УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


Вспомогательная страница к пункту СУММА И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ


?

Найти базисы суммы и пересечения подпространств

\mathbb V_1=\left\{ X\in \mathbb R^4 \left| \begin{array}{rrrrl} 2\,x_1&+x_2&+4\,x_3&+x_4 &= 0, \\ 2\,x_1&+x_2&+3\,x_3& &=0 \end{array} \right. \right\}

и

\mathbb V_2= \left\{ X\in \mathbb R^4 \left| \begin{array}{rrrrl} 3\,x_1&+2\,x_2&-x_3&-6\, x_4 &= 0, \\ x_1&&+8\,x_3 &+7\, x_4 &=0 \end{array} \right. \right\} \ .

Решение. Проще определить базис пересечения. Можно было бы свести задачу к случаю, рассмотренному в примере из ПУНКТА, — посредством определения ФСР для каждой из систем уравнений. Однако, по здравому размышлению о способе задания каждого из подпространств, можно предложить более простой алгоритм. Множество векторов X\in \mathbb R^4, принадлежащих \mathbb V_j, выделяется из пространства \mathbb R^4 наложением на эти векторы ограничений в виде равенств, которым они должны удовлетворять. Теперь очевидно, что X\in \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 тогда и только тогда, когда X_{} одновременно удовлетворяет ограничениям как одного подпространства так и другого. Иными словами, он должен быть решением объединенной системы линейных уравнений

\left\{ \begin{array}{rrrrl} 2\,x_1&+x_2&+4\,x_3&+x_4 &= 0, \\ 2\,x_1&+x_2&+3\,x_3& &=0, \\ 3\,x_1&+2\,x_2&-x_3 &-6\, x_4 &= 0, \\ x_1& &+8\,x_3 &+7\, x_4 &=0. \end{array} \right.

Решаем ее по методу Гаусса:

\left\{ \begin{array}{rrrrl} 2\,x_1&+x_2&+4\,x_3&+x_4 &= 0, \\ &1/2 x_2&-7\,x_3&-15/2\,x_4 &=0, \\ &&x_3 &+x_4 &= 0 \end{array} \right. \quad \Rightarrow \quad ф.с.р. \quad \begin{array}{rrr|r} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ \hline 1 & 1 & -1 & 1 \end{array} \ .

Итак, \dim (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2)=1 и базисным вектором может быть взят [1,1,-1,1]^{^{\top}}.

Для нахождения базиса \mathbb V_1 + \mathbb V_2 нам все же придется определить базисы каждого из подпространств, т.е. решить каждую из систем уравнений:

\mathbb V_1 = \mathcal L \left( \left[ \begin{array}{r} -1/2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right],\, \left[ \begin{array}{r} 3/2 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right] \right) \ , \qquad \mathbb V_2 = \mathcal L \left(\left[ \begin{array}{r} -8 \\ 25/2 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right],\, \left[ \begin{array}{r} -7 \\ 27/2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] \right) \ .

Собираем базисные векторы в одну матрицу:

\left( \begin{array}{rrrr} -1/2 & 3/2 & -8 & -7 \\ 1 & 0 & 25/2 & 27/2 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right) \ .

Теорема о связи размерностей суммы и пересечения линейных подпространств позволяет предсказать величину ее ранга: 2+2-1=3. Осталось только выяснить какими столбцами этот ранг обеспечивается:

\left| \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 25/2 \\ 0&-1&1 \\ 0& 1 & 0 \end{array} \right| \ne 0 \ ;

следовательно базис \mathbb V_1 + \mathbb V_2 состоит из первых трех столбцов матрицы.


2017/06/19 20:59 редактировал au