УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу ОПЕРАТОР


Задачи

1. Оператор \mathcal A в \mathbb R^{3} действует следующим образом:

a) \mathcal A(1,2,3)=(-2,1,1),\ \mathcal A(1,1,1)=(0,1,1),\ \mathcal A(1,1,0)=(4,0,2), определить \mathcal A(-1,1,-2);

б) \mathcal A(1,2,1)=(-1,0,1),\ \mathcal A(2,1,2)=(1,1,1),\ \mathcal A(1,1,1)=(1,1,0), определить \mathcal A(3,2,1);

в) \mathcal A(1,2,1)=(-1,0,1),\ \mathcal A(-2,-3,-2)=(1,1,1),\ \mathcal A(1,1,1)=(0,-1,-2), определить \mathcal A(0,-2,0);

г) \mathcal A(1,2,1)=(-1,0,1),\ \mathcal A(-2,-3,-2)=(1,1,1),\ \mathcal A(0,1,0)=(-1,1,3), определить \mathcal A(0,0,1).

2. В пространстве \mathbb P_3 полиномов степеней \le 3_{} с вещественными коэффициентами оператор задан следующим образом:

a) \mathcal A (p(x))= частное от деления p_{}(x) на x^{2}+1 , найти \mathcal{K}er (\mathcal A) и \mathcal{I}m(\mathcal A);

б) \mathcal A (p(x))=3\,x^2p^{\prime \prime}(x)-2 p^{\prime}(x), найти его матрицу в базисе \{ 1, x, 1/2(3\,x^2-1),\ 1/2(5x^3-3\,x) \};

в) \ \mathcal A (f(x)) = f(x) (x^2-2) \pmod{x^4-x^3-x^2+x}, (т.е. полином f_{}(x) отображается в остаток от деления произведения f(x) (x^2-2) на x^4-x^3-x^2+x); найти \mathcal A_{}^{-1}.

3. В пространстве квадратных матриц 2_{}-го порядка выбран базис:

E_1=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right),\ E_2=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right),\ E_3=\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right),\ E_4=\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \ .

Построить в этом базисе матрицу отображения Ляпунова

\mathcal V (X) = A^{\top}X+XA \ .

Здесь матрица A_{} — некоторая фиксированная квадратная матрица 2_{}-го порядка. Сравнить ответ с вот этим объектом.

4. Найти все значения параметра \alpha_{}, при которых матрица

а)

\quad \left( \begin{array}{rcr} 3-\alpha &\alpha -5 & \alpha \\ -\alpha &\alpha - 2 & \alpha \\ 5 & -5 & -2 \end{array} \right) \ ;

б)

\left( \begin{array}{ccc} 1-5\, \alpha & 4\, \alpha & 3\, \alpha \\ 5\, \alpha & 1-4\, \alpha & -3\, \alpha \\ -15\, \alpha & 12\, \alpha & 1+9 \, \alpha \end{array} \right)

диагонализуема.

5. Доказать, что любые n_{}+1 степеней произвольного оператора, заданного в пространстве размерности n_{}, будут линейно зависимыми.

6. При каком условии оператор \mathcal A будет иметь неподвижную точку:

X \in \mathbb V, X \ne \mathbb O,\ \mathcal A (X)=X \ ?

7 [1]. Рассмотрим пространство полиномов \mathbb P всевозможных степеней от переменной x_{}. Пусть

\mathcal A (a_0+a_1x+\dots+a_nx^n)= a_1+a_2x+\dots+a_nx^{n-1},\quad \mathcal B (f(x))= xf(x) \ .

Доказать, что

\mathcal A \mathcal B = \mathcal E , \quad \mathcal B \mathcal A \ne \mathcal E \ .

8. Существует ли оператор в \mathbb R^{2}, отображающий треугольник P_{1}P_2P_3 в треугольник Q_1Q_2Q_3 если

a) P_1=(1,1),P_2=(3,1),P_3=(2,3), а Q_1=(1,1),Q_2=(2,1),Q_3=(1,4);

б) P_1=(0,0),P_2=(3,1),P_3=(2,3), а Q_1=(0,0),Q_2=(2,1),Q_3=(1,4);

в) P_1=(2,1),P_2=(3,3),P_3=(4,2), а Q_1=(1,1),Q_2=(2,2),Q_3=(3,1) ?

Если да, то укажите количество таких операторов. Во что при этом отображается центроид треугольника?

9. Доказать, что для любых двух различных векторов \{X,Y\}\subset \mathbb R^n одинаковой длины существует оператор зеркального отражения, переводящий один вектор в другой.

10. Найти спектр оператора зеркального отражения.

11. В ненулевом пространстве случайным образом выбирается действующий в нем оператор. Какова вероятность того, что он вырожден?

Источники

[1]. Шилов Г.Е. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства. М.Наука.1969


2018/01/07 18:04 редактировал au