УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу ПОЛИНОМ


Взаимно-простые полиномы

— это полиномы, у которых нормализованный наибольший общий делитель (\operatorname{HOD}) равен 1_{} (тождественно).

П

Пример. Найти условия взаимной простоты полиномов

f(x)=a_0x^2+a_1x+a_2,\ g(x)=b_0x^2+b_1x+b_2, \ a_0 \ne 0, b_0 \ne 0 \ .

Решение. Очевидно, что \operatorname{HOD} (f(x),g(x)) будет зависеть от коэффициентов обоих полиномов. Ищем его по алгоритму Евклида. Поделим f_{}(x) на g_{}(x):

f(x)=\frac{a_0}{b_0} g(x) + \underbrace{ \left(a_1 - \frac{a_0b_1}{b_0} \right) x + \left(a_2 - \frac{a_0b_2}{b_0}\right)}_{= r_1(x)} \ .

Предположим сначала, что a_1b_0-a_0b_1 \ne 0. Тогда, поделив g_{}(x) на r_1(x), получим после длинных выкладок:

g(x)=r_1(x)\frac{b_0}{a_1b_0-a_0b_1} \left(b_0x+ \left(b_1-b_0 \frac{a_2b_0-a_0b_2}{a_1b_0-a_0b_1} \right) \right) + \underbrace{\frac{b_0\mathcal R(f,g)}{(a_1b_0-a_0b_1)^2}}_{= r_2(x)} \ ,

где

\mathcal R(f,g) = b_0^2a_2^2-2\,a_0a_2b_0b_2+a_0^2b_2^2-a_1a_2b_0b_1-a_0a_1b_1b_2+ a_0a_2b_1^2+a_1^2b_0b_2 =
=(a_0b_2-a_2b_0)^2 -(a_0b_1-a_1b_0)(a_1b_2-a_2b_1) \ .

Теперь проанализируем \operatorname{HOD} (f,g) в зависимости от величины \mathcal R(f,g). Если \mathcal R(f,g)\ne 0, то, очевидно, что на следующем шаге алгоритм Евклида остановится и \mathcal R(f,g)=\operatorname{HOD} (f,g). Тогда полиномы f_{}(x) и g_{}(x) взаимно просты. Если же \mathcal R(f,g)= 0, то r_1(x)=\operatorname{HOD} (f,g), т.е. \operatorname{HOD} является линейным по x полиномом.

Если предположить теперь, что a_1b_0-a_0b_1 = 0, то алгоритм Евклида остановится уже на втором шаге. Полиномы f_{}(x) и g_{}(x) будут взаимно простыми при a_2b_0-a_0b_2 \ne 0. Одновременное выполнение условий

a_1b_0-a_0b_1 = 0 \quad u \quad a_2b_0-a_0b_2 = 0

равносильно тому, что коэффициенты полиномов f_{}(x) и g_{}(x) пропорциональны, т.е. f(x)\equiv Cg(x) при некоторой константе C\in \mathbb A. Тогда \operatorname{HOD}(f,g) совпадает с любым из этих полиномов.

Обобщая предшествующие рассуждения можем выписать условие взаимной простоты f_{}(x) и g_{}(x).

Ответ. \operatorname{HOD}(f,g)=1 тогда и только тогда, когда \mathcal R (f,g)\ne 0.

§

Предыдущий пример позволяет выявить общую закономерность: наличие у полиномов f_{}(x) и g_{}(x) общих корней является ситуацией исключительной, наблюдаемой только тогда, когда коэффициенты этих полиномов связаны некоторым условием типа равенства. Общий способ получения этого условия см. в разделе РЕЗУЛЬТАНТ. В смысле этого результата, полиномы непохожи на целые числа — вероятность того, что два случайно выбранных целых числа не являются взаимно простыми ненулевая.

Разные теоретические результаты

Т

Теорема 1. Если каждый из полиномов f_1(x),\dots,f_K(x) взаимно прост с g_{}(x), то и их произведение f_1(x)\times \dots \times f_{K}(x) взаимно просто с g_{}(x).

Доказательство полностью повторяет доказательство теоремы 2 из пункта ☞ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ ЧИСЛА.

