УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к пункту ☞ МАТРИЦА ОПЕРАТОРА.


Т

Теорема. Если C_{}матрица перехода от старого базиса к новому, то матрицы {\mathbf A} и {\mathbf B} оператора в старом и новом базисах связаны формулой:

{\mathbf B}=C^{-1}\cdot {\mathbf A} \cdot C \ .

Доказательство. Пусть \{X_{1},\dots,X_n \} — старый базис, \{{\mathfrak X}_1,\dots,{\mathfrak X}_n \} — новый базис и разложения вектора X_{} и его образа Y_{} в этих базисах имеют вид:

X=x_1X_1+\dots+x_nX_n={\mathfrak x}_1{\mathfrak X}_1+\dots+{\mathfrak x}_n{\mathfrak X}_n,
Y=\mathcal A (X)=y_1X_1+\dots+y_nX_n={\mathfrak y}_1{\mathfrak X}_1+\dots+{\mathfrak y}_n{\mathfrak X}_n .

На основании результатов ☞ ПУНКТА, имеем:

\left(\begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right)=C \left(\begin{array}{c} {\mathfrak x}_1 \\ \vdots \\ {\mathfrak x}_n \end{array} \right), \qquad \left(\begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right)=C \left(\begin{array}{c} {\mathfrak y}_1 \\ \vdots \\ {\mathfrak y}_n \end{array} \right).

Получаем цепочку равенств:

{\mathbf B}\left(\begin{array}{c} {\mathfrak x}_1 \\ \vdots \\ {\mathfrak x}_n \end{array} \right)= \left(\begin{array}{c} {\mathfrak y}_1 \\ \vdots \\ {\mathfrak y}_n \end{array} \right) = C^{-1}\left(\begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right)= C^{-1} {\mathbf A} \left(\begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right)= C^{-1} {\mathbf A}C \left(\begin{array}{c} {\mathfrak x}_1 \\ \vdots \\ {\mathfrak x}_n \end{array} \right).

Равенство имеет место для любого столбца \left[{\mathfrak x}_1, \dots , {\mathfrak x}_n\right]^{^{\top}}, и, в частности, для столбцов

\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right) \ , \ \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right) \ ,\dots, \ \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{array} \right) \ .

Объединяя эти n_{} равенств в одно матричное, получим {\mathbf B} \cdot E=C^{-1}\cdot {\mathbf A} \cdot C \cdot E, откуда и следует доказываемое.


2012/01/23 11:21 редактировал au