УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу ☞ ПОЛИНОМЫ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ


Задачи

1. [1]. Найти полином f_{}(x) степени 7_{}, такой, что f(x)+1 делится на (x-1)^4, а f(x)-1 делится на (x+1)^4.

2. Найти частное и остаток от деления полинома a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n на x^3-x.

3. Разложить полином на множители над \mathbb Q_{}:

  1. x^4 +3\,x^3-47\,x^2+43\,x+48;
  2. x^4 -\,x^3-6\,x^2+11\,x+5

5. Пусть \deg f(x)=n. Чему равно выражение

f(x)-\frac{f^{\prime}(x)}{1!}x+\frac{f^{\prime \prime}(x)}{2!}x^2- \dots+(-1)^n \frac{f^{(n)}(x)}{n!}x^n \ ?

6. Пусть f(x)=a_0x^{n}+a_1x^{n-1}+\dots+a_n. Доказать тождество

f(x)+C_n^1xf^{\prime}(x)+C_n^2x^2\frac{f^{\prime \prime}(x)}{2!}+C_n^3x^3\frac{f^{\prime \prime \prime}(x)}{3!}+\dots+C_n^nx^n\frac{f^{(n)}(x)}{n!} \equiv
\equiv a_n + C_{n+1}^1a_{n-1}x+C_{n+2}^2a_{n-2}x^2+\dots+C_{2n}^{n} a_0 x^n \ .

7. Доказать, что если полином f(x)=x^3+a_1x^2+a_2x+a_3 имеет кратный корень кратности 2_{}, то этот корень находится по формуле

\lambda=\frac{9\,a_3-a_1a_2}{2(a_1^2-3\,a_2)} \ .

8. Центром тяжести набора1) \{z_1,\dots,z_m\} \subset \mathbb C назовем число

\frac{z_1+\dots+z_m}{m} \ .

Доказать, что центр тяжести набора корней полинома f_{}(z), \deg f =n\ge 2 совпадает с центром тяжести набора корней производной f^{\prime} (z) этого полинома.

9. Задача Шлёмильха. Решить кубическое уравнение x^3+a_1x^2+a_2x+a_3=0, если его корни составляют:

a) арифметическую прогрессию;

б) геометрическую прогрессию;

в) гармонический ряд.

Источники

[1]. Гурса Э. Курсъ математическаго анализа. Т.1. М. Издание торгового дома «В.И.Знаменский и Кº». 1911

1) Допускаются одинаковые значения.

2015/03/25 17:29 редактировал au