=>

Если каждый из полиномов f_1(x),\dots,f_K(x) взаимно прост с каждым из полиномов g_1(x),\dots,g_L(x), то и их произведения f_1(x)\times \dots \times f_{K}(x) и g_1(x)\times \dots \times g_L(x) также взаимно просты. В частности,

\operatorname{HOD} (f(x),g(x)) \equiv 1 \quad \Rightarrow \quad \operatorname{HOD} \left(f(x)^K,g(x)^L \right)=1 \quad npu \ \{K,L\} \subset \mathbb N \ .

Т

Теорема 2. Если \operatorname{HOD} \left(f_1(x),g(x) \right) \equiv 1 и произведение f_1(x)f_2(x) делится на g_{}(x), то f_2(x) делится на g_{}(x).

Доказательство полностью повторяет доказательство теоремы 3 из пункта ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ ЧИСЛА.

Тождество Безу

Т

Теорема. Для того чтобы полиномы f(x)_{} и g(x)_{} из \mathbb A[x]_{} были взаимно простыми, необходимо и достаточно существование в \mathbb A[x]_{} полиномов u(x) и v(x), удовлетворяющих тождеству Безу:

v(x)f(x)+u(x)g(x)\equiv 1 \ .

Доказательство. Необходимость. Если \operatorname{HOD}(f,g) \equiv 1 то справедливость тождества следует из общего результата о линейном представлении наибольшего общего делителя (см. ЗДЕСЬ ).

Достаточность. Если vf+ug \equiv 1 при некоторых u(x),v(x) из {\mathbb A}[x], и d(x)= \operatorname{HOD}(f,g), то v(x)f(x) делится на d(x) и u(x)g(x) делится на d(x). Тогда их сумма, т.е. 1, делится на d(x). Это возможно тогда и только тогда, когда d(x)\equiv const\ne 0.

=>

При условии \operatorname{HOD} (f,g) \equiv 1 существует единственная пара полиномов u(x) и v(x), удовлетворяющих тождеству Безу, и таких, что

\deg u(x) < \deg f(x) , \quad \deg v(x) < \deg g(x) \ .

Доказательство. Пусть u(x) и v(x) — какая-то пара полиномов из \mathbb A[x], удовлетворяющая тождеству Безу. Поделим u(x) на f(x): u(x)\equiv Q(x)f(x) + u_1(x), здесь степень остатка u_1(x) должна быть меньшей \deg f(x). Но тогда пара полиномов u_1(x) и v_1(x) = v(x)+Q(x)g(x) также будет удовлетворять тождеству Безу: v_1(x)f(x)+u_1(x)g(x) \equiv 1. Из последнего тождества получим и оценку степени полинома v_1(x): v_1(x)f(x)\equiv 1 - u_1(x)g(x) \quad \Rightarrow

\Rightarrow \quad \deg \left( v_1(x)f(x) \right) = \deg \left( u_1(x)g(x) \right) < \deg f(x) + \deg g(x) \quad \Rightarrow \quad \deg v_1(x) < \deg g(x) \ .

Осталось доказать единственность указанной в теореме пары полиномов. Предположим, что имеют место два тождества

v_1(x)f(x)+u_1(x)g(x) \equiv 1 \quad u \quad v_2(x)f(x)+u_2(x)g(x) \equiv 1 \quad npu \ \left\{ \begin{array}{c} \deg u_j < \deg f,\\ \deg v_j < \deg g. \end{array} \right.

Тогда, вычитая одно тождество из другого, получаем тождество:

\left(v_1(x)-v_2(x) \right)f(x) \equiv \left(u_2(x)-u_1(x) \right)g(x) \ ,

из которого следует, что произведение \left(v_1(x)-v_2(x) \right)f(x) делится на g_{}(x). По условию теоремы \operatorname{HOD}(f(x),g(x)) \equiv 1. Тогда на основании теоремы 2 предыдущего пункта, полином v_1(x)-v_2(x) должен делиться на g_{}(x). Однако, по предположению \deg \left(v_1(x)-v_2(x) \right)< \deg g(x), и делимость возможна только когда v_1(x)-v_2(x)\equiv 0. Но тогда и u_2(x)-u_1(x) \equiv 0.

Для конструктивного построения полиномов u_{}(x) и v_{}(x) существует два способа. Один из них основывается на алгоритме Евклида и на континуанте.

