Указатель — Разделы — Обозначения — Автор — О проекте

Линейное пространство

Определения

Пусть дано множество $\mathbb V_{}=\left\{ X,Y,Z,U,\dots \right\}$ элементов произвольной природы. Пусть для элементов этого множества определены две операции: сложения $X+Y_{}$ и умножения на любое вещественное число $\alpha_{}$ : $\alpha \cdot X_{}$ , и множество $\mathbb V_{}$ замкнуто относительно этих операций: $X+Y \in \mathbb V ,\ \alpha \cdot X \in \mathbb V_{}$ . Пусть эти операции подчиняются аксиомам:

1. $X+Y=Y+X_{}$ для $\{ X,\, Y\} \subset \mathbb V_{}$ ;

2. $(X+Y)+Z_{}=X+(Y+Z)$ для $\{ X,\, Y,\, Z \} \subset \mathbb V_{}$ ;

3. в $\mathbb V_{}$ cуществует нулевой вектор $\mathbb O_{}$ со свойством $X+ \mathbb O =X_{}$ для $\forall X\in \mathbb V_{}$ ;

4. для каждого $X\in \mathbb V_{}$ существует обратный вектор $X^{\prime}\in \mathbb V_{}$ со свойством $X+X^{\prime}=\mathbb O_{}$ ;

5. $1\cdot X=X_{}$ для $\forall X\in \mathbb V_{}$ ;

6. $\lambda \left(\mu X \right)_{}= \left(\lambda \mu \right)X$ для $\forall X\in \mathbb V_{}$ , $\{\lambda ,\, \mu \} \subset \mathbb R_{}$ ;

7. $(\lambda + \mu)X=\lambda X + \mu X_{}$ для $\forall X\in \mathbb V_{}$ , $\{\lambda ,\, \mu \}\subset \mathbb R_{}$ ;

8. $\lambda (X + Y) =\lambda X_{} + \lambda Y$ для $\{ X,\, Y\} \subset \mathbb V_{} , \lambda \in \mathbb R$ .

Тогда такое множество $\mathbb V_{}$ называется линейным (векторным) пространством, его элементы называются векторами, и — чтобы подчеркнуть их отличие от чисел из $\mathbb R_{}$ — последние называются скалярами1). Пространство, состоящее из одного только нулевого вектора, называется тривиальным .

§

Если в аксиомах 6 - 8 допустить умножение и на комплексные скаляры, то такое линейное пространство называется комплексным. Для упрощения рассуждений всюду в дальнейшем мы будем рассматривать только вещественные пространства.

§

Линейное пространство является группой относительно операции сложения, причем группой абелевой.

Элементарно доказывается единственность нулевого вектора, и единственность вектора, обратного вектору $X\in \mathbb V_{}$ : $X^{\prime}=-1\cdot X_{}$ , его привычно обозначают $- X_{}$ .

Подмножество $\mathbb V_{1}$ линейного пространства $\mathbb V_{}$ , само являющееся линейным пространством (т.е. $\mathbb V_{1}$ замкнуто относительно сложения векторов и умножения на произвольный скаляр), называется линейным подпространством пространства $\mathbb V_{}$ . Тривиальными подпространствами линейного пространства $\mathbb V_{}$ называются само $\mathbb V_{}$ и пространство, состоящее из одного нулевого вектора $\mathbb O_{}$ .

Примеры линейных пространств

П

Пример 1. Пространство $\mathbb R^{3}$ упорядоченных троек вещественных чисел $(a_1,a_2,a_{3})$ с операциями, определяемыми равенствами:

$(a_1,a_2,a_3)+(b_1,b_2,b_3)= (a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3),\ \alpha (a_1,a_2,a_3) = ( \alpha a_1, \alpha a_2, \alpha a_3 ) \ .$

Геометрическая интерпретация очевидна: вектор в пространстве, «привязанный» к началу координат, может быть задан координатами своего конца $(a_1,a_2,a_{3})$ . На рисунке показано и типичное подпространство пространства $\mathbb R^{3}$ : плоскость, проходящая через начало координат. Точнее говоря, элементами $\mathbb V_1$ являются векторы, имеющие начало в начале координат и концы — в точках плоскости. Замкнутость такого множества относительно сложения векторов и их растяжения2) очевидна.

§

Исходя из этой геометрической интерпретации, часто говорят о векторе $X_{}$ произвольного линейного пространства $\mathbb V_{}$ как о точке пространства $\mathbb V_{}$ . Иногда эту точку называют «концом вектора $X_{}$ ». Кроме удобства ассоциативного восприятия, этим словам не придается никакого формального смысла: понятие «конец вектора» отсутствует в аксиоматике линейного пространства.

П

Пример 2. Основываясь на том же примере, можно дать и иную интерпретацию векторного пространства $\mathbb V_1$ (заложенную, кстати, уже в самом происхождении слова «вектор»3)) — оно определяет набор «сдвигов» точек пространства $\mathbb R^{3}$ . Эти сдвиги — или параллельные переносы любой пространственной фигуры — выбираются параллельными плоскости $\mathbb V_1$ .

§

Вообще говоря, с подобными интерпретациями понятия вектора все обстоит не так просто. Попытки аппелировать к его физическому смыслу — как к объекту, имеющему величину и направление — вызывают справедливую отповедь строгих математиков. Определение же вектора как элемента векторного пространства очень напоминает эпизод с сепульками из знаменитого фантастического рассказа Станислава Лема (см. ☞ ЗДЕСЬ ). Не будем зацикливаться на формализме, а исследуем этот нечеткий объект в его частных проявлениях.

П

Пример 3. Естественным обобщением $\mathbb R^{3}$ служит пространство $\mathbb R_{}^{n}$ : векторное пространство строк $(a_1,\dots,a_{n})$ или столбцов $(a_1,\dots,a_n)^{^\top}$ . Один из способов задания подпространства в $\mathbb R_{}^{n}$ — задание набора ограничений. Множество решений системы линейных однородных уравнений:

$\left\{\begin{array}{ccc} a_{11}x_1 +a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n &=&0,\\ a_{21}x_1 +a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n &=&0,\\ \ldots& & \ldots \\ a_{m1}x_1 +a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n &=&0 \end{array}\right. \iff AX=\mathbb O$

образует линейное подпространство пространства $\mathbb R_{}^{n}$ . В самом деле, если

$x_1=\alpha_1,\dots, x_n=\alpha_n$

— решение системы, то и

$x_1=t \alpha_1,\dots, x_n= t \alpha_n$

— тоже решение при любом $t \in \mathbb R$ . Если

$x_1=\beta_1,\dots, x_n=\beta_n$

— еще одно решение системы, то и

$x_1=\alpha_1+\beta_1,\dots,x_n=\alpha_n+\beta_n$

— тоже будет ее решением.

?

Почему множество решений системы неоднородных уравнений не образует линейного подпространства?

П

Пример 4. Обобщая далее, можем рассмотреть пространство «бесконечных» строк или последовательностей $(a_1,\dots,a_n, \dots )$ , обычно являющееся объектом математического анализа — при рассмотрении последовательностей и рядов. Подпространство этого пространства образуют, например, линейные рекуррентные последовательности $\{x_k\}_{k=0,1,2,\dots }$ удовлетворяющие — при произвольных числах $\{x_0,\dots x_{n-1} \} \subset \mathbb R$ — линейному однородному разностному уравнению $n_{}$ -го порядка,

$x_{n+K}=a_1 x_{n+K-1}+ \dots+ a_n x_K \ npu \ K \in \{0,1,2,\dots \} \ ;$

здесь числа $\{ a_1,\dots,a_{n-1}, a_n \ne 0 \} \subset \mathbb R$ считаются фиксированными.

