УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА


Примеры

§

Для экономии места используется обозначение стандартного базисного вектора:

{\mathfrak e}_j = \big[\underbrace{0,\dots,0,1}_{j},0,\dots,0\big]^{\top} .

П

Пример 1. Для матрицы

{\mathbf A}=\left( \begin{array}{rrrrrr} -1 & 0 & -9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{array} \right)

построить ЖНФ и матрицу C_{}, к ней приводящую.

Решение. 1. Вычисляем характеристический полином \det ({\mathbf A}- \lambda\, E)=(\lambda-2)^6. Он имеет единственный корень \lambda_1=2 кратности {\mathfrak m}_1=6.

2. Ищем \mathbb Q_1, т.е. подпространство корневых векторов высоты 1_{}, принадлежащих \lambda_1. Для этого составляем матрицу

{\mathbf B}={\mathbf A}- 2\, E= \left( \begin{array}{rrrrrr} -3 & 0 & -9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)

и ищем фундаментальную систему решений (ФСР) для системы {\mathbf B}X=\mathbb O. Результатом прямого хода метода Гаусса является система

\left\{ \begin{array}{rrrrrrr} x_1& & +3x_3 & & & &=0 \\ &x_2 & & & & &=0 \\ & & & x_4 & &-x_6& =0 \end{array} \right. \quad \Rightarrow \qquad ФСР: \quad \begin{array}{ccc|ccc} x_1 & x_2 & x_4 & x_3 & x_5 & x_6 \\ \hline -3 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}

(справа от вертикальной черты — значения основных переменных) и \mathbb Q_1=\mathcal L ({\mathfrak e}_5, {\mathfrak e}_4+{\mathfrak e}_6,-3{\mathfrak e}_1+{\mathfrak e}_3).

Вывод. Собственному числу \lambda_1=2 в ЖНФ соответствуют k_1=3 клетки Жордана. Матрица {\mathbf A} недиагонализуема.

3. Ищем \mathbb Q_2, т.е. подпространство корневых векторов высоты \le 2, принадлежащих \lambda_{1}. Для этого вычисляем матрицу

{\mathbf B}^2= \left( \begin{array}{rrrrrr} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & -2 \end{array} \right)

и ищем ФСР для системы {\mathbf B}^2X=\mathbb O. Эта система вырождается в единственное уравнение

x_2+x_4-x_6=0 \ ,

для которого ФСР можно строить произвольным образом. Мы, однако же, построим ее дополнением ФСР, полученной на шаге 2 :

\begin{array}{c|ccccc} x_4 & x_3 & x_5 & x_6 & x_1 & x_2 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}

(переменные x_{1} и x_{2}, которые были зависимыми на шаге 2 , переведены в разряд основных). Таким образом, k_2=2 добавленных на этом шаге вектора составляют относительный базис \mathbb Q_2 над \mathbb Q_1.

4. Ищем \mathbb Q_3, т.е. подпространство корневых векторов высоты \le 3, принадлежащих \lambda_{1}. Матрица {\mathbf B}^3 оказывается нулевой, следовательно \mathbb Q_3=\mathbb R^6. Базис \mathbb Q_3 построим дополнением базиса \mathbb Q_2:

\qquad \qquad \qquad \mathbb Q_3=\mathcal L ({\mathfrak e}_5, {\mathfrak e}_4+{\mathfrak e}_6,-3{\mathfrak e}_1+{\mathfrak e}_3, {\mathfrak e}_2-{\mathfrak e}_4,{\mathfrak e}_1,{\mathfrak e}_4) \ .

Таким образом, k_3=1.