П

Пример. Найти полиномы u_{}(x) и v_{}(x), удовлетворяющие тождеству Безу при

f(x)=x^5+5\,x^4+9\,x^3+7\,x^2+5\,x+7 \ , \quad g(x)=x^4+2\,x^3+2\,x^2+x+1 \ .

Решение. В схеме алгоритма Евклида имеем

q_1(x)=x+3,\ q_2(x)=x+2,\ q_3=x+5,\ q_4=1/33\, x-68/363

при r_4=37/121. Таким образом, действительно f_{}(x) и g_{}(x) взаимно простые и существование u(x) и v(x) гарантируется предыдущей теоремой.

Вычисляем u(x) и v(x) с помощью континуант:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline j & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline q_j & - & x+3 & x+2 & x+5 & 1/33\, x-68/363 \\ \hline K_j(q_1,q_2,\dots,q_j) & 1 & x+3 & x^2+5\, x+7 & x^3+10\, x^2+ & 1/33\,x^4 +14/121\,x^3 + \\ & & & &\quad +33\, x +38 &\ +46/363\,x^2 -1/33\,x - 43/363 \\ \hline K_{j-1}(q_2,\dots,q_j) & - & 1 & x+2 & x^2+7\, x +11 & 1/33\, x^3+ 3/121 \, x^2 + 8/363\,x- 2/33 \\ \hline \end{array}

и приписываем этим выражениям знаки в соответствии с правилом, указанном ЗДЕСЬ:

\begin{array}{rcl} u(x)&=&(-1)^4 \left( {\scriptstyle 1}/{\scriptstyle 33}\,x^4 + {\scriptstyle 14}/{\scriptstyle 121}\,x^3 + {\scriptstyle 46}/{\scriptstyle 363}\,x^2 - {\scriptstyle 1}/{\scriptstyle 33}\,x - {\scriptstyle 43}/{\scriptstyle 363}\right) \ , \\ v(x)&=&(-1)^3\left( {\scriptstyle 1}/{\scriptstyle 33}\, x^3+ {\scriptstyle 3}/{\scriptstyle 121} \, x^2 + {\scriptstyle 8}/{\scriptstyle 363}\,x- {\scriptstyle 2}/{\scriptstyle 33} \right) \ . \end{array}

удовлетворяют тождеству v(x)f(x)+u(x)g(x) \equiv r_4. Разделив последнее тождество на r_{4}, приходим к окончательному ответу.

Ответ. u(x)={\scriptstyle 1}/{\scriptstyle 111} \left(11\, x^4 +42\, x^3 +46\, x^2 -11\,x -43\right), v(x)={\scriptstyle 1}/{\scriptstyle 111} \left(-11\, x^3 -9\, x^2 -8\, x +22 \right).

Проверка.

\left(-11\, x^3 -9\, x^2 + \dots \right) \left(x^5+5\,x^4 + \dots \right) + \left(11\, x^4 +42\, x^3 + \dots \right) \left( x^4+ 2\, x^3 + \dots \right)=
=(-11+11)\,x^8+ (-11\cdot 5 - 9 +42 + 11 \cdot 2)\, x^7 +\dots

Еще одним способом нахождения полиномов u_{}(x) и v_{}(x) из тождества Безу является метод неопределенных коэффициентов. Поскольку из последней теоремы известны ограничения на степени искомых полиномов, то их можно представить в каноническом виде

u(x)=U_0x^{n-1} + U_1x^{n-2}+\dots + U_{n-1}, \quad v(x)=V_0x^{m-1} + V_1x^{m-2}+\dots + V_{m-1}

при m = \deg g(x), n = \deg f(x) и коэффициентах U_0,\dots,U_{n-1}, V_0,\dots,V_{m-1}, которые и требуется определить. Для их нахождения используется тождество Безу, в левой части которого после приведения подобных образуется полином (n+m-1)-й степени. Поскольку этот полином должен тождественно равняться 1_{}, то все его коэффициенты должны быть равными нулю, кроме свободного члена, равного 1_{}. Полученная система из n+m уравнений будет линейной относительно коэффициентов U_0,\dots, U_{n-1},V_0,\dots, V_{m-1}. Следствие к теореме гарантирует единственность решения этой системы в случае \operatorname{HOD}(f(x),g(x)) \equiv 1.