§

Можно рассматривать строки (последовательности) «бесконечные в обе стороны» $\{ \dots,a_{-2},a_{-1},a_0,a_1,a_2,\dots \}$ — они используются в ТЕОРИИ СИГНАЛОВ.

П

Пример 5. Множество $m\times n_{}$ -матриц с вещественными элементами с операциями сложения матриц и умножения на вещественные числа образует линейное пространство.

В пространстве квадратных матриц порядка $n_{}$ можно выделить два подпространства: подпространство симметричных матриц и подпространство кососимметричных матриц. Кроме того, подпространства образуют каждое из множеств: верхнетреугольных, нижнетреугольных и диагональных матриц.

П

Пример 6. Множество полиномов одной переменной $x_{}$ степени в точности равной $n_{}$ с коэффициентами из $\mathbb A_{}$ (где $\mathbb A_{}$ — любое из множеств $\mathbb Z, \mathbb Q, \mathbb R_{}$ или $\mathbb C_{}$ ) с обычными операциями сложения полиномов и умножения на число из $\mathbb A_{}$ не образует линейного пространства. Почему? — Потому что оно не является замкнутым относительно сложения: сумма полиномов $f(x)=x^n -x+1$ и $g(x)=-x^n+x^{n-1}-2$ не будет полиномом $n_{}$ -й степени. Но вот множество полиномов степени не выше $n_{}$

$\mathbb P_n= \left\{ p(x) \in \mathbb A [x] \big| \deg p(x) \le n \right\}$

линейное пространство образует; только к этому множеству надо придать еще и тождественно нулевой полином4). Очевидными подпространствами $\mathbb P_{n}$ являются $\mathbb P_{0}, \mathbb P_1,\dots,\mathbb P_{n-1}$ . Кроме того, подпространствами будут множество четных и множество нечетных полиномов степени не выше $n_{}$ . Множество всевозможных полиномов (без ограничения на степени) тоже образует линейное пространство.

П

Пример 7. Обобщением предыдущего случая будет пространство полиномов нескольких переменных $x_1,\dots, x_{\ell}$ степени не выше $n_{}$ с коэффициентами из $\mathbb A_{}$ . Например, множество линейных полиномов

$\left\{ a_1x_1+\dots+a_{\ell}x_{\ell}+b \big| (a_1,\dots,a_{\ell},b) \in \mathbb A^{\ell+1} \right\}$

образует линейное пространство. Множество однородных полиномов (форм) степени $n_{}$ (с присоединением к этому множеству тождественно нулевого полинома) — также линейное пространство.

§

С точки зрения приведенного в предыдущем пункте определения, множество строк с целочисленными компонентами

$\mathbb Z^n = \left\{ (x_1,\dots,x_n)\ \mid \ \{x_j\}_{j=1}^n \subset \mathbb Z \right\} \ ,$

рассматриваемое относительно операций покомпонентного сложения и умножения на целочисленные скаляры, не является линейным пространством. Тем не менее, все аксиомы 1 - 8 будут выполнены если мы допустим умножение только на целочисленные скаляры. В настоящем разделе мы не будем акцентировать внимание на этом объекте, но он довольно полезен в дискретной математике, например в ☞ ТЕОРИИ КОДИРОВАНИЯ. Линейные пространства над конечными полями рассматриваются ☞ ЗДЕСЬ.

Изоморфизм

Пусть имеются два линейных пространства разной природы: $\mathbb V_{}$ с операцией $+_{}$ и $\mathbb W_{}$ с операцией $\boxplus_{}$ . Может оказаться так, что эти пространства «очень похожи», и свойства одного получаются простым «переводом» свойств другого.

Говорят, что пространства $\mathbb V_{}$ и $\mathbb W_{}$ изоморфны если между множествами их элементов можно установить такое взаимно-однозначное соответствие, что если $X_{} \leftrightarrow X^{\prime}$ и $Y_{} \leftrightarrow Y^{\prime}$ то $X+Y \leftrightarrow X_{}^{\prime} \boxplus Y^{\prime}$ и $\lambda X_{} \leftrightarrow \lambda X^{\prime}$ .

=>

При изоморфизме пространств $\mathbb V_{}$ и $\mathbb W_{}$ нулевому вектору одного пространства будет соответствовать нулевой вектор другого пространства.

П

Пример. Пространство $\mathbb R^{n}_{}$ изоморфно пространству $\mathbb P_{n-1}^{}$ . В самом деле, изоморфизм устанавливается соответствием

$[a_1,\dots,a_n] \leftrightarrow a_1+a_2x+\dots + a_nx^{n-1} \ .$

П

Пример. Пространство $m_{}\times n$ -матриц изоморфно пространству $\mathbb R_{}^{mn}$ . Изоморфизм устанавливается соответствием, которое мы проиллюстрируем для случая $m_{}=2, n=3$ :

$\left( \begin{array}{rrr} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{array} \right) \leftrightarrow [a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23}]$

(матрица «вытягивается» в одну строчку).

П

Пример. Пространство квадратичных форм от $n_{}$ переменных изоморфно пространству симметричных матриц $n_{}$ -го порядка. Изоморфизм устанавливается соответствием, которое мы проиллюстрируем для случая $n=3_{}$ :

$a_{11}x_1^2+a_{12}x_1x_2+a_{13}x_1x_3+a_{22}x_2^2+a_{23}x_2x_3+a_{33}x_3^2 \leftrightarrow \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \frac{1}{2}a_{12} & \frac{1}{2}a_{13} \\ \frac{1}{2}a_{12} & a_{22} & \frac{1}{2}a_{23} \\ \frac{1}{2}a_{13} & \frac{1}{2}a_{23} & a_{33} \end{array} \right) \ .$

!

Понятие изоморфизма вводится для того, чтобы исследование объектов, возникающих в различных областях алгебры, но с «похожими» свойствами операций, вести на примере одного образца, отрабатывая на нем результаты, которые можно будет потом дешево тиражировать. Какое именно линейное пространство взять «для образца»? — См. концовку следующего пункта.

Линейная зависимость, базис, координаты

Линейной комбинацией системы векторов $\{X_1,\dots,X_{m}\}$ называется вектор

$\alpha_1 X_1+\dots+ \alpha_m X_m$

при каких-то фиксированных значениях скаляров $\alpha_{1}, \dots, \alpha_{m}$ . Множество всевозможных линейных комбинаций системы векторов $\{X_1,\dots,X_{m}\}$

$\left\{ \alpha_1 X_1+\dots+ \alpha_m X_m \bigg| \{\alpha_1,\dots,\alpha_m\}\subset \mathbb R \right\}$

образует линейное подпространство пространства $\mathbb V_{}$ . Оно называется линейной оболочкой векторов $X_1,\dots,X_{m}$ и обозначается ${\mathcal L}(X_1,\dots,X_{m})$ .