5. Поскольку число векторов в базисе \mathbb Q_3 совпало с кратностью {\mathfrak m}_1=6 собственного числа \lambda_1=2, то на этом процесс вычисления корневых векторов останавливается. Информация о структуре клеток Жордана, соответствующих \lambda_{1} берем из алгоритма построения базиса корневого подпространства:

  • \mathfrak h_1=3,k_3=1, следовательно имеется одна клетка порядка 3_{};
  • в относительном базисе

\mathbb Q_2 над \mathbb Q_1 содержатся k_2=2 вектора и k_2-k_3=1, т.е. имеется одна клетка порядка 2_{};

  • в базисе \mathbb Q_1 содержатся k_1= 3 вектора и k_1-k_2=1, т.е. имеется одна клетка порядка 1_{}.
{\mathbf A}_{\mathfrak J}=\left( \begin{array}{rrr|rr|r} 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{array} \right) \ .

Теперь начинаем построение соответствующей матрицы C_{}. Прежде всего, представляем алгоритм нахождения базисных векторов подпространств \mathbb Q_1, \mathbb Q_2, \mathbb Q_3 в виде схемы 1, в ней каждый этаж показывает число корневых векторов, добавляемых на каждом шаге. Стоящие друг над другом квадраты образуют башни, высоты которых дают размерности клеток Жордана.

6. Для построения канонического базиса обратимся к схеме 1, и будем заполнять ее квадраты, начиная с самого верхнего. Согласно алгоритму, для построения базиса циклического подпространства размерности 3_{} мы должны взять произвольный вектор из относительного базиса \mathbb Q_3 над \mathbb Q_2. Этот вектор единствен: {\mathfrak e}_4. Далее, домножаем его на матрицы {\mathbf B} и {\mathbf B}^2. Три полученных вектора {\mathfrak e}_4, {\mathfrak e}_2-{\mathfrak e}_4, 2({\mathfrak e}_4+{\mathfrak e}_6) — это первые векторы канонического базиса (схема 2). Они соответствуют клетке Жордана порядка 3_{}.

7. Больше циклических подпространств размерности 3_{} не имеется, и мы начинаем искать базис циклических подпространств размерности 2_{}. Согласно алгоритму, мы должны взять произвольный вектор из относительного базиса \mathbb Q_2 над \mathbb Q_ 1, линейно независимый с тем, что получен на шаге 6 , т.е. с ({\mathfrak e}_2-{\mathfrak e}_4). Такой вектор единствен: {\mathfrak e}_1. Домножим его на матрицу {\mathbf B}. Два вектора: {\mathfrak e}_1, -3{\mathfrak e}_1+{\mathfrak e}_3 являются следующими векторами канонического базиса и соответствуют клетке Жордана порядка 2_{} (схема 3).

8. Осталось одномерное циклическое подпространство. Его базис выбирается из \mathbb Q_1. Из базисных векторов \mathbb Q_1 можно взять только {\mathfrak e}_5 (т.к. векторы -3{\mathfrak e}_1+{\mathfrak e}_3 и {\mathfrak e}_4+{\mathfrak e}_6 уже задействованы на предыдущих этапах и содержатся среди канонических). Итак, канонический базис пространства \mathbb R^6 задается

\left\{{\mathfrak e}_4, {\mathfrak e}_2-{\mathfrak e}_4, 2({\mathfrak e}_4+{\mathfrak e}_6), {\mathfrak e}_1, -3{\mathfrak e}_1+{\mathfrak e}_3, {\mathfrak e}_5 \right\}

т.е. матрица

C= \left( \begin{array}{rrrrrr} 0 & 0 & 0 & 1 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)

приводит матрицу {\mathbf A} к ЖНФ: C^{-1}{\mathbf A}C={\mathbf A}_{\mathfrak J}.

9. Матрица C_{}, приводящая к ЖНФ, определяется не единственным образом — алгоритм ее построения допускает неоднозначности. Последним шагом решения может быть проверка равенства {\mathbf A}C=C{\mathbf A}_{\mathfrak J}. Хотя это условие является только необходимым, но очень часто позволяет отловить ошибки.

П

Пример 2. Для матрицы

{\mathbf A}=\left( \begin{array}{rrrrrr} 3 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & -3 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 6 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & -3 \end{array} \right)

построить ЖНФ и матрицу C_{}, к ней приводящую.

