УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


Исторические задачи по элементарной математике

Задача Никомаха

?

Ряд последовательных нечетных чисел разбивается на группы скобками

(1),(3,5),(7,9,11),(13,15,17,19), \dots

( k_{}-я скобка содержит k_{} чисел). Показать, что сумма чисел k_{}-й скобки равна k^3 .

Задачи из разных средневековых сборников

?

Существует ли на свете два человека с одинаковым числом волос на голове?

Решение ЗДЕСЬ

Критерий делимости Паскаля

Т

Теорема. Обозначим остаток от деления 10_{} на число B_{} через r_1; остаток от деления 10 r_1 на B_{}через r_2; остаток от деления 10 r_2 на B_{}через r_3 и т.д. Для того чтобы число

A=\underline{{\mathfrak a}_1{\mathfrak a}_2 \dots {\mathfrak a}_s {\mathfrak a}_{s+1}} = {\mathfrak a}_1\times 10^s+{\mathfrak a}_2 \times 10^{s-1} + \dots +{\mathfrak a}_s \times 10 + {\mathfrak a}_{s+1}

делилось на B_{} необходимо и достаточно чтобы на B_{} делилось число

{\mathfrak a}_{s+1}+{\mathfrak a}_{s}r_1+{\mathfrak a}_{s-1}r_2+{\mathfrak a}_{s-2}r_3+\dots \ .

Доказательство ЗДЕСЬ.

Источник.

Pascal B. Caractères de divisibilité des nombres.

Задача Баше де Мезириака

Каким наименьшим числом гирь и какого веса можно отвесить на весах любое целое число фунтов от 1_{} до 40_{} при условии, что гири можно класть на обе чашки весов?

§

Баше де Мезириак Клод Гаспар (Bachet de Méziriac Claude Gaspar, 1581-1638), автор популярного сборника математических головоломок. Биография ЗДЕСЬ. Задача была решена еще Фибоначчи в 1202 г.

Задача Озанама

Семь провинциалов собрались к обеду, но между ними возник церемонный спор, кому и с кем садиться. Чтобу прекратить пререкания, кто-то из присутствующих предложил всем сесть за стол как придется, но с условием, чтобы вновь собраться на другой день и затем в следующие дни обедать вместе, причем каждый раз садиться по-разному до тех пор, пока не будут использованы все возможные комбинации. Спрашивается, сколько раз придется им обедать вместе для этой цели?

Озанам дает ответ в 5040 раз. Прав ли он?

Задача Региомонтануса

Найти число, которое при делении на 17, 13 и 10_{} дает соответственно остатки 15,11 и 3_{}.

Общий метод решения подобных задач ЗДЕСЬ.

§

Мюллер Иоганн (Müller Johann, 1436-1476), немецкий математик, прозван Regiomontanus по месту своего рождения (Кёнигсберг, латинизированное название Monte Regio). Биография ЗДЕСЬ.

Последовательность Галилея

В 1615 г. Галилей обнаружил, что последовательность нечетных натуральных чисел обладает свойством

\frac{1}{3}=\frac{1+3}{5+7}=\frac{1+3+5}{7+9+11}=\dots

т.е. отношение суммы любых первых n_{} нечетных чисел к сумме последующих n_{} нечетных чисел всегда постоянна. Это наблюдение имело отношение к его работе о свободном падении тел. Действительно, если расстояние пропорционально квадрату времени и равно 1_{} за первый временной интервал, то расстояние, пройденное за несколько интервалов времени, будет полным квадратом, а расстояния, пройденные за каждый интервал времени будут нечетными числами. Если мы изменим временнýю шкалу и сделаем новый интервал отсчета равным множителю исходного интервала, то отношение расстояния, пройденного за первые два (новых) интервала должно остаться неизменным. Но это как раз и является «физическим смыслом» равенства: расстояние, пройденное за n_{} первых интервалов всегда равно трети от расстояния, пройденного за n_{} следующих интервалов.

Галилей считал, что последовательность нечетных натуральных чисел — единственная арифметическая прогрессия с указанным свойством, и это служило ему достаточным аргументом подтверждающим закон свободного падения.

?

Был ли прав ли Галилей? Можно ли указать целочисленные последовательности, у которых отношение суммы первых n_{} их членов к сумме следующих n_{} их членов всегда постоянна? [2].

Задача Гольдбаха

Доказать, что при m_{} и n_{} — натуральных сумма всех дробей вида

\frac{1}{(m+1)^{n+1}}

имеет пределом единицу.

Задача Клеро

На неограниченной прямой, соединяющей два источника света, найти точку равноосвещенную обоими источниками.

§

Клерó Алекси Клод (Clairaut Alexis Claude , 1713-1765), французский математик, астроном и геодезист; изучал математику под руководством своего отца. Первый научный результат был доложен им французской Академии наук в возрасте 12 лет. Избран в Академию в 18 лет. Участвовал в экспедициях в Лапландию по измерению длины градуса меридиана. Ввел в математику понятия криволинейного интеграла и полного дифференциала. Биография ЗДЕСЬ.

Задача Чевы


Пусть через вершины треугольника ABC и произвольную точку O_{}, лежащую внутри его, проведены прямые, пересекающие стороны AB, AC, BC соответственно в точках C_1, B_1 и A_{1}, определяя на каждой из них два отрезка. Тогда произведения длин каждых трех отрезков, не имеющих общей вершины, равны между собой:

|AC_1| \cdot |BA_1|\cdot |CB_1|=|AB_1|\cdot |CA_1| \cdot |BC_1 | \ .

Решение ЗДЕСЬ





§

Чева Джиованни (Ceva Giovanni, 1647-1734), итальянский геометр и механик; кроме того, он, фактически первым попытался применить математику в экономике: один из его трудов посвящен установлению условий равновесия денежной системы Мантуи. Биография ЗДЕСЬ

Задачи Эйлера

?

Определить рациональные решения уравнения x^y=y^x.

?

Доказать, что произведение двух чисел, каждое из которых есть сумма четырех квадратов, также равно сумме четырех квадратов.

Решение ЗДЕСЬ

?

Если после потопа человеческий род размножился от 6_{} человек и если предположим, что двести лет спустя число людей возросло до миллиона, спрашивается: на какую часть должно было увеличиваться население ежегодно?

Задача Мейера Гирша

?

Доказать, что в прямоугольном тетраэдре квадрат площади грани, лежащей против трехгранного угла, равен сумме квадратов площадей трех остальных граней.

Источник.

Meier Hirsch. Sammlung Geometrischer Aufgaben.1807. Переиздание книги 1837 года выложено ЗДЕСЬ

Задача, известная как "задача Пуассона"

Некто имеет 12_{} пинт вина и хочет подарить из него половину, но у него нет сосуда в шесть пинт. У него два сосуда, один в 8_{}, другой в 5_{} пинт; спрашивается: каким образом налить 6_{} пинт в сосуд в 8_{} пинт?

Решение ЗДЕСЬ

§

Пуассон Симеон Дени (Poisson Siméon-Denis, 1781-1840) — французский математик и физик, биография ☞ ЗДЕСЬ. По поводу этой задачи Араго1) рассказывает, что она решила судьбу Пуассона, так как, заинтересовавшись ею, он тем самым открыл свое призвание и посвятил всю жизнь математике. Задача в аналогичной постановке (для набора стартовых данных (8,5,3)) содержится в сборнике «Thaumaturgus mathematicus», изданном в Кёльне в 1651 г.

Задача Шлёмильха

Доказать, что при n>2_{} имеет место неравенство 1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2 \times \dots \times n^2> n^n.

Решение ЗДЕСЬ.

§

Шлёмильх Оскар (Schlömilch Oscar Xaver, 1823-1901) — немецкий математик. Основатель и редактор журнала Zeitschrift für Mathematik und Physik. Биография ЗДЕСЬ.

Задача о точке Лемуана-Греба

Найти точку плоскости, cумма квадратов расстояний от которой до сторон треугольника, лежащего в этой же плоскости, минимальна.

Решение ЗДЕСЬ.

Разные задачи

?

Доказать, что при n\in \mathbb N выражение 4^{2n} - 3^{2n}-7 кратно 84_{}.

?

Чашка, имеющая вид полушария, наполнена водой, а затем наклонена на угол 45^{o}. Доказать, что выльется около 88_{}\% воды.

Источники

Все задачи, кроме особо отмеченных, взяты из [1].

[1]. Попов Г.Н. Сборник исторических задач по элементарной математике. М.-Л.ГТТИ.1932

[2]. May K.O. Galileo sequences, a good dangling problem. The Amer.Math.Monthly. V.79, № 1, 1972, pp. 67-69

[3]. Дингельдэй Фр. Сборникъ задачъ по приложенiю дифференцiальнаго и интегральнаго исчисленiй. С.-Петербург. 1912

1) Араго Доминик Франсуа (Arago Dominique François Jean (1786-1853) — французский физик и астроном, человек удивительный во многих отношениях. Литературное изложение его биографии можно найти в книге Д.Гранина «Повесть об одном ученом и одном императоре».

2018/03/24 18:13 редактировал au