П

Пример. В пространстве $\mathbb P_{n}$ полиномов степеней $\le n_{} \ge 3$ линейной оболочкой полиномов $x,x^2,x^3$ будет множество полиномов вида $a_0x^3+a_1x^2+a_2x$ , т.е. множество полиномов степеней $\le 3$ , имеющих корень $\lambda_{}=0$ . ♦

Система векторов $\{ X_{1},\dots,X_m \}$ называется линейно зависимой (л.з.) если существуют числа $\alpha_{1},\dots,\alpha_m$ , такие что хотя бы одно из них отлично от нуля и

$\alpha_1X_1+\dots+\alpha_mX_m=\mathbb O$

Если же это равенство возможно только при $\alpha_{1}=0,\dots,\alpha_m=0$ , то система векторов называется линейно независимой (л.н.з.).

П

Пример. Для полиномов нескольких переменных свойство линейной зависимости является частным проявлением более общего свойства функциональной зависимости. Так, однородные полиномы (формы)

$f_1=(x_1+x_2+x_3)^2,\quad f_2=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3,\quad f_3=x_1^2+x_2^2+x_3^2$

являются линейно зависимыми, поскольку

$f_1-2\,f_2-f_3 \equiv 0 \ .$

Полиномы

$\tilde f_1=x_1+x_2+x_3,\quad f_2=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3,\quad f_3=x_1^2+x_2^2+x_3^2$

не являются линейно зависимыми, но являются функционально зависимыми, поскольку

$\tilde f_1^2-2\,f_2-f_3 \equiv 0 \ .$

♦

Т

Теорема 1. Если система содержит хотя бы один нулевой вектор, то она л.з.

б) Если система л.н.з., то и любая ее подсистема л.н.з.

в) При $m>1$ система $\{X_{1},\dots,X_m\}$ л.з. тогда и только тогда, когда по меньшей мере один ее вектор линейно выражается через остальные, т.е. существуют $j\in \{1,\dots,n \}$ и константы $\gamma_{1},\dots,\gamma_{j-1}, \gamma_{j+1},\dots,\gamma_{n}$ такие, что

$X_j=\gamma_1X_1+\dots+\gamma_{j-1}X_{j-1}+ \gamma_{j+1}X_{j+1}+\dots + \gamma_{m}X_{m} .$

Т

Теорема 2. Если каждый из векторов системы $\{ X_1,\dots,X_{m} \}$ линейно выражается через векторы другой системы $\{ B_{1},\dots,B_k \}$ с меньшим числом векторов: $k<m$ , то система $\{ X_{1},\dots,X_m \}$ будет л.з.

Две системы векторов называются эквивалентными если каждый вектор одной системы линейно выражается через векторы другой и обратно.

Т

Теорема 3. Системы векторов $\{ X_1,\dots,X_{m} \}$ и $\{ Y_{1},\dots,Y_k \}$ будут эквивалентными тогда и только тогда когда совпадают линейные оболочки этих систем:

${\mathcal L}(X_1,\dots,X_m)={\mathcal L}(Y_1,\dots,Y_k) \ .$

Т

Теорема 4. Если каждая из двух эквивалентных систем $\{ X_1,\dots,X_{m} \}$ и $\{ Y_1,\dots,Y_{k} \}$ является л.н.з., то эти системы состоят из одинакового числа векторов: $m=k_{}$ .

Линейно независимая система векторов $\{X_{j}\}\subset \mathbb V$ называется базисом этого пространства если каждый $X\in \mathbb V$ можно представить в виде линейной комбинации указанных векторов:

$X=\sum_{j} \alpha_j X_j \ .$

При этом не подразумевается конечность системы, т.е. суммирование может распространяться на бесконечное число слагаемых. Так, например, пространство бесконечных строк (или последовательностей) $\left[a_{1},a_2,\dots\, \right]$ имеет бесконечный базис, состоящий из векторов

$[\underbrace{0,\dots,0,1}_j,0,\dots \, ] \quad npu \ j \in \mathbb N \ .$

В случае, когда базис пространства $\mathbb V_{}$ конечен, пространство $\mathbb V_{}$ называется конечномерным, а число векторов базиса тогда называется размерностью пространства $\mathbb V_{}$ и обозначается5): $\dim \mathbb V_{}$ . Также полагают, что размерность тривиального пространства, состоящего из одного только нулевого вектора, равна нулю: $\dim \{\mathbb O_{} \}= 0$ .

П

Пример. Линейное пространство $m\times n_{}$ матриц имеет размерность $mn_{}$ . Так, для случая $m_{}=3 ,n=2$ в качестве базиса можно выбрать следующий набор матриц

$\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \ , \ \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \ , \ \left( \begin{array}{ccccc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \ , \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \ , \ \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \ , \ \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \ .$

♦

?

Найти размерности подпространства симметричных и подпространства кососимметричных матриц порядка $n_{}$ .

П

Пример [1]. Замечательный пример трехмерного линейного пространства дает нам совокупность всех цветов. Под суммой двух цветов будем понимать цвет, образованный их смешением

под умножением цвета на положительное число $k_{}$ — увеличение в $k_{}$ раз яркости цвета

A

Анимация ☞ ЗДЕСЬ (1500 K, gif)

под умножением на $(-1)$ — взятие дополнительного цвета. При этом оказывается, что совокупность всех цветов выражается линейно через три цвета: красный, зеленый и синий, т.е. образует трехмерное линейное пространство. (Точнее, некоторое тело в трехмерном пространстве, поскольку яркости цветов ограничены верхним порогом раздражения.) Исследование этого трехмерного тела всех цветов является важным орудием цветоведения.

Если $\dim \mathbb V=d_{}$ и вектора $X_1,\dots,X_{d}$ являются базисными для $\mathbb V_{}$ , то разложение вектора $X \in \mathbb V_{}$ в сумму:

$X=\alpha_1 X_1+\dots+ \alpha_d X_d \ .$

называется разложением вектора $X_{}$ по базису $X_1,\dots,X_{d}$ ; при этом числа $\alpha_1,\dots, \alpha_{d}$ называются координатами вектора $X_{}$ в данном базисе.

Т

Теорема 5. Если $\dim \mathbb V=d>0$ , то любая система из $d_{}$ линейно независимых векторов пространства образует базис этого пространства.

Доказательство. Пусть $\{Y_1,\dots,Y_d\}$ — л.н.з. система. Рассмотрим произвольный $X\in \mathbb V_{}$ . Если система $\{X,Y_1,\dots,Y_d\}$ л.н.з., то $\dim \mathbb V \ge d+1$ , что противоречит условию теоремы. Следовательно, система линейно зависима: $\alpha_0X+\alpha_1Y_1+\dots+\alpha_dY_d=\mathbb O$ при каком-то из чисел $\{\alpha_j\}_{j=0}^{d}$ не равном нулю. Если $\alpha_0=0$ , то $\alpha_1Y_1+\dots+\alpha_dY_d=\mathbb O$ при каком-то ненулевом коэффициенте. Это означает, что система $\{Y_1,\dots,Y_d\}$ линейно зависима, что противоречит предположению. Следовательно $\alpha_0\ne 0$ , но тогда вектор $X_{}$ может быть представлен в виде линейной комбинации векторов $Y_1,\dots,Y_d$ :

$X=- {\alpha_1}/{\alpha_0} Y_1-\dots -{\alpha_d}/{\alpha_0}Y_d \ .$

По определению, система $\{Y_1,\dots,Y_d\}$ является базисом $\mathbb V$ . ♦

Т

Теорема 6. Любой вектор $X \in \mathbb V_{}$ может быть разложен по фиксированному базису пространства единственным образом.