П

Пример. Выписать систему линейных уравнений для определения полиномов u_{}(x) и v_{}(x), удовлетворяющих тождеству Безу для

f(x)=a_0x^2+a_1x+a_2,\ g(x)=b_0x^2+b_1x+b_2, \ a_0 \ne 0, b_0 \ne 0 \ .

Решение. В этом примере полиномы u_{}(x) и v_{}x) следует искать в виде

u(x)=U_0x+U_1,\ v(x)=V_0x+V_1 \ .

Имеем:

v(x)f(x)+u(x)g(x)=(V_0x+V_1)(a_0x^2+a_1x+a_2) +(U_0x+U_1)(b_0x^2+b_1x+b_2)=
=(V_0a_0+U_0b_0) x^3 + (V_0a_1+V_1a_0+U_0b_1+U_1b_0) x^2 + (V_0a_2+V_1a_1+ U_0b_2+U_1b_1)x+(V_1a_2+U_1b_2)

и этот полином должен тождественно равняться 1_{}. Поэтому выписываем систему условий на коэффициенты:

\left\{ \begin{array}{ccccc} a_0V_0& & +b_0U_0 & &=0,\\ a_1V_0&+a_0V_1 &+b_1U_0& +b_0U_1 & =0,\\ a_2V_0&+a_1V_1 &+b_2U_0& +b_1U_1 & =0,\\ &\ a_2V_1& &+b_2U_1 &=1. \end{array} \right.

Эта система и позволит нам определить коэффициенты U_0,U_1,V_0,V_1 по коэффициентам полиномов f_{}(x) и g_{}(x).

Пусть, например, a_0=1,a_1=3,a_2=1,b_0=1,b_1=-1,b_2=1. Решаем систему:

\left\{ \begin{array}{rrrrl} V_0& & +U_0 & &=0\\ 3V_0&+V_1 &-U_0& +U_1 & =0\\ V_0&+3V_1 &+U_0& -U_1 & =0\\ &V_1& &+U_1 &=1 \end{array} \right. \quad \begin{array}{c} \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow \end{array} \quad \begin{array}{rl} V_0&=-U_0 \\ \\ \\ V_1&=1-U_1 \end{array} \quad \begin{array}{c} \\ \Rightarrow \\ \Rightarrow \\ \end{array} \quad \left\{ \begin{array}{rl} -3U_0+(1-U_1)-U_0+U_1&=0 \\ -U_0+3(1-U_1)+U_0-U_1&=0 \end{array} \right.

Последняя система имеет единственное решение U_0= {\scriptstyle 1}/{\scriptstyle 4},\ U_1={\scriptstyle 3}/{\scriptstyle 4}, тогда V_0=-{\scriptstyle 1}/{\scriptstyle 4},\ V_1={\scriptstyle 1}/{\scriptstyle 4}. Окончательно: u(x)= {\scriptstyle 1}/{\scriptstyle 4} \, (x+3),\ v(x)={\scriptstyle 1}/{\scriptstyle 4} \, (-x+1).

Возьмем теперь a_0=1,\, a_1=4,\, a_2=-5,\, b_0=1,\, b_1=-4,\, b_2=3:

\left\{ \begin{array}{rrrrl} V_0& & +U_0 & &=0\\ 4V_0&+V_1 &-4U_0& +U_1 & =0\\ -5V_0&+4V_1 &+3U_0& -4U_1 & =0\\ &-5V_1& &+3U_1 &=1 \end{array} \right. \quad \begin{array}{c} \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow \end{array} \quad \begin{array}{rl} V_0&=-U_0 \\ \\ \\ V_1&={\scriptstyle 3}/{\scriptstyle 5} U_1 - {\scriptstyle 1}/{\scriptstyle 5} \end{array} \quad \begin{array}{c} \\ \Rightarrow \\ \Rightarrow \\ \end{array} \quad \left\{ \begin{array}{rl} -8\, U_0+{\scriptstyle 8}/{\scriptstyle 5} \, U_1 &={\scriptstyle 1}/{\scriptstyle 5} \\ 8\,U_0-{\scriptstyle 8}/{\scriptstyle 5} \, U_1 &={\scriptstyle 4}/{\scriptstyle 5} \end{array} \right.

Последняя система не имеет решений (несовместна). Это факт свидетельствует о том, что полиномы f_{}(x) и g_{}(x) не являются взаимно простыми. Так оно и есть: \operatorname{HOD} (x^2+4\,x-5,\, x^2-4\,x+3) \equiv (x-1).

