УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО. Содержит материал теоретического значения, не очень существенный1) для остальных разделов.


Факторпространство

В настоящем пункте \mathbb V_1 обозначает линейное подпространство пространства \mathbb V_{}, отличное от тривиального; обозначаем d_1=\dim \mathbb V_1.

Говорят, что векторы \{X_1,X_2\} \subset \mathbb V сравнимы по подпространству \mathbb V_1, если X_1-X_2 \in \mathbb V_1; этот факт записывают:

X_1\equiv_{_{\mathbb V_1}} X_2 \ .

Все пространство \mathbb V_{} раскладывается на объединение подмножеств, или классов векторов, сравнимых по подпространству \mathbb V_1. Если X_1\equiv_{_{\mathbb V_1}} X_2, Y_1\equiv_{_{\mathbb V_1}} Y_2, то \alpha X_1+\beta Y_1 \equiv_{_{\mathbb V_1}} \alpha X_2+\beta Y_2. Два разных класса не пересекаются и полностью определяются заданием любого своего представителя. Поэтому их обозначают \overline{X_1}, \overline{X_2},\dots

Множество классов, сравнимых по подпространству \mathbb V_1 называется факторпространством \mathbb V_{} над \mathbb V_1 и этот объект обозначается \mathbb V / \mathbb V_1.

§

Это определение фактически повторяет определение факторгруппы. Напомню, что любое линейное пространство образует абелеву группу относительно операции сложения.

Т

Теорема. Факторпространство \mathbb V / \mathbb V_1 является линейным пространством, базис которого состоит из классов, порожденных векторами, образующими базис \mathbb V_{} относительно \mathbb V_1. Обратно, если из каждого базисного класса факторпространства взять по одному вектору, то получим базис \mathbb V_{} относительно \mathbb V_1.

Доказательство. Положим:

\alpha \overline{X}+\beta \overline{Y}= \overline{\alpha X+\beta Y}\ .

Введенное таким образом определение корректно, т.е. не зависит от выбора представителей класса:

{}_{.} если \ X_1 \equiv_{_{\mathbb V_1}} X, \ Y_1 \equiv_{_{\mathbb V_1}} Y, то \ \alpha X_1+\beta Y_1 \equiv_{_{\mathbb V_1}} \alpha X+\beta Y \ .

Легко проверяются свойства линейного пространства.

Далее,

\alpha_1X_1+\dots+\alpha_k X_k \in \mathbb V_1 \quad \iff \quad \alpha_1X_1+\dots+\alpha_k X_k \equiv_{_{\mathbb V_1}} \mathbb O

и, на основании (\ref{RI3}):

\iff \alpha_1\overline{X_1}+\dots+\alpha_k\overline{ X_k} = \overline{\mathbb O} .

Линейная независимость X_1,\dots,X_k относительно \mathbb V_1 эквивалентна линейной независимости классов \overline{X_1},\dots,\overline{ X_k} факторпространства.

=>

\dim \mathbb V / \mathbb V_1 =\dim \mathbb V-\dim \mathbb V_1.

Последняя величина называется коразмерностью подпространства \mathbb V_1 в пространстве \mathbb V.

1) По крайней мере, в ближайшей перспективе.

2018/01/03 19:44 редактировал au