УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


Вспомогательная страница к пункту ДЕЛИМОСТЬ ПОЛИНОМОВ.


Делимость полиномов (с остатком)

Пусть \mathbb A_{} означает какое-то из множеств \mathbb Q, \mathbb R или \mathbb C_{}.

Т

Теорема. Для полиномов f_{}(x) и g(x)\not \equiv 0 из \mathbb A[x] существует единственная пара полиномов q_{}(x) и r(x) из \mathbb A_{} таких, что

f(x) \equiv g(x) q(x) + r(x) \quad и \quad \deg r < \deg g \ .

Доказательство. Пусть

f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots +a_n,\ g(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1} + \dots + b_m \quad u a_0\ne 0, b_0 \ne 0 \ .

Если n_{}< m, то можем задать искомые полиномы равенствами: q(x) = 0, r(x) = f(x). Если же n \ge m, то рассмотрим полином

f_1(x) = f(x) - \frac{a_0}{b_0} x^{n-m}g(x) \ .

Очевидно, что n_1 = \deg f_1 (x) < n. Если n_1<m, то условиям теоремы удовлетворяет пара

q(x) = \frac{a_0}{b_0} x^{n-m},\ r(x) = f_1(x)\ .

Если n_1 \ge m, то обозначим старший коэффициент f_{1}(x) через a_{1,0} и к этому полиному применим те же рассуждения, что и к f_{}(x), именно, составим

f_2(x) = f_1(x) - \frac{a_{1,0}}{b_0} x^{n_1-m}g(x) \ .

Очевидно, что n_2 = \deg f_2 (x) < n_1<n. Если n_2 < m, то условиям теоремы удовлетворяет пара

q(x) = \frac{a_0}{b_0} x^{n-m} + \frac{a_{1,0}}{b_0} x^{n_1-m} ,\ r(x) = f_2(x) \ .

Если же n_2 \ge m, то обозначим старший коэффициент f_2(x) через a_{2,0} и к этому полиному применим те же рассуждения, что и к f_{1}(x), именно, составим

f_3(x) = f_2(x) - \frac{a_{2,0}}{b_0} x^{n_2-m}g(x) \ .

И так далее. Поскольку степени полиномов f_1(x),f_2(x),\dots убывают, то за конечное число шагов k_{} мы дойдем до такого полинома

f_k(x) = f_{k-1}(x)- \frac{a_{k-1,0}}{b_0} x^{n_{k-1}-m}g(x) \ ,

степень которого n_k = \deg f_k(x) будет меньше m_{}. Тогда пара

q(x) = \frac{a_0}{b_0} x^{n-m} + \frac{a_{1,0}}{b_0} x^{n_1-m} + \dots + \frac{a_{k-1,0}}{b_0} x^{n_{k-1}-m} ,\ r(x) = f_k(x)

будет удовлетворять условиям теоремы.

Покажем теперь единственность полученной пары полиномов q_{}(x) и r_{}(x), удовлетворяющих этим условиям. Если существуют еще одна пара, такая, что

f(x) \equiv g(x) \tilde{q}(x) + \tilde{r}(x) \quad и \ \deg \tilde{r} < \deg g \ ,

то g(x)(q(x)-\tilde{q}(x)) \equiv \tilde{r}(x)-r(x). Однако из последнего тождества следует, что правая его часть должна быть тождественным нулем, т.к., в противном случае, поскольку \deg (\tilde{r}(x)-r(x)) < \deg g, и мы приходим к противоречию с теоремой о степени произведения полиномов. Из условия r(x) \equiv \tilde{r}(x) будет, однако, следовать, что и q(x) \equiv \tilde{q}(x).

В терминологии теоремы полином f_{}(x) называется делимым, g_{}(x)делителем, r_{}(x)остатком от деления f_{}(x) на g_{}(x), а q_{}(x)частным1). При r(x) \equiv 0, говорят, что полином f_{}(x) делится (нацело) на g_{}(x), а полином g_{}(x) называется делителем f_{}(x). Тривиальными делителями полинома f_{}(x) называют сам полином f_{}(x) и полином тождественно равный 1_{} (оба — с точностью до домножения на ненулевую константу). Любой другой делитель полинома (если существует) называется нетривиальным.

?

Пусть \deg f(x) = n > \deg g(x)=m. Доказать, что частное от деления f_{}(x) на g_{}(x) может быть представлено в любом из двух эквивалентных видов

q(x)\equiv - \left| \begin{array}{lllll} b_0 & 0 & \dots & 0 & a_0 \\ b_1 & b_0 & \dots & 0 & a_1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ b_{n-m} & b_{n-m-1} & \dots & b_0 & a_{n-m} \\ x^{n-m} & x^{n-m-1} & \dots & 1 & 0 \end{array} \right|_{(n-m+2)\times (n-m+2)} \Bigg/ b_0^{n-m+1} \equiv
\equiv \left( x^{n-m} , x^{n-m-1} , \dots , 1 \right) \left(\begin{array}{llll} b_0 & 0 & \dots & 0 \\ b_1 & b_0 & \dots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ b_{n-m} & b_{n-m-1} & \dots & b_0 \end{array} \right)_{(n-m+1)\times (n-m+1)}^{-1} \left(\begin{array}{l} a_0 \\ a_1 \\ \vdots \\ a_{n-m} \end{array} \right)\, .

Матрица из последней строки — тёплицева.

?

Доказать, что если f_{}(x) и g_{} (x) — полиномы с целыми коэффициентами и старший коэффициент полинома g_{} (x) равен 1_{}, то частное и остаток от деления f_{}(x) на g_{} (x) будут полиномами с целыми коэффициентами.

1) При r(x) \not \equiv 0 называют еще и неполным частным.

2016/10/24 11:40