УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


Вспомогательная страница к разделу ☞ ПОЛИНОМ


Дифференцируемость корней полинома как функций коэффициентов

Т

Теорема. Корни полинома

f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n \in \mathbb C[x]

являются непрерывно дифференцируемыми функциями коэффициентов за исключением тех наборов значений коэффициентов, которые определяют кратные корни.

Доказательство. Воспользуемся формулами Виета:

\sum_{1 \le j\le n} \lambda_j = \lambda_1+ \dots+ \lambda_n= -a_1,
\sum_{1\le j_1<j_2\le n} \lambda_{j_1} \lambda_{j_2}= \lambda_1 \lambda_2 + \lambda_1 \lambda_3 +\dots + \lambda_2 \lambda_3 + \dots+ \lambda_{n-1}\lambda_n= a_2,
\sum_{1\le j_1<j_2<j_3\le n} \lambda_{j_1} \lambda_{j_2} \lambda_{j_3}= \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3+ \lambda_1 \lambda_2 \lambda_4 + \dots+ \lambda_{n-2} \lambda_{n-1} \lambda_n = -a_3,
\dots
\lambda_{1} \lambda_{2}\times \dots \times \lambda_{n}= (-1)^{n} a_{n} .

Эти формулы можно рассматривать как отображение \mathbb C^n \mapsto \mathbb C^n: каждому набору корней (\lambda_{1}, \lambda_{2},\dots, \lambda_{n}) соответствует единственный набор коэффициентов (a_1,\dots,a_n). Для доказательства существования обратного отображения — т.е. выражения из формул Виета корней как функций коэффициентов:

\begin{array}{c} \lambda_1 = F_1(a_1,\dots,a_n), \\ \lambda_2 = F_2(a_1,\dots,a_n), \\ \dots \\ \lambda_n = F_n(a_1,\dots,a_n) \end{array}

— достаточно показать, что якобиан левых частей формул Виета отличен от нуля; и в этом случае функции F_1,\dots, F_n будут непрерывно дифференцируемыми. Обозначим f_{1},f_2,\dots,f_n левые части формул Виета, т.е. элементарные симметрические полиномы от корней. Можно доказать (см. ☞ ЗДЕСЬ ), что якобиан

\frac{D(f_1,\dots,f_n)}{D(\lambda_1,\dots,\lambda_n)}=\prod_{1\le j < k \le n} (\lambda_k-\lambda_j)

и отличен от нуля при выполнении условия теоремы.

§

Условие наличия кратного корня у полинома f_{}(x) может быть получено в виде явного условия на его коэффициенты. См. раздел ☞ ДИСКРИМИНАНТ

Источник. Доказательство существенно переделано из

Шилов Г.Е. Математический анализ (функции нескольких вещественных переменных). Части 1-2 . М. Наука, 1972, c. 80-83

2012/02/11 22:33 редактировал au