Очевидно, $\dim \mathbb R^{n} = n$ : строки из $n_{}$ элементов

$[1,0,0,\dots,0],\ [0,1,0,\dots,0],\ [0,0,1,\dots,0],\ \dots , [0,0,0,\dots,1]$

образуют базис этого пространства.

Имеются два способа задания линейных подпространств в $\mathbb R^{n}_{}$ . Пусть

$\mathbb V_1 = {\mathcal L}(A_1,\dots,A_k) \quad npu \ \{A_1,\dots,A_k \} \subset \mathbb R^n \ .$

В разделе ☞ РАНГ установлено, что

$\dim \mathbb V_1 = \operatorname{rank} \{ A_1,\dots,A_k \} = \operatorname{rank} (A) \ ,$

где $A_{}$ — матрица, составленная из строк (столбцов) $A_{1},\dots,A_k$ .

П

Пример. Найти базис подпространства

$\mathcal L \left([1,2,1,1],\, [-1,0,-1,0], \, [-1,2,-1,1], \, [0,1,0,1] \right) \ .$

Решение. Ищем

$\operatorname{rank} \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 1 & 1 \\ -1&0&-1&0 \\ -1& 2 &-1 &1 \\ 0& 1& 0 & 1 \end{array} \right)$

по методу окаймляющих миноров. Существует минор третьего порядка

$\left| \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 1 \\ -1&0&0 \\ 0& 1 & 1 \end{array} \right|$

отличный от нуля, а определитель самой матрицы равен нулю. Замечаем, что найденный отличный от нуля минор расположен в первой, второй и четвертой строках матрицы. Именно эти строки и образуют базис.

Ответ. Базис составляют, например, первая, вторая и четвертая строки.

Другим способом задания линейного подпространства в $\mathbb R_{}^{n}$ может служить задание набора ограничений, которым должны удовлетворять векторы подпространства. Таким набором ограничений может являться, например, система уравнений

$\left\{\begin{array}{ccc} a_{11}x_1 +a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n &=&0,\\ a_{21}x_1 +a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n &=&0,\\ \ldots& & \ldots \\ a_{m1}x_1 +a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n &=&0 \end{array}\right. \qquad \iff \qquad AX=\mathbb O .$

Какова размерность подпространства решений этой системы? На этот вопрос мы ответим сразу же, если вспомним определение фундаментальной системы решений (ФСР). Именно, ФСР — как набор линейно независимых решений, через которые линейно выражается любое решение системы однородных уравнений — является базисом подпространства этих решений.

Т

Теорема 7. Множество решений системы однородных уравнений $AX=\mathbb O_{}$ образует линейное подпространство пространства $\mathbb R^{n}_{}$ . Размерность этого подпространства равна $n-\operatorname{rank} (A)$ , а фундаментальная система решений образует его базис.

П

Пример. В пространстве $\mathbb P_{n}$ полиномов степеней $\le n_{}$ каноническим базисом можно взять систему мономов $\{1,x,x^2,\dots, x^n \}$ , т.е. $\dim \mathbb P_{n} =n+1$ . Координатами полинома $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^n$ будут его коэффициенты. Можно выбрать и другой базис, например, $\{1, x-c,(x-c)^2,\dots,(x-c)^n \}$ при произвольном числе $c_{}$ . Координатами полинома в этом базисе будут теперь коэффициенты формулы Тейлора:

$f(x) \equiv f(c)+ \frac{f^{\prime}(c)}{1!} (x-c) + \frac{f^{\prime \prime }(c)}{2!} (x-c)^2+ \dots + \frac{f^{(n)}(c)}{n!} (x-c)^{n} \ .$

Т

Теорема 8. Любое векторное пространство $\mathbb V_{}$ размерности $d_{}$ изоморфно $\mathbb R^{d}$ .

Доказательство. Изоморфизм можно установить следующим соответствием. Если $\{X_1,\dots , X_d \}$ — какой-то базис $\mathbb V_{}$ , то вектору $X \in \mathbb V$ поставим в соответствие набор его координат в этом базисе:

$X=x_1X_1+\dots+x_d X_d \ \Rightarrow \ X \mapsto [x_1,\dots,x_d]\in \mathbb R^d .$

На основании теоремы 5, такое соответствие будет взаимно-однозначным, а проверка двух свойств изоморфизма тривиальна. ♦

!

Последний результат позволяет свести исследование свойств произвольного линейного пространства $\mathbb V_{}$ к исследованию свойств пространства $\mathbb R^{d}$ . Лишь бы только удалось нам найти базис пространства $\mathbb V_{}$ , а также разложение произвольного вектора по этому базису. Но некоторые теоретические заключения можно будет вывести основываясь уже только на фактах принципиального существования базиса и разложения по нему вектора.

Относительный базис

В настоящем пункте $\mathbb V_1$ обозначает линейное подпространство пространства $\mathbb V_{}$ , отличное от тривиального; обозначаем $d_1=\dim \mathbb V_1$ .

Т

Теорема. Произвольный базис подпространства $\mathbb V_1$ можно дополнить до базиса пространства $\mathbb V_{}$ .

Доказательство. Пусть $\{X_1,\dots,X_{d_1} \}$ — какой-то базис $\mathbb V_1$ . В пространстве $\mathbb V_{}$ найдется вектор $X_{d_1+1}$ такой, что система $\{X_1,\dots,X_{d_1}, X_{d_1+1 }\}$ будет л.н.з. (В противном случае, $\dim \mathbb V=d_1$ , что противоречит условию настоящего пункта.) Если $d_1+1=d = \dim \mathbb V$ , то, на основании теоремы 5 предыдущего пункта, требуемый базис построен. Если же $d_1+1<d$ , то в пространстве $\mathbb V_{}$ найдется вектор $X_{d_1+2}$ такой, что система $\{X_1,\dots,X_{d_1}, X_{d_1+1 },X_{d_1+2 } \}$ будет л.н.з. И т.д. Процесс закончится за конечное число шагов. ♦

Говорят, что система векторов $\{X_1,\dots,X_k\}$ линейно независима относительно подпространства $\mathbb V_1$ пространства $\mathbb V_{}$ если

${}_{}$ из условия $\quad \alpha_1X_1+\dots+\alpha_k X_k \in \mathbb V_1 \quad$ следует $\quad \alpha_1=\dots=\alpha_k=0 \ .$

Т

Теорема. Обозначим $\{Y_1,\dots,Y_{d_1}\}$ — произвольный базис $\mathbb V_1$ . Система $\{X_{1},\dots,X_k\}$ л.н.з. относительно $\mathbb V_1$ тогда и только тогда, когда система $\{Y_1,\dots,Y_{d_1},X_1,\dots,X_k\}$ линейно независима.

