УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу ЛИНЕЙНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ.


Т

Теорема. Имеет место равенство:

\dim \mathbb V=\dim \left( \mathcal{K}er (\mathcal A) \right) + \dim \left( \mathcal{I}m (\mathcal A) \right) = \operatorname{dfc}(\mathcal A )+ \operatorname{rank}(\mathcal A ) \ .

Доказательство. Пусть \operatorname{rank}(\mathcal A)={\mathfrak r} и система \{Y_1,\dots,Y_{{\mathfrak r}}\} составляет базис \mathcal{I}m (\mathcal A). Тогда, согласно пункту в) теоремы 1, их прообразы X_1,\dots,X_{{\mathfrak r} } \ (Y_j=\mathcal A (X_j)) линейно независимы. Пусть \operatorname{dfc} (\mathcal A)=d и система \{X_1^{*},\dots,X_d^{*}\} составляет базис \mathcal{K}er (\mathcal A) . Докажем, что система

\{X_1,\dots,X_{{\mathfrak r}},X_1^{*},\dots,X_d^{*}\}

является базисом \mathbb V_{}.

Образ любого вектора X\in \mathbb V представи́м в виде линейной комбинации базисных векторов \mathcal{I}m (\mathcal A):

\mathcal A(X)=\beta_1 Y_1\boxplus \cdots \boxplus \beta_{{\mathfrak r}} Y_{{\mathfrak r}} \ .

Тогда вектор

\widetilde X= X- \left(\beta_1 X_1+\cdots+ \beta_{{\mathfrak r}} X_{{\mathfrak r}} \right)

должен принадлежать \mathcal{K}er (\mathcal A):

\mathcal A (\widetilde X)=\mathcal A (X)\boxminus \beta_1 \mathcal A (X_1)\boxminus \cdots \boxminus \beta_{{\mathfrak r}} \mathcal A (X_{{\mathfrak r}})=\mathcal A (X) \boxminus \beta_1 Y_1 \boxminus \cdots \boxminus \beta_{{\mathfrak r}} Y_{{\mathfrak r}}=\mathbb O'\ .

Следовательно, \widetilde X представи́м в виде линейной комбинации векторов X_1^{*},\dots,X_d^{*}:

\widetilde X=\alpha_1 X_1^{*}+\cdots+ \alpha_d X_d^{*} \ .

Из этого равенства и определения вектора \widetilde X вытекает, что вектор X_{} представи́м в виде линейной комбинации векторов системы \{X_1,\dots,X_{{\mathfrak r}},X_1^{*},\dots,X_d^{*}\}.

Осталось показать, что вектора этой системы линейно независимы. Пусть имеет место равенство

\gamma_1 X_1+\cdots+ \gamma_{{\mathfrak r}} X_{{\mathfrak r}}+\delta_1X_1^{*}+\cdots+ \delta_dX_d^{*}=\mathbb O

при некотором наборе скаляров. Тогда действие \mathcal A_{} на обе части равенства приводит к

\gamma_1Y_1\boxplus \cdots \boxplus \gamma_{{\mathfrak r}}Y_{{\mathfrak r}} \boxplus \mathbb O' \boxplus \cdots \boxplus \mathbb O'=\mathbb O' \ ,

что возможно только при \gamma_1=0,\dots ,\gamma_{{\mathfrak r}}=0 поскольку \{Y_1,\dots,Y_{{\mathfrak r}}\} — базис \mathcal{I}m (\mathcal A). Таким образом предполагаемое равенство

\gamma_1 X_1+\cdots+ \gamma_{{\mathfrak r}} X_{{\mathfrak r}}+\delta_1X_1^{*}+\cdots+ \delta_dX_d^{*}=\mathbb O

вырождается в \delta_1 X_1^{*}+\cdots+ \delta_d X_d^{*}=\mathbb O, которое также возможно только при \delta_1 =0, \dots, \delta_d=0, поскольку \{X_1^{*},\dots,X_d^{*}\} — базис \mathcal{K}er (\mathcal A). Равенство нулевому вектору линейной комбинации векторов \{X_1,\dots,X_{{\mathfrak r}},X_1^{*},\dots,X_d^{*}\} оказывается возможным только при нулевом наборе скаляров.

Мы доказали, что система системы \{X_1,\dots,X_{{\mathfrak r}},X_1^{*},\dots,X_d^{*}\} — базисная для \mathbb V_{}, но тогда {\mathfrak r}+d=\dim \mathbb V.


2014/04/23 09:14 редактировал au