УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу ПОЛИНОМ


?

Можно ли использовать формулы Виета для решения уравнения?

Выпишем их для полинома x^3-3\,x + 1:

\left\{ \begin{array}{ccr} \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3&=&0, \\ \lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_2\lambda_3&=&-3,\\ \lambda_1\lambda_2\lambda_3&=&-1. \end{array} \right.

Из первого уравнения выразим \lambda_3:

\lambda_3 =- \lambda_1- \lambda_2 \ ,

подставим в два оставшихся:

-\lambda_1^2-\lambda_2^2-\lambda_1\lambda_2 +3=0, \ -\lambda_1^2\lambda_2-\lambda_1\lambda_2^2+1 = 0 \ .

Получили систему из двух уравнений, которую можно решить следующими элементарными соображениями. Представим первое получившееся уравнение в виде:

-(\lambda_1+\lambda_2)^2+\lambda_1\lambda_2+3 = 0,

выразим из него \lambda_1\lambda_2 и подcтавим в последнее уравнение:

-(\lambda_1+\lambda_2)^3+3\,(\lambda_1+\lambda_2)+1 = 0 \ .

Если теперь вспомнить, что \lambda_1+\lambda_2=-\lambda_3, то приходим к уравнению

\lambda_3^3-3\,\lambda_3+ 1=0,

абсолютно совпадающему с исходным. Таким, образом, формулы Виета не дают способа решения уравнения; попытки решения системы уравнений Виета иными методами (например, применением результанта ) могут привести даже к усложнению исходной задачи!


2017/12/27 19:36 редактировал au