{1793}{6561}y^6 + \dots \right) .

Имеем:

y_1=\sqrt[3]{\frac{x}{3}}-\frac{1}{3} \left(\sqrt[3]{\frac{x}{3}} \right)^2- \frac{1}{9} \left(\sqrt[3]{\frac{x}{3}} \right)^3+\frac{4}{81} \left(\sqrt[3]{\frac{x}{3}} \right)^4 + \frac{16}{243} \left(\sqrt[3]{\frac{x}{3}} \right)^5 -\frac{259}{6561} \left(\sqrt[3]{\frac{x}{3}} \right)^7+ \dots ;
y_2=\sqrt[3]{\frac{x}{3}}\varepsilon_1-\frac{1}{3} \left(\sqrt[3]{\frac{x}{3}} \right)^2\varepsilon_2 - \frac{1}{9} \left(\sqrt[3]{\frac{x}{3}} \right)^3+\frac{4}{81} \left(\sqrt[3]{\frac{x}{3}} \right)^4\varepsilon_1 + \frac{16}{243} \left(\sqrt[3]{\frac{x}{3}} \right)^5 \varepsilon_2+ \dots ;

и y_3=\overline{y_2}. Здесь под выражением \sqrt[3]{x/3} понимается единственное вещественное значение корня кубического из числа.

В общем же случае, когда полином f_{}(x,y) имеет вид

f(x,y)=a_{10}x+a_{0m}y^m+\dots \qquad npu \quad m>1 ,

получим m_{} решений уравнения f_{}(x,y)=0 в виде рядов по степеням x^{1/m} с комплексными коэффициентами.


Подобный ряд — по степеням x^{1/m} или, в общем случае, (x-x_0)^{1/m}, где x_0 \in \mathbb C, 1< m\in \mathbb N называется рядом Пюизё2).


Алгоритм, проиллюстрированный в примере, сработал за счет выполнения условия \partial f / \partial x \ne 0 в интересующей нас точке. Совершенно исключительным случаем будет случай, когда в этой точке кривой f_{}(x,y)=0 обе частные производные обратятся в нуль:

\partial f / \partial x =0,\ \partial f / \partial y =0 \ .

Такая точка называется особой точкой кривой f_{}(x,y)=0. Иными словами, линия уровня f_{}(x,y)=0 полинома проходит через стационарную точку этого полинома.




Статья не закончена!







Источники

[1]. Гурса Э. Курс математического анализа. Т.2. М.-Л.ГТТИ. 1933

1) Расчеты — мои.
2) Пюизё (или Пюизо) Виктор (Puiseux Victor Alexandre, 1820-1883) — французский математик. Биография ☞ ЗДЕСЬ

2017/03/11 10:56 редактировал au