УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


Вспомогательная страница к разделу ☞ Исторические задачи по элементарной математике


Задача Шлёмильха

?

[Шлёмильх] 1). Доказать, что при n>2_{} имеет место неравенство 1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2 \times \dots \times n^2> n^n (или в записи с использованием факториала: (n!)^2 > n^n).

Решение. Пусть n>m+1. Умножим на m_{} обе части этого неравенства, получим:

nm>m^2+m \quad \Rightarrow \quad nm+n>m^2+m+n \quad \Rightarrow \quad (n-m)(m+1)>n \ .

Полагая m_{} последовательно равным 0,1,2,\dots , n-1, получим:

\begin{array}{rcc} n \cdot 1 & = & n, \\ (n-1) \cdot 2 & > & n, \\ (n-2) \cdot 3 & > & n, \\ (n-3) \cdot 4 & > & n, \\ \vdots & & \vdots \\ 2\cdot (n-1) & > & n,\\ 1 \cdot n &= & n. \end{array}

Перемножение дает требуемый результат.

Источник

Попов Г.Н. Сборник исторических задач по элементарной математике. М.-Л.ГТТИ.1932

1) Шлёмильх Оскар (Schlömilch Oscar Xaver, 1823-1901) — немецкий математик. Основатель и редактор журнала Zeitschrift für Mathematik und Physik. Биография ☞ ЗДЕСЬ.

2013/03/20 09:34 редактировал au