УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу НАЧАЛА ТЕОРИИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ


Полиномиальные "генераторы" простых чисел

Т

Теорема. Если значение полинома степени 25 от 26 переменных

F(a,b,c,d,\dots,w)=
=(k+2)\bigg\{1-[wz+h+j-q]^2-[(gk+2g+k+1)(h+j)+h-z]^2-[2\,n+p+q+z-e]^2-
-[16\,(k+1)^3(k+2)(n+1)^2+1-f^2]^2-[e^3(e+2)(a+1)^2+1-o^2]^2-[(a^2-1)y^2+1-x^2]^2-[16\,r^2y^4(a^2-1)+1-u^2]^2-
- [((a+u^2(u^2-a))^{2}-1)(n+4dy)^{2}+1-(x+cu)^2]^2-[n+\ell+v-y]^2-[(a^2-1)\ell^2+1-m^2]^2-[ai+k+1-\ell-i]^2-
-[p+\ell (a-n-1)+b(2an+2a-n^{2}-2n-2)-m]^{2}-[q+y(a-p-1)+s(2ap+2a-p^2-2p-2)-x]^2-
-[z+p\ell (a-p)+t(2 a p-p^{2}-1)-m p]^{2} \bigg\} \ .

при некотором наборе неотрицательных целых значений переменных (a_0,b_0,\dots,w_0) положительно, то это значение — обязательно простое число.

Структура полинома такова, что множитель, стоящий в фигурных скобках \{ \ \}, может принимать положительные значения (конкретно, 1_{}), тогда и только тогда, когда все слагаемые, кроме первой 1_{} обратятся в нуль. Иными словами, значения переменных, при которых полином F_{} принимает положительные значения, должны удовлетворять системе из 14_{} алгебраических уравнений

\left\{ \begin{array}{rl} wz+h+j-q&=0, \\ (gk+2g+k+1)(h+j)+h-z&=0, \\ 2\,n+p+q+z-e&=0, \\ 16\,(k+1)^3(k+2)(n+1)^2+1-f^2&=0, \\ e^{3}(e+2)(a+1)^2+1-o^2&=0, \\ (a^2-1)y^2+1-x^2&=0, \\ 16\,r^2y^4(a^2-1)+1-u^2&=0,\\ ((a+u^2(u^2-a))^{2}-1)(n+4dy)^{2}+1-(x+cu)^2&=0,\\ n+\ell+v-y&=0,\\ (a^2-1)\ell^2+1-m^2&=0,\\ ai+k+1-\ell-i&=0,\\ p+\ell (a-n-1)+b(2an+2a-n^{2}-2n-2)-m&=0, \\ q+y(a-p-1)+s(2ap+2a-p^2-2p-2)-x&=0,\\ z+p\ell (a-p)+t(2 a p-p^2-1)-m p&=0. \end{array} \right.

Возникает отдельная задача о нахождении неотрицательных целых решений алгебраической системы уравнений. Эта задача оказывается нетривиальной, поскольку регулярных способов решения нелинейных диофантовых уравнений (кроме тривиального перебора) в настоящее время нет. Можно воспользоваться тем обстоятельством, что часть уравнений являются линейными — это позволит уменьшить число переменных. Можно попытаться исключить оставшиеся переменные (например, с помощью теории исключения) — но это приведет к усложнению оставшихся уравнений. Оптимизация в сторону уменьшения количества переменных приводит к увеличению степени генерирующего полинома. Так, в [1] доказано существование полинома от 10 переменных степени 1.6\times 10^{45}. Оптимизация в сторону уменьшения степени приводит к росту числа переменных (существует генератор степени 5 от 42_{} переменных).

Хотя результат является выдающимся достижением в теории целых чисел, практическую его значимость следует признать незначительной.

Источники

[1]. Матиясевич Ю.В. Диофантово представление множества простых чисел. ДАН СССР, 1971, Т. 196, № 4, 770-773

[2]. Jones J.P., Sato D., Wada H., Wiens D. Diophantine representation of the set of prime numbers. Amer. Math. Monthly, 83 (1976) 449-464.


2017/12/07 09:36 редактировал au