Решение. 1. Вычисляем характеристический полином \det ({\mathbf A}- \lambda\, E)=\lambda^6. Он имеет единственный корень \lambda_1=0 кратности {\mathfrak m}_1=6.

2. Ищем \mathbb Q_1, т.е. подпространство корневых векторов высоты 1_{}, принадлежащих \lambda_1=0. Для нашего примера матрица {\mathbf B}={\mathbf A}- \lambda_1\, E совпадает с матрицей \mathbf A_{}. Строим ФСР для системы {\mathbf A}X=\mathbb O:

\left\{ \begin{array}{rrrrrrr} 3\,x_1& &-x_3 & +x_4 & & &=0, \\ & 12\, x_2 &-8\,x_3 & -x_4 & &+3\,x_6 & =0,\\ & & & -2\,x_4 &+x_5 & & =0, \\ & & & &3\,x_5& -2\,x_6 & = 0 \end{array} \right. \quad \Rightarrow \qquad ФСР: \quad \begin{array}{rrrr|cc} x_1 & x_2 & x_4 & x_5 & x_3 & x_6 \\ \hline -1 & -2 & 3 & 6 & 0 & 9 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 3 & 0 \end{array}

и

\mathbb Q_1=\mathcal L ([1,2,3,0,0,0]^{\top}, \ [-1,-2,0,3,6,9]^{\top}) \ .

Вывод. Собственному числу \lambda_1=0 в ЖНФ соответствуют k_{1}=2 клетки Жордана. Матрица {\mathbf A} недиагонализуема.

3. Ищем \mathbb Q_2, т.е. подпространство корневых векторов высоты \le 2, принадлежащих \lambda_{1}. Для этого вычисляем матрицу

{\mathbf B}^2={\mathbf A}^2= \left( \begin{array}{rrrrrr} 8 & -4 & 0 & 6 & 0 & -2 \\ 16 & -8 & 0 & 12 & 0 & -4 \\ 24 & -12 & 0 & 2 & 8 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 8 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 16 & -8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 24 & -12 & 0 \end{array} \right)

и ищем ФСР для системы {\mathbf B}^2X=\mathbb O. Эта система сводится к двум уравнениям

\left\{ \begin{array}{rrrrrrr} 4\,x_1&-2\,x_2 & & +3x_4 & & -x_6 &=0 \\ & & & 2\,x_4 &-x_5 & & =0 \end{array} \right. \quad \Rightarrow \qquad ФСР: \quad \begin{array}{cc|cccc} x_2 & x_5 & x_1 & x_3 & x_4 & x_6 \\ \hline 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 3 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ -2 & 6 & -1 & 0 & 3 & 9 \end{array}

Следуя общему алгоритму, ФСР строим дополнением системы, полученной на шаге 2 :

\mathbb Q_2=\mathcal L ([1,2,3,0,0,0]^{\top}, \ [-1,-2,0,3,6,9]^{\top},\ [1,2,0,0,0,0]^{\top},\ [0,3,0,2,4,0]^{\top}) \ .

4. Ищем \mathbb Q_3, т.е. подпространство корневых векторов высоты \le 3, принадлежащих \lambda_{1}. Для этого вычисляем матрицу

{\mathbf B}^3={\mathbf A}^3= \left( \begin{array}{rrrrrr} 0 & 0 & 0 & 24 & -12 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 48 & -24 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 72 & -36 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)

и ищем ФСР для системы {\mathbf B}^3X=\mathbb O. Эта система вырождается в единственное уравнение

2\,x_4-x_5=0 \ ,

для которого ФСР строим дополнением ФСР, полученной на шаге 3 :

\begin{array}{c|ccccc} x_5 & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_6 \\ \hline 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 3 & 0 & 2 & 0 \\ 6 & -1 & -2 & 0 & 3 & 9 \end{array}

и

\mathbb Q_3=\mathcal L ([1,2,3,0,0,0]^{\top}, \ [-1,-2,0,3,6,9]^{\top},\ [1,2,0,0,0,0]^{\top},\ [0,3,0,2,4,0]^{\top}, \ {\mathfrak e}_2) .