Итак, совместность получившейся системы линейных уравнений напрямую связана с условием взаимной простоты полиномов f_{}(x) и g_{}(x). Это условие было нами установлено в предыдущем примере: оно заключалось в отличии от нуля величины \mathcal R(f,g), определяемой формулой:

\mathcal R(f,g) = b_0^2a_2^2-2\,a_0a_2b_0b_2+a_0^2b_2^2-a_1a_2b_0b_1-a_0a_1b_1b_2+ a_0a_2b_1^2+a_1^2b_0b_2 =
=(a_0b_2-a_2b_0)^2 -(a_0b_1-a_1b_0)(a_1b_2-a_2b_1) \ .

Следовательно, эта величина должна как-то проявляться и при решении системы в ее общем виде. Так оно и оказывается:

V_0=\frac{b_0(a_0b_1-a_1b_0)}{\mathcal R(f,g)} \ , \ V_1=\frac{-a_0b_0b_2+a_2b_0^2-a_1b_0b_1+a_0b_1^2}{\mathcal R(f,g)} \ ,
U_0=\frac{a_0(a_1b_0-a_0b_1)}{ \mathcal R(f,g)} \ , \ U_1=\frac{a_0^2b_2-a_0a_2b_0-a_0a_1b_1+a_1^2b_0}{\mathcal R(f,g)} \ .
?

Найти полиномы u_{}(x) и v_{}(x), удовлетворяющие тождеству Безу при

а) f(x)=4\,x^3+3\,x^2+2\,x+1\ , \quad g(x)=x^2+2\, x+3;

б) f(x)=5\,x^4+4\,x^3+3\,x^2+2\,x+1\ , \quad g(x)=x^3+2\, x^2+3\,x+4;

в) f(x)=\displaystyle \sum_{j=1}^{n} (n-j+1)x^{n-j} \ , \quad g(x)=\sum_{j=2}^{n} (j-1)x^{n-j}.

§

Метод неопределенных коэффициентов построения полиномов u_{}(x) и v_{}(x) из тождества Безу можно развить до получения явного их выражения через коэффициенты полиномов f_{}(x) и g_{}(x) — но для этого придется привлекать аппарат определителей. Подробнее см. ☞ ЗДЕСЬ.




Статья не закончена!







Уничтожение иррациональности в знаменателе

Пусть f(x), g(x), g_1(x) — полиномы с рациональными коэффициентами, \deg f=n. Обозначим \lambda_1,\dots,\lambda_n корни f_{}(x).

Задача. Для рациональной дроби g_1(x)/g(x) найти полином G_{}(x) c рациональными коэффициентами и такой, чтобы

G(\lambda_1)=g_1(\lambda_1)/g(\lambda_1),\ \dots ,\ G(\lambda_n)=g_1(\lambda_n)/g(\lambda_n) \ .

Понятно, что эта постановка имеет смысл, если g(\lambda_j) \ne 0 ни при одном j_{}, т.е. полиномы f_{}(x) и g_{}(x) взаимно просты.

§

Особый интерес представляет случай, когда f_{}(x) неприводим над множеством рациональных чисел.

Т

Теорема. При условии \operatorname{HOD} (f,g)=1 всегда существует полином G_{}(x), решающий поставленную задачу. При условии \deg{G}{<}{n} такой полином определяется единственным образом.

Доказательство. Легко проверить, что полином u(x), удовлетворяющий тождеству Безу:

v(x)f(x)+u(x)g(x) \equiv 1 \ ,

фактически определяет решение задачи. На произвольном корне \lambda_j полинома f_{}(x) это тождество превращается в равенство 1/g(\lambda_j)=u(\lambda_j). Таким образом, полином

G(x)=g_1(x)u(x)

является искомым. Поскольку коэффициенты u_{}(x) — по любому способу их построения из предыдущего пункта — рационально выражаются через коэффициенты полиномов f_{}(x) и g_{}(x), то коэффициенты G_{}(x) будут рациональными числами. Решением поставленной задачи будет также и произвольный полином вида G(x) + q(x) f(x) при любом q(x) \in \mathbb Q[x]. В частности, можно в качестве полинома G_{}(x) взять остаток от деления g_1(x)u(x) на f_{}(x). За счет такой возможности получаем решение задачи при указанном в теореме ограничении.