П

Пример. Найти все значения параметра $\alpha_{}$ , при которых система

$\{ X_1=[1,\, 2,\, \alpha,\, 1 ]^{^{\top}}, \ X_2=[1,\, \alpha,\, 2,\, 1]^{^{\top}} \}$

л.н.з. относительно подпространства

$\mathbb V_1=\left\{X \in \mathbb R^4 \bigg| \begin{array}{ll} x_1+2\,x_2-3\,x_3+4\, x_4 &=0, \\ x_1+x_2-x_3 -x_4 &=0 \end{array} \right\} \ .$

Решение. Базисом подпространства $\mathbb V_1$ является произвольная ф.с.р. заданной системы однородных уравнений, например $\{Y_1=[-1,2,1,0]^{^{\top}},\ Y_2=[6,-5,0,1]^{^{\top}}\}$ . Теорема утверждает, что система $\{ X_1, X_2\}$ л.н.з. относительно $\mathbb V_1$ тогда и только тогда, когда система $\{ X_1, X_2,Y_1,Y_2\}$ л.н.з. (в обычном понимании). Последнее равносильно тому, что матрица, составленная из этих векторов, должна иметь ранг равный $4_{}$ .

$\operatorname{rank} \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 1 &-1 & 6 \\ 2 & \alpha & 2 & -5 \\ \alpha & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right)=4 \ \iff \ \left| \begin{array}{rrrr} 1 & 1 &-1 & 6 \\ 2 & \alpha & 2 & -5 \\ \alpha & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right|= \alpha^2-10\,\alpha+16 \ne 0 \ .$

Ответ. $\alpha\not \in \{ 2,\, 8\}$ .

Говорят, что система векторов $\{X_1,\dots,X_k\}$ образует базис пространства $\mathbb V_{}$ относительно $\mathbb V_1$ если она л.н.з. относительно $\mathbb V_1$ и любой вектор $X\in \mathbb V_{}$ можно представить в виде

$X=c_1X_1+\dots+c_kX_k+Y, \quad$ где $\quad Y\in \mathbb V_1 \ .$

Т

Теорема. Обозначим $\{ Y_1,\dots,Y_{d_1} \}$ — произвольный базис подпространства $\mathbb V_1$ . Система $\{X_1,\dots,X_k\}$ образует базис $\mathbb V_{}$ относительно $\mathbb V_1$ тогда и только тогда, когда система $\{ X_1,\dots,X_k,Y_1,\dots,Y_{d_1} \}$ образует базис $\mathbb V_{}$ .

Доказательство. Действительно, любой вектор $X\in \mathbb V_{}$ выражается через векторы $X_1,\dots,X_k,Y_1,\dots,Y_{d_1}$ . По предыдущей теореме для линейной независимости этих векторов необходимо и достаточно относительной линейной независимости $X_1,\dots,X_k$ . ♦

=>

Базис $\mathbb V_{}$ строится дополнением базиса $\mathbb V_1$ векторами $X_1,\dots,X_k$ линейно независимыми относительно $\mathbb V_1$ . Поэтому

${}_{}$ число векторов относительного базиса $\ = \dim \mathbb V - \dim \mathbb V_1 \ .$

Сумма и пересечение линейных подпространств

Пусть $\mathbb V_1$ и $\mathbb V_2$ — подпространства линейного пространства $\mathbb V_{}$ . Множество

$\mathbb V_1+ \mathbb V_2 = \left\{X_1+X_2 \big| X_1 \in \mathbb V_1,\ X_2 \in \mathbb V_2 \right\}$

называется суммой, а множество

$\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 = \left\{X \big| X \in \mathbb V_1,\ X \in \mathbb V_2 \right\}$

— пересечением подпространств $\mathbb V_1$ и $\mathbb V_2$ . Аналогично определяется сумма и пересечение произвольного количества подпространств.

Понятие пересечения линейных подпространств совпадает с понятием пересечения их как множеств.

!

Как правило, $\mathbb V_1+ \mathbb V_2 \ne \mathbb V _1 \cup \mathbb V_2$ .

Т

Теорема. $\mathbb V_1+ \mathbb V_2$ и $\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2$ являются подпространствами линейного пространства $\mathbb V_{}$ .

?

Докажите, что $\mathbb V_1+ \mathbb V_2$ — это подпространство минимальной размерности, содержащее как $\mathbb V_1$ , так и $\mathbb V_2$ .

Т

Теорема. Имеет место формула:

$\dim \, \mathbb V_1 + \dim \, \mathbb V_2=\dim \, (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2) + \dim \, (\mathbb V_1 + \mathbb V_2) \ .$

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

§

Этот результат может быть трактован как проявление общего результата формальной логики, известного под названием формула включений-исключений.

?

Показать справедливость формулы

$\dim \, \mathbb V_1 + \dim \, \mathbb V_2 + \dim \, \mathbb V_3 - \left\{\dim \, (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2) + \dim \, (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_3) + \dim \, (\mathbb V_2 \cap \mathbb V_3) \right\} +$

$+ \dim \, (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 \cap \mathbb V_3) =\dim \, (\mathbb V_1 + \mathbb V_2 + \mathbb V_3) \ .$

Т

Теорема. Имеет место формула:

${\mathcal L}(X_1,\dots,X_m)+{\mathcal L}(Y_1,\dots,Y_{\ell})= {\mathcal L}(X_1,\dots,X_m,Y_1,\dots,Y_{\ell}) \ ;$

здесь ${\mathcal L}$ означает линейную оболочку.

П

Пример. Найти базис суммы и размерность пересечения

$\mathbb V_1={\mathcal L}\left( \left[ \begin{array}{r} 0 \\1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{r} 1 \\1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{r} -2 \\0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] \right) \quad$ и $\quad \mathbb V_2={\mathcal L}\left( \left[ \begin{array}{r} -1 \\3 \\ 2 \\ -1 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{r} 1 \\1 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right] \right)$

Решение. Действуя согласно предыдущей теореме, составляем матрицу из всех векторов

$\left( \begin{array}{rrrrr} 0 & 1 & -2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & -1 & -1 \end{array} \right)$

и ищем ее ранг методом окаймляющих миноров. Имеем: $\operatorname{rank} = 3$ при ненулевом миноре матрицы расположенном в первых трех ее столбцах.

Ответ. Базис $\mathbb V_1 + \mathbb V_2$ составляют векторы $X_1,X_2,X_3$ ; $\dim \, (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2) = 3+2 - 3 =2$ .

Алгоритм нахождения базиса ${\mathcal L}(X_1,\dots,X_m) \cap {\mathcal L}(Y_1,\dots,Y_{\ell})$ проиллюстрируем на примере.

П

Пример. Найти базис $\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2$ при

$\begin{array}{l} \mathbb V_1={\mathcal L} \left( \left[ \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right],\, \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right],\, \left[ \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] \right) \\ {}_{} \qquad \qquad \qquad X_1 \quad \quad \ X_2 \quad \quad X_3 \end{array} ,\ \begin{array}{l} \mathbb V_2={\mathcal L} \left( \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right],\, \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right],\, \left[ \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] \right) \\ {}_{} \quad \qquad \qquad Y_1 \qquad \ Y_2 \qquad \quad Y_3 \end{array} \ .$

Решение. 1. Сначала найдем базисы каждого из подпространств:

$\dim \mathbb V_1=2, \ \mathbb V_1=\mathcal L(X_1, X_2) \ ; \ \dim \mathbb V_2=3,\ \mathbb V_2=\mathcal L(Y_1, Y_2, Y_3) \ .$

2. Произвольный вектор $Z\in \mathbb R^5$ , принадлежащий $\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2$ , должен раскладываться по базису каждого из подпространств:

$Z=\alpha_1 X_1 + \alpha_2 X_2= \beta_1 Y_1 + \beta_2 Y_2 + \beta_3 Y_3 \ .$

Для определения неизвестных значений координат составляем систему уравнений

$\begin{array}{l} \qquad X_1 \ X_2 \\ \qquad \downarrow \ \ \ \downarrow \\ \left( \begin{array}{rrrrrrr} 1 & 1 & -1 & &-1 & & \ 0 \\ -1 & 2 & 0 & & -1 & & \ -1 \\ 1 & 1 & 0 & & 0 & & \ -1 \\ -1 & 2 & 0 & & -1 & & \ -1 \\ 1 & 1 & -1 & & -1 & &\ 0 \end{array} \right) \\ \qquad \qquad \qquad \uparrow \qquad \ \uparrow \qquad \ \uparrow \\ \quad \qquad \qquad -Y_1 \quad - Y_2 \quad -Y_3 \end{array} \left( \begin{array}{r} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \end{array} \right)= \mathbb O_{5\times 1}$

и решаем ее по методу Гаусса с нахождением фундаментальной системы решений:

$\left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & -1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{r} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \end{array} \right)= \mathbb O \quad \Rightarrow \quad$ ф.с.р. $\quad \begin{array}{rrr|rr} \alpha_1 & \alpha_2 & \beta_1 & \beta_2 & \beta_3 \\ \hline -1/3 & 1/3 & -1 & 1 & 0 \\ 1/3 & 2/3 & 1 & 0 & 1 \end{array}$

3. Получившиеся значения координат позволяют выразить базис пересечения — либо через базис подпространства $\mathbb V_1$ (если использовать полученные значения для $\alpha_1,\alpha_2$ ), либо через базис подпространства $\mathbb V_2$ (если использовать $\beta_1,\beta_2, \beta_3$ ). Например,

$Z_1=-1/3 X_1 + 1/3 X_2 = [0,1,0,1,0]^{^{\top}},\ Z_2=1/3 X_1 + 2/3 X_2 = [1,1,1,1,1]^{^{\top}} \ .$

Ответ.6) $\left\{[0,1,0,1,0]^{^{\top}},\, [1,1,1,1,1]^{^{\top}} \right\}$ .

?

Найти базисы суммы и пересечения подпространств

$\mathbb V_1=\left\{ X\in \mathbb R^4 \left| \begin{array}{rrrrl} 2\,x_1&+x_2&+4\,x_3&+x_4 &= 0, \\ 2\,x_1&+x_2&+3\,x_3& &=0 \end{array} \right. \right\}$

и

$\mathbb V_2= \left\{ X\in \mathbb R^4 \left| \begin{array}{rrrrl} 3\,x_1&+2\,x_2&-x_3&-6\, x_4 &= 0, \\ 2\,x_1&&+8\,x_3 &+7\, x_4 &=0 \end{array} \right. \right\} \ .$

Решение ☞ ЗДЕСЬ.

Прямая сумма линейных подпространств

Пусть $\mathbb V_1$ и $\mathbb V_2$ — подпространства линейного пространства $\mathbb V_{}$ . Говорят, что $\mathbb V_{}$ раскладывается в прямую сумму подпространств $\mathbb V_1$ и $\mathbb V_2$ если любой вектор $X\in \mathbb V_{}$ может быть представлен в виде $X=X_1+X_2$ , где $X_1\in \mathbb V_1,X_2\in \mathbb V_2$ и такое представление единственно. Этот факт записывают: $\mathbb V= \mathbb V_1 \oplus \mathbb V_2$ .

П

Пример. Линейное пространство квадратных матриц порядка $n_{}$ раскладывается в прямую сумму подпространств: подпространства симметричных матриц и подпространства кососимметричных матриц. В самом деле, для матрицы $A_{n\times n}$ справедливо разложение

$A=\frac{1}{2} \left(A+A^{^\top} \right) + \frac{1}{2} \left(A-A^{^\top} \right)$

и в правой части первая скобка дает симметричную матрицу, а вторая — кососимметричную. Покажите, что не существует иного разложения матрицы $A_{}$ в сумму симметричной и кососимметричной.

Т

Теорема. Пусть $\mathbb V=\mathbb V_1 + \mathbb V_2$ . Эта сумма будет прямой тогда и только тогда, когда подпространства $\mathbb V_1$ и $\mathbb V_2$ имеют тривиальное пересечение:

$\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2=\{\mathbb O \} \ .$

=>

Сумма $\mathbb V=\mathbb V_1 + \mathbb V_2$ будет прямой тогда и только тогда, когда базис $\mathbb V_{}$ может быть получен объединением базисов $\mathbb V_{j}$ .

§

Сформулированное таким образом утверждение содержится во многих учебниках по линейной алгебре. Тем не менее, с формальной точки зрения, оно неверно. В самом деле, пусть $\mathbb V_1 = {\mathcal L}(X_1,X_2),\, \mathbb V_2 = {\mathcal L}(X_2,X_3)$ при линейно независимых $X_1,X_2,X_3$ . Очевидно базис $\mathbb V_1 + \mathbb V_2 ={\mathcal L}(X_1,X_2,X_3)$ получается объединением базисов $\mathbb V_1$ и $\mathbb V_2$ . В то же время $\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2\ne \{\mathbb O \}$ . Причина возникновения этой ошибки кроется в содержании термина «объединение базисов». С точки зрения терминологии теории множеств, во множестве не может содержаться одинаковых элементов (во множестве они неразличимы). Однако мы с самого начала изложения допустили, что в систему векторов могут входить одинаковые, которые различаются порядком своего расположения (хотя это особо и не подчеркивалось, векторы в системе всегда пронумерованы). Исходя из этих соображений, объединение базисов $\mathbb V_1$ и $\mathbb V_2$ будет пониматься7) в настоящем пункте (и кое-где далее) как система векторов, в которую входят последовательно векторы базисов $\mathbb V_1$ и $\mathbb V_2$ — с допуском дублей. В рамках такой договоренности, для приведенного примера получим: объединение базисов линейных подпространств ${\mathcal L}(X_1,X_2)$ и ${\mathcal L}(X_2,X_3)$ представляет систему $\{X_1,X_2,X_2,X_3\}$ , которая, очевидно, не является базисом. Таким образом сумма ${\mathcal L}(X_1,X_2)+{\mathcal L}(X_2,X_3)$ не является прямой, и результат следствия остается справедливым.

П

Пример [2]. Доказать, что сумма подпространств

$\mathbb V_1={\mathcal L}\left( \left[ \begin{array}{r} 2 \\3 \\ 11 \\ 5 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{r} 1 \\1 \\ 5 \\ 2 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{r} 0 \\1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] \right) \quad$ и $\quad \mathbb V_2={\mathcal L}\left( \left[ \begin{array}{r} 2 \\1 \\ 3 \\ 2 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{r} 1 \\1 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{r} 5 \\2 \\ 6 \\ 2 \end{array} \right] \right)$

будет прямой и найти разложение вектора $Z=[2,0,0,3]^{\top}$ по этим подпространствам.

Решение. Базисы $\mathbb V_1$ и $\mathbb V_2$ составляют соответственно системы $\{X_2,X_3\}$ и $\{Y_1,Y_2\}$ , т.е. $\dim \, \mathbb V_1=\dim \, \mathbb V_2 =2$ . На основании следствия достаточно установить, что объединенная система $\{X_2,X_3,Y_1,Y_2 \}$ л.н.з. Для этого достаточно проверить, что определитель матрицы

$A=\left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 5 & 1 & 3 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 4 \end{array} \right)$

отличен от нуля. Поскольку это условие выполнено, то сумма $\mathbb V_1 + \mathbb V_2$ — прямая и базис этой суммы состоит из взятых векторов. Для нахождения разложения вектора $X_{}$ по этому базису решаем систему уравнений

$A \left[ \begin{array}{c} \alpha_2 \\ \alpha_3 \\ \beta_1 \\ \beta_2 \end{array} \right] = Z$

и получаем единственное решение: $\alpha_2=-1,\, \alpha_3=-1,\, \beta_1 =1\, , \beta_2=1$ . Разложение $Z=Z_1+Z_2$ составляют векторы $Z_1=\alpha_2 X_2+\alpha_3 X_3$ и $Z_2=\beta_1 Y_1+\beta_2 Y_2$ .

Ответ. $Z=[-1,-2,-6,-3]^{\top} + [3,2,6,6]^{\top}$ .

Линейные многообразия

Пусть $\mathbb V_1$ — линейное подпространство пространства $\mathbb V_{}$ , а $X_{0}$ — произвольный фиксированный вектор из $\mathbb V_{}$ . Множество

$\mathbb M = X_0+ \mathbb V_1 = \left\{X_0+Y \big| Y \in \mathbb V_1 \right\}$

называется линейным многообразием (порожденным подпространством $\mathbb V_1$ ). Размерностью этого многообразия называется размерность порождающего его подпространства: $\dim \mathbb M = \dim \mathbb V_1$ . В случае $1 < \dim \mathbb M = k < \dim \mathbb \mathbb V$ о многообразии $\mathbb M$ говорят как о k-мерной плоскости (или гиперплоскости), а при $k=1$ — как о прямой.

§

Образно говоря, многообразие — это сдвиг порождающего его линейного подпространства.

П

Пример. Множество полиномов вида $f(x)= a_0x^3+a_1x^2+a_2x+1 \in \mathbb R[x]$ , т.е. таких, что $\deg f \le 3, f(0)=1$ образует линейное многообразие, порожденное линейным подпространством полиномов $\{ x(a_0x^2+a_1x+a_2) \mid (a_0,a_1,a_2) \in \mathbb R^3 \}$ .

Пересечение многообразий определяется традиционным способом, а сумма многообразий не определяется. Будем называть многообразия, порожденные одним и тем же подпространством

$\mathbb M = X_0+ \mathbb V_1 \quad u \quad \tilde \mathbb M = \tilde X_0+ \mathbb V_1 \ ,$

параллельными многообразиями.

П

Пример. Множество столбцов пространства $\mathbb R^{n}$ , удовлетворяющих системе уравнений

$\left\{\begin{array}{ccc} a_{11}x_1 +a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n &=&b_1,\\ a_{21}x_1 +a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n &=&b_2,\\ \ldots& & \ldots \\ a_{m1}x_1 +a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n &=&b_m \end{array}\right. \iff AX={\mathcal B} \ ,$

образует линейное многообразие. При ${\mathcal B}\ne \mathbb O_{m\times 1}$ это многообразие не будет являться линейным пространством. Структуру этого множества описывала теорема из пункта ☞ ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ: если система совместна, то ее общее решение можно представить как сумму какого-то одного ее решения и общего решения соответствующей однородной системы $AX= \mathbb O$ . Таким образом, многообразие решений неоднородной системы $AX={\mathcal B}$ допускает «параметрическое представление»:

$\mathbb M=X_0+ {\mathcal L}(X_1,\dots,X_{n-{\mathfrak r}})= \left\{X_0+t_1 X_1+\dots+ t_{n-{\mathfrak r}} X_{n-{\mathfrak r}} \mid (t_1,\dots, t_{n-{\mathfrak r}}) \in \mathbb R^{n-{\mathfrak r}} \right\} \ ;$

здесь $X_{0}$ означает частное решение систем (т.е. $AX_0={\mathcal B}$ ), $\{X_1,\dots,X_{n-{\mathfrak r}}\}$ — ФСР для системы $AX= \mathbb O$ , а $\mathfrak r= \operatorname{rank} A= \operatorname{rank} [A\mid \mathcal B]$ . Получаем, следовательно, $(n-{\mathfrak r})$ -мерную плоскость в $\mathbb R^n$ , a в случае $(n-{\mathfrak r})=1$ — прямую

$\mathbb M=X_0+tX_1 \quad npu \ t \in \mathbb R \ ;$

в последнем случае вектор $X_{1}$ называют направляющим вектором этой прямой.

§

Некоторые задачи на линейные многообразия ☞ ЗДЕСЬ.

Факторпространство

определяется ☞ ЗДЕСЬ.

Преобразование координат при замене базиса

Пусть $\mathbb V_{}$ — линейное пространство размерности $n_{}$ , пусть

$\{X_1,\dots,X_n\} \quad u \quad \{{\mathfrak X}_1,\dots,{\mathfrak X}_n\}$

— два произвольных его базиса («старый» и «новый»).

Задача. Вывести соотношения, связывающие координаты произвольного вектора $X\in \mathbb V_{}$ в старом и новом базисах:

$X=x_1X_1+\dots+x_nX_n={\mathfrak x}_1{\mathfrak X}_1+\dots+{\mathfrak x}_n{\mathfrak X}_n \ .$

Предположим, что нам известны координаты векторов нового базиса в старом:

$\left\{ \begin{array}{ccc} {\mathfrak X}_1&=&c_{11}X_1+c_{21}X_2+\dots+c_{n1}X_n, \\ {\mathfrak X}_2&=&c_{12}X_1+c_{22}X_2+\dots+c_{n2}X_n, \\ \dots& & \dots \\ {\mathfrak X}_n&=&c_{1n}X_1+c_{2n}X_2+\dots+c_{nn}X_n. \end{array} \right.$

Матрица

$C=\left( \begin{array}{cccc} c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \dots & c_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ c_{n1} & c_{n2} & \dots & c_{nn} \\ \end{array} \right),$

по столбцам которой стоят координаты новых базисных векторов в старом базисе называется матрицей перехода от старого базиса к новому, а также — ввиду одного из приведенных ниже результатов — матрицей преобразования координат.

Т

Теорема. Матрица $C_{}$ неособенная.

Доказательство. Cначала покажем справедливость утверждения в частном случае $\mathbb V=\mathbb R^n$ . Вектора нового и старого базисов являются столбцами из $n$ вещественных чисел, и равенства, задающие элементы матрицы $C_{}$ , можно переписать в матричном виде:

$\left[{\mathfrak X}_1|\dots|{\mathfrak X}_n\right]=\left[X_1|\dots|X_n\right]\cdot C \ .$

Здесь $|$ означает конкатенацию. Поскольку системы $\{X_1,\dots,X_n\}$ и $\{{\mathfrak X}_1,\dots,{\mathfrak X}_n\}$ — базисные, то

$\det \left[X_1|\dots |X_n\right] \ne 0, \quad \det \left[{\mathfrak X}_1|\dots |{\mathfrak X}_n\right] \ne 0 \ .$

Из последнего матричного равенства (и теоремы Бине-Коши ) тогда следует, что $\det C\ne 0$ .

Теперь докажем теорему для случая произвольного пространства. Если $\det C= 0$ , то столбцы матрицы $C_{}$ линейно зависимы (см. ☞ ЗДЕСЬ ), т.е. существует линейная комбинация

$\alpha_1 c_{j1}+ \dots+\alpha_n c_{jn}=0 \quad npu \quad \forall j\in \{1,\dots,n \}$

и при некотором $\alpha_k\ne 0$ . Но тогда из формул

$\left\{ \begin{array}{ccc} {\mathfrak X}_1&=&c_{11}X_1+c_{21}X_2+\dots+c_{n1}X_n, \\ {\mathfrak X}_2&=&c_{12}X_1+c_{22}X_2+\dots+c_{n2}X_n, \\ \dots& & \dots \\ {\mathfrak X}_n&=&c_{1n}X_1+c_{2n}X_2+\dots+c_{nn}X_n. \end{array} \right.$

следует, что

$\alpha_1 {\mathfrak X}_1+ \dots+\alpha_n {\mathfrak X}_n=\mathbb O \ ,$

что противоречит линейной независимости системы $\{{\mathfrak X}_1,\dots,{\mathfrak X}_n\}$ . ♦

П

Пример. Найти матрицу перехода

от базиса		к базису
$\left[1,1,0,0,0\right]$		$\left[1,1,1,1,1\right]$
$\left[1,0,1,0,0\right]$		$\left[1,1,1,1,0\right]$
$\left[1,0,0,1,0\right]$		$\left[1,1,1,0,0\right]$
$\left[1,0,0,0,1\right]$		$\left[1,1,0,0,0\right]$
$\left[1,1,1,1,1\right]$		$\left[1,0,0,0,0\right]$

Решение. Можно попытаться найти элементы матрицы $C_{}$ напрямую — устанавливая формулы связи между строками. В нашем конкретном примере это не очень трудно сделать — первый и четвертый столбцы матрицы $C_{}$ вообще очевидны поскольку ${\mathfrak X}_1 = X_5,\, {\mathfrak X}_4 = X_1$ . Но мы пойдем по формальному пути и воспользуемся определяющим матричным соотношением, которое мы получили при доказательстве предыдущей теоремы. Поставим координаты базисных векторов по столбцам соответствующих матриц:

$\left[{\mathfrak X}_1|\dots|{\mathfrak X}_n\right]=\left[X_1|\dots|X_n\right]\cdot C \quad \Rightarrow \quad C= \left[X_1|\dots|X_n\right]^{-1} \cdot \left[{\mathfrak X}_1|\dots|{\mathfrak X}_n\right] \ .$

В нашем примере имеем:

$C= \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right)^{-1} \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)=$

$=\frac{1}{3} \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 2 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) =$

$=\left( \begin{array}{rrrrr} 0 & 1/3 & 2/3 & 1 & 1/3 \\ 0 & 1/3 & 2/3 & 0 & 1/3 \\ 0 & 1/3 & -1/3 & 0 & 1/3 \\ 0 & -2/3 & -1/3 & 0 & 1/3 \\ 1 & 2/3 & 1/3 & 0 & -1/3 \end{array} \right) .$

♦

Т

Теорема. Координаты вектора в старом и новом базисах связаны посредством матрицы перехода $C_{}$ соотношением

$\left\{ \begin{array}{ccc} x_1&=&c_{11}{\mathfrak x}_1+c_{12}{\mathfrak x}_2+\dots+c_{1n}{\mathfrak x}_n, \\ x_2&=&c_{21}{\mathfrak x}_1+c_{22}{\mathfrak x}_2+\dots+c_{2n}{\mathfrak x}_n, \\ \dots& & \dots \\ x_n&=&c_{n1}{\mathfrak x}_1+c_{n2}{\mathfrak x}_2+\dots+c_{nn}{\mathfrak x}_n \end{array} \right. \quad \iff \quad \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) =C \left( \begin{array}{c} {\mathfrak x}_1 \\ {\mathfrak x}_2 \\ \vdots \\ {\mathfrak x}_n \end{array} \right) \ .$

Доказательство.

$\begin{array}{lll} X=x_1X_1+\dots+x_nX_n&=&{\mathfrak x}_1{\mathfrak X}_1+\dots+{\mathfrak x}_n{\mathfrak X}_n = \\ &=&{\mathfrak x}_1(c_{11}X_1+c_{21}X_2+\dots+c_{n1}X_n)+\\ &+&{\mathfrak x}_2(c_{12}X_1+c_{22}X_2+\dots+c_{n2}X_n)+\\ &+& \dots +\\ &+&{\mathfrak x}_n(c_{1n}X_1+c_{2n}X_2+\dots+c_{nn}X_n)=\\ =(c_{11}{\mathfrak x}_1+c_{12}{\mathfrak x}_2+\dots+c_{1n}{\mathfrak x}_n)X_1&+&\dots+ (c_{n1}{\mathfrak x}_1+c_{n2}{\mathfrak x}_2+\dots+c_{nn}{\mathfrak x}_n)X_n \end{array}$

Поскольку при фиксированном базисе координаты вектора определяются однозначно (теорема 5 ☞ ЗДЕСЬ ), получаем равенства

$\left\{ \begin{array}{ccc} x_1&=&c_{11}{\mathfrak x}_1+c_{12}{\mathfrak x}_2+\dots+c_{1n}{\mathfrak x}_n, \\ x_2&=&c_{21}{\mathfrak x}_1+c_{22}{\mathfrak x}_2+\dots+c_{2n}{\mathfrak x}_n, \\ \dots& & \dots \\ x_n&=&c_{n1}{\mathfrak x}_1+c_{n2}{\mathfrak x}_2+\dots+c_{nn}{\mathfrak x}_n \end{array} \right. \quad \iff \quad \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) =C \left( \begin{array}{c} {\mathfrak x}_1 \\ {\mathfrak x}_2 \\ \vdots \\ {\mathfrak x}_n \end{array} \right)$

♦

Практическое значение последнего результата невелико, т.к. нас интересуют именно новые координаты.

=>

Новые координаты выражаются через старые по формуле

$\left( \begin{array}{c} {\mathfrak x}_1 \\ {\mathfrak x}_2 \\ \vdots \\ {\mathfrak x}_n \end{array} \right) =C^{-1} \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right),$

при этом матрицу $C^{-1}$ можно интерпретировать как матрицу перехода от нового базиса к старому.

?

Пусть в некотором «новейшем» базисе $\{ {\mathcal X}_1,\dots,{\mathcal X}_n \}$ пространства $\mathbb V_{}$ вектор $X_{}$ имеет координаты $(\varkappa_1,\dots,\varkappa_n)$ . Как они связаны с координатами $(x_{1},\dots,x_n)$ в старом базисе $\{X_1,\dots,X_n\}$ , если известны матрица $C_{}$ перехода от этого базиса к базису $\{{\mathfrak X}_1,\dots,{\mathfrak X}_n \}$ и матрица $D_{}$ перехода от базиса $\{{\mathfrak X}_1,\dots,{\mathfrak X}_n \}$ к базису $\{{\mathcal X}_1,\dots,{\mathcal X}_n \}$ ?

Евклидовы пространства

— как линейные пространства, в которых вводится понятие расстояния между векторами — рассматриваются ☞ ЗДЕСЬ.

Линейные отображения

пространств рассматриваются ☞ ЗДЕСЬ

Задачи