5. Ищем \mathbb Q_4, т.е. подпространство корневых векторов высоты \le 4, принадлежащих \lambda_{1}. Матрица {\mathbf B}^4= {\mathbf A}^4 оказывается нулевой, т.е. \mathbb Q_4 = \mathbb R^6. Базис \mathbb Q_4 построим дополнением базиса \mathbb Q_3:

\mathbb Q_4= \mathcal L ([1,2,3,0,0,0]^{\top}, \ [-1,-2,0,3,6,9]^{\top},\ [1,2,0,0,0,0]^{\top},\ [0,3,0,2,4,0]^{\top}, \ {\mathfrak e}_2,\ {\mathfrak e}_5) \ .

6. Поскольку число корневых векторов в базисе \mathbb Q_4 совпало с кратностью собственного числа \lambda_1=0, то на этом процесс вычисления корневых векторов останавливается. Применение первой части алгоритма дает информацию о структуре клеток Жордана, соответствующих \lambda_{1}.

{\mathbf A}_{\mathfrak J}=\left( \begin{array}{rrrr|rr} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right) \ .

7. Для построения канонического базиса обратимся к схеме 1, и будем заполнять ее квадраты, начиная с самого верхнего. Согласно алгоритму, для построения базиса циклического подпространства размерности 4_{} мы должны взять произвольный вектор из относительного базиса \mathbb Q_4 над \mathbb Q_3. Этот вектор единствен: {\mathfrak e}_5. Далее, домножаем его на матрицы {\mathbf B},{\mathbf B}^2 и {\mathbf B}^3. Четыре полученных вектора

{\mathfrak e}_5,\ [0,1,0,4,0,0]^{\top},\ [0,0,8,-4,-8,-12]^{\top} , \ [-12,-24,-36,0,0,0]^{\top}

— это первые векторы канонического базиса (схема 2). Они соответствуют клетке Жордана порядка 4_{}.

Больше циклических подпространств размерностей 4_{} и 3_{} не имеется, и мы начинаем искать базис циклических подпространств размерности 2_{}. Согласно алгоритму, мы должны взять такой вектор из относительного базиса \mathbb Q_2 над \mathbb Q_1, чтобы он — вместе с полученным ранее вектором [0,0,8,-4,-8,-12]^{\top} — образовал бы систему векторов, линейно независимую относительно \mathbb Q_1. Какой из векторов взять —

[1,2,0,0,0,0]^{\top} \qquad или \qquad [0,3,0,2,4,0]^{\top}

— на первый взгляд, не очевидно. Приходится выполнять проверку на линейную независимость двух систем векторов:

\{ [1,2,3,0,0,0]^{\top}, \ [-1,-2,0,3,6,9]^{\top},\ [0,0,8,-4,-8,-12]^{\top}, \ [1,2,0,0,0,0]^{\top} \}

и

\{ [1,2,3,0,0,0]^{\top}, \ [-1,-2,0,3,6,9]^{\top},\ [0,0,8,-4,-8,-12]^{\top},\ [0,3,0,2,4,0]^{\top} \} \ .

Выясняется, что первая система линейно зависима, а вторая — нет. Итак, в качестве первого базисного вектора циклического подпространства размерности 2_{} следует взять [0,3,0,2,4,0]^{\top}. Второй базисный вектор получается его домножением на матрицу {\mathbf B}:

\left[2,4,12,6,12,18\right]^{\top} \ .

Окончательно, матрица

C= \left( \begin{array}{rrrrrr} 0 & 0 & 0 & -12 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -24 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 8 & -36 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & -4 & 0 & 2 & 6 \\ 1 & 0 & -8 & 0 & 4 & 12 \\ 0 & 4 & -12 & 0 & 0 & 18 \end{array} \right)

приводит матрицу {\mathbf A} к ЖНФ: C^{-1}{\mathbf A}C={\mathbf A}_{\mathfrak J}.


2017/04/17 23:56 редактировал au