?

Докажите единственность полинома G_{}(x) при выполнении условия \deg G<n.

П

Пример. Уничтожить иррациональность в знаменателе выражения \lambda/(\lambda^3-1), где \lambda_{} — корень полинома x^5-4x-2.

Решение. Здесь g(x)=x^3-1, g_1(x)=x и полином u_{}(x) вычислен в примере ☞ЗДЕСЬ:

u(x)=1/95(18\,x^4-7\,x^3+8\,x^2+18\,x-79) .

Представление G_{}(x) берем из доказательства теоремы:

G(x)=1/95(18\,x^5-7\,x^4+8\,x^3+18\,x^2-79\,x) \ .

Если поделить G_{}(x) на f_{}(x), то остаток от деления, т.е.

1/95(-7\,x^4 +8\,x^3+18\,x^2-7\,x+36)

также является решением задачи — причем единственным среди полиномов степеней меньших 5_{}.

?

Уничтожить иррациональность в знаменателе выражения

a) \lambda /(\lambda-1), где \lambda — корень полинома x^3-2x-2;

б) 1/(\lambda^3+3\lambda^2+3\lambda+2), где \lambda — корень полинома x^4+x^3-4\,x^2-3\,x+2.

Стабилизация в системах управления

Пусть поведение объекта управления описывается функцией времени X(t), удовлетворяющей дифференциальному уравнению

f(\mathbf D) X(t)=g(\mathbf D) U(t) +g_w(\mathbf D) W(t) \ .

Здесь U(t) — управляющее воздействие (которое мы имеем возможность создавать для обеспечения нужных нам свойств объекта), W(t) — возмущение, f(\mathbf D),g(\mathbf D),g_w(\mathbf D) — полиномы от оператора дифференцирования \mathbf D с постоянными коэффициентами.

Предполагается, что сигнал обратной связи строится как решение дифференциального уравнения

p(\mathbf D)U_f(t)=-q(\mathbf D) X(t) \ ,

где p(\mathbf D) — некоторый полином, не равный тождественно нулю.

П

Пример. Частным случаем такого задания является пропорционально-дифференциально-интегральный закон управления (ПИД-закон)

U_f(t)=-k_1X(t)-k_2 \frac{d\, X}{d\, t} - k_0\int X(t) d\, t \ .

Действительно, это соотношение эквивалентно дифференциальному уравнению

\mathbf D u(t)=-(k_0+k_1\mathbf D+k_2\mathbf D^2) y(t) \ .

Уравнение объекта и уравнение обратной связи образуют систему

f(\mathbf D)X(t)=g(\mathbf D)\left[U_f(t)+U_{n}(t) \right]+ g_w(\mathbf D) W(t),
p(\mathbf D)U_f(t)=-q(\mathbf D)X(t) \ .

Исключив из этой системы U_f(t), получим уравнение

\left[f(\mathbf D)p(\mathbf D)+g(\mathbf D)q(\mathbf D) \right]X(t)=p(\mathbf D)\left[g(\mathbf D)U_{n}(t) +g_w(\mathbf D) W(t)\right] \ .

Характеристический полином замкнутой системы принял вид

F(\lambda)=f(\lambda)p(\lambda)+g(\lambda)q(\lambda) \ .
Т

Теорема. Пусть \operatorname{HOD}(f,g)=1. Тогда полиномы p(\lambda) и q(\lambda), определяющие вид обратной связи, могут быть выбраны так, чтобы характеристический полином F(\lambda) замкнутой системы имел произвольные заданные коэффициенты, то есть произвольное расположение корней.

Доказательство следует из тождества Безу: если u(\lambda) и v(\lambda) удовлетворяют тождеству v(\lambda)f(\lambda)+u(\lambda)g(\lambda) \equiv 1, то в качестве полиномов p(\lambda),q(\lambda) можно взять

p(\lambda)=F(\lambda) v(\lambda),\ q(\lambda)=F(\lambda) u(\lambda) \ .

=>

Если \operatorname{HOD}(f,g)=1, то можно выбрать обратную связь вида p(\mathbf D)U_f(t)=-q(\mathbf D) X(t), обеспечивающую устойчивость замкнутой системы при неустойчивом объекте.




Статья не закончена!








2018/10/30 10:09 редактировал au