Указатель — Разделы— Обозначения — Автор — О проекте
Вспомогательная страница к разделу ☞ Исторические задачи по элементарной математике
Под «равенством Эйлера-Лагранжа» известен еще один ☞ результат
Доказать, что произведение двух чисел, каждое из которых есть сумма четырех квадратов, также равно сумме четырех квадратов.
Ответ.
Этот ответ может быть получен разными способами — например, раскрытием скобок.
Решение применением теории определителей. Составим матрицу
и умножим матрицу на ей транспонированную
Теперь вычислим определитель получившейся матрицы второго порядка двумя способами. С одной стороны, он равен
С другой стороны, применение теоремы Бине-Коши к произведению матриц дает сумму -ти квадратов:
Таким образом мы получаем представление
в виде суммы
-ми квадратов, в то время как Эйлеру удалось свести все к
-м. Попробуем сгруппировать определители в последней сумме:
и сделаем из каждой скобки полные квадраты:
Последняя скобка обращается в нуль, а оставшиеся формируют требуемое представление.
В частном случае тождество Эйлера иногда называют тождеством Лагранжа: