УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


Кривизна

неявно заданной кривой f(x,y)=0 вычисляется по формуле

\kappa=- \frac{ \left| \begin{array}{cc} H(f) & \nabla f \\ \nabla f^{\top} & 0 \end{array} \right|}{ \|\nabla f \|^3}= - \frac{ \left| \begin{array}{ccc} f''_{x^2} & f''_{xy} & f'_x \\ f''_{xy} & f''_{y^2} & f'_y \\ f'_x & f'_y & 0 \end{array} \right|}{\sqrt{(f'_x)^2+(f'_y)^2}^3} \, .

Для неявно заданной поверхности f(x,y,z)=0 ее кривизна Гаусса вычисляется по формуле

K=- \frac{ \left| \begin{array}{cc} H(f) & \nabla f \\ \nabla f^{\top} & 0 \end{array} \right|}{ \|\nabla f \|^4}= - \frac{ \left| \begin{array}{cccc} f''_{x^2} & f''_{xy} & f''_{xz} & f'_x \\ f''_{xy} & f''_{y^2} & f''_{yz} & f'_y \\ f''_{xz} & f''_{yz} & f''_{z^2} & f'_{z} \\ f'_x & f'_y & f'_z & 0 \end{array} \right|}{[(f'_x)^2+(f'_y)^2+(f'_z)^2]^2}

Здесь H(f)матрица Гессе, а \nabla f — вектор-столбец градиента. Все производные вычисляются в той точке кривой (поверхности), в которой определяется ее кривизна.

Для поверхности ее средняя кривизна1) в точке определяется следующим образом. Отложим в точке P поверхности нормаль к ней и проведем плоскость, содержащую эту нормаль. В пересечение этой плоскости и поверхности получим кривую. Найдем ее кривизну. Начнем вращать плоскость вокруг нормали. Кривизна каждой получающейся кривой будет функцией угла поворота \theta. Обозначим ее \kappa (\theta). Величина

\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \kappa (\theta ) \, d\, \theta

называется средней кривизной поверхности в точке P. Для той же неявно заданной поверхности f(x,y,z)=0 средняя кривизна вычисляется по формуле

\frac{\nabla f^{\top} H(f) \nabla f - \|\nabla f \|^2 \Delta f }{ 2\|\nabla f \|^3}

Здесь \Delta f =\partial^2 f / \partial x^2 + \partial^2 f / \partial y^2 + \partial^2 f / \partial z^2 — оператор Лапласа.

1) Mean curvature

2018/12/09 15:59 редактировал au