УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу ПОЛИНОМ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ


Сокращение \operatorname{nrr}число вещественных корней1).

Т

Теорема [Декарт]. Число положительных корней полинома

f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_{n-1}x+a_n \in \mathbb R[x], \quad (a_0> 0,a_n \ne 0)

с учетом их кратностей равно или меньше на четное число числа знакоперемен в ряду его коэффициентов:

\operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x>0 \} = {\mathcal V}(a_0,a_1,\dots,a_n)-2 k , \quad k\in \{0,1,2, \dots \} \ .

Доказательство. 1. Докажем сначала, что

{\mathcal V}(a_0,a_1,\dots,a_n)= \left\{ \begin{array}{cc} {\rm 4ETHO} & \iff a_n>0; \\ {\rm HE4ETHO} & \iff a_n<0. \end{array} \right.

Индукция по n. Для n=1 верно: поскольку a_0>0, то {\mathcal V}(a_0,a_1)=0 при a_1>0 и {\mathcal V}(a_0,a_1)=1 при a_1<0. Пусть верно для n=k, докажем для n=k+1. Воспользуемся равенством

{\mathcal V}(a_0,a_1,\dots,a_k,a_{k+1})= {\mathcal V}(a_0,a_1,\dots,a_k)+{\mathcal V}(a_k,a_{k+1}) \, .

Если a_k>0 то по индукционному предположению {\mathcal V}(a_0,a_1,\dots,a_k) — четно. Тогда {\mathcal V}(a_k,a_{k+1})= 0 тогда и только тогда, когда a_{k+1}>0, и при этом условии число {\mathcal V}(a_0,a_1,\dots,a_k,a_{k+1}) остается четным. При a_{k+1}<0 получим {\mathcal V}(a_k,a_{k+1})= 1 и число {\mathcal V}(a_0,a_1,\dots,a_k,a_{k+1}) становится нечетным. Аналогично рассматривается случай a_{k}<0. Следовательно, доказываемая альтернатива справедлива.

2. Покажем, что

\operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x>0 \}= {\mathcal V}(a_0,a_1,\dots,a_n)\pm 2\, k , \quad k\in \{0,1,2 \dots \}\, .

Если число {\mathcal V}(a_0,a_1,\dots,a_n) — четное (нечетное), то по доказанному в пункте 1 следует, что a_n>0 (соответственно, a_n<0). Но тогда, на основании следствия 4 к теореме Больцано, и число \operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x>0 \} — четное (соответственно, нечетное). Разность двух чисел одинаковой четности — четное число, и доказываемая формула справедлива.

3. Покажем, что в формуле

\operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x>0 \}= {\mathcal V}(a_0,a_1,\dots,a_n)\pm 2\, k , \quad k\in \{0,1,2 \dots \}\, .

знака + быть не может:

\operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x>0 \} \le {\mathcal V}(a_0,a_1,\dots,a_n) \, .

Используем индукцию по степени полинома. Для n=1

f(x)=a_0x+a_1 \Rightarrow \lambda=-a_1/a_0 \ \left\{ \begin{array}{cc} >0 & \iff a_0a_1<0 \Rightarrow {\mathcal V}=1; \\ <0 & \iff a_0a_1>0 \Rightarrow {\mathcal V}=0. \end{array} \right.

Пусть утверждение верно для любого полинома степени < n. Покажем, что оно справедливо и для полинома степени n_{}. По индукционному предположению

\operatorname{nrr} \{ f'(x)=0 \mid x>0 \} \le {\mathcal V}(na_0,(n-1)a_1,\dots,a_{n-1}) =
={\mathcal V}(a_0,a_1,\dots,a_{n-1}) \le {\mathcal V}(a_0,a_1,\dots,a_{n-1},a_n).

(Здесь мы дополнительно предположили, что a_{n-1}\ne 0. Если a_{n-1}= 0, то следует рассматривать полином f'(x)/x, положительные корни которого совпадают с положительными корнями f'(x)). На основании следствия к теореме Ролля

\operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x>0 \} \le \operatorname{nrr} \{ f'(x)=0 \mid x>0 \}+1 \le {\cal V}(a_0,a_1,\dots,a_n)+1 \, .

Но по доказанному в предыдущем пункте

\operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x>0 \} \ne {\cal V}(a_0,a_1,\dots,a_n)+1

(у этих чисел должна быть одинаковая четность). Поэтому и справедливо неравенство

\operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x>0 \} \le {\mathcal V}(a_0,a_1,\dots,a_n) \, .

Из него и из равенства из пункта 2 следует утверждение теоремы.

Источник

1) number of real roots (англ.)

2017/10/26 23:33 редактировал au