УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА


Т

Теорема. Имеет место формула:

\dim \, \mathbb V_1 + \dim \, \mathbb V_2=\dim \, (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2) + \dim \, (\mathbb V_1 + \mathbb V_2) \ .

Доказательство. Пусть d_1 = \dim \, \mathbb V_1,\, d_2 = \dim \, \mathbb V_2, \ p =\dim \, (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2) и \{X_1,\dots,X_p \} — базис \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2. На основании теоремы 9, приведенной ЗДЕСЬ, этот базис можно дополнить до базисов каждого из подпространств \mathbb V_j: пусть

\{X_1,\dots,X_p ,X_{p+1},\dots,X_{d_1} \} - базис \mathbb V_1 ,

а

\{X_1,\dots,X_p ,Y_{p+1},\dots,Y_{d_2} \} - базис \mathbb V_2 .

Докажем, что система

\{X_1,\dots,X_p ,X_{p+1},\dots,X_{d_1},Y_{p+1},\dots,Y_{d_2} \}

является базисом \mathbb V_1 + \mathbb V_2. Действительно, произвольный вектор Z\in \mathbb V_1 + \mathbb V_2 можно представить в виде Z=Z_1+Z_2, где Z_j\in \mathbb V_j. А каждый из слагаемых векторов, в свою очередь, можно разложить в линейную комбинацию базисных векторов соответствующего подпространства.

Покажем, что система л.н.з. Пусть

\underbrace{\alpha_1 X_1+\dots + \alpha_p X_p +\alpha_{p+1}X_{p+1}+\dots+\alpha_{d_1} X_{d_1}}_{= U\in \mathbb V_1}+ \beta_{p+1}Y_{p+1}+\dots+ \beta_{d_2}Y_{d_2}=\mathbb O \ .

Из этого соотношения вектор U_{} может быть выражен в виде:

U=-\beta_{p+1}Y_{p+1}-\dots -\beta_{d_2}Y_{d_2}\ \in \mathbb V_2

и, таким образом, U\in \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2. Тогда U_{} выражается через базисные векторы пересечения:

U=-\beta_{p+1}Y_{p+1}-\dots -\beta_{d_2}Y_{d_2}=\tilde \alpha_1 X_1+\dots+\tilde \alpha_p X_p \ .

Отсюда

\tilde \alpha_1 X_1+\dots+\tilde \alpha_p X_p+\beta_{p+1}Y_{p+1}+\dots +\beta_{d_2}Y_{d_2}=\mathbb O

и, следовательно,

\tilde \alpha_1=0,\dots, \tilde \alpha_p=0,\beta_{p+1}=0, \dots, \beta_{d_2}=0 \ ,

поскольку комбинируемые векторы являются базисными для \mathbb V_2. Итак, U=\mathbb O, но тогда из определения этого вектора вытекает, что \alpha_1=0,\dots, \alpha_{d_1}=0, т.к. комбинируемые векторы составляют базис \mathbb V_1. Итак, соотношение

\alpha_1 X_1+\dots + \alpha_p X_p +\alpha_{p+1}X_{p+1}+\dots+\alpha_{d_1} X_{d_1}+ \beta_{p+1}Y_{p+1}+\dots+ \beta_{d_2}Y_{d_2}=\mathbb O

возможно только при нулевом наборе скаляров, что и означает линейную независимость системы

\{X_1,\dots,X_p ,X_{p+1},\dots,X_{d_1},Y_{p+1},\dots,Y_{d_2} \} \ .

Мы доказали, что эта система образует базис пространства \mathbb V_1+\mathbb V_2, но тогда

\dim \, (\mathbb V_1+\mathbb V_2) = d_1+ d_2 -p \ .


2019/03/20 13:19 редактировал au