УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО


Задачи

1. Будет ли линейным подпространством множество полиномов, имеющих заданный набор корней \{\lambda_1,\dots,\lambda_{n}\} ?

2. Проверить, что каждая из систем векторов

\left\{ \left[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right],\ \left[\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 3 \end{array} \right],\ \left[\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ 1 \end{array} \right] \right\} \quad u \quad \left\{ \left[\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 4 \end{array} \right],\ \left[\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right],\ \left[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ -6 \end{array} \right] \right\}

является базисной в \mathbb R^3, и найти координаты вектора X_{}

а) во втором базисе, если x_1=1,x_2=0,x_3=1 — его координаты в первом;

б) в первом базисе, если {\mathfrak x}_1=1,{\mathfrak x}_2=-1,{\mathfrak x}_3=1 — его координаты во втором.

3. Будут ли параллельны многообразия

\mathbb M_1 = [1,1,1,1] + \mathcal L ( [1,2,1,1], [-1,0,0,1]) \quad u \quad \mathbb M_2 = [2,1,1,0] + \mathcal L ( [2,2,1,0], [0,1,1/2,1]) \ ?

4. Доказать, что для пространства полиномов степеней не выше 3_{} каждая из систем

{\mathfrak N}=\left\{1,\, x-x_1,\, (x-x_1)(x-x_2),\, (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) \right\}

и

\begin{matrix} {\mathfrak L}&=&\big\{(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4),\, (x-x_1)(x-x_3)(x-x_4),\\ & &(x-x_1)(x-x_2)(x-x_4),\, (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) \big\} \end{matrix}

является базисной при всех различных x_1,x_2,x_3,x_4. Найти координаты произвольного полинома p(x) в этих базисах. Проиллюстрировать на примерах: x_1=0,x_2=1,x_3=2,x_4=3 и p(x)=x^3+x^2-3x+1, p(x)=x^3-x^2-x+1. Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму.

5. Найти базис \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 при

\mathbb V_1={\mathcal L} \left( \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \ \end{array} \right],\, \left[ \begin{array}{r} 0 \\ 3 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right] \right) \quad u \quad \mathbb V_2= \left\{ X\in \mathbb R^4 \left| \begin{array}{rrrrl} 3\,x_1&+2\,x_2&-x_3&-6\, x_4 &= 0, \\ 2\,x_1&&+8\,x_3 &+7\, x_4 &=0 \end{array} \right. \right\} \ .

6. Можно ли как-то осмысленно ввести понятие разности двух линейных подпространств?

7. Пусть \mathbb V=\mathbb V_1 \oplus \mathbb V_2. При каком условии проекция вектора X \in \mathbb V на \mathbb V_1 будет нулевым вектором?


2016/03/03 00:05 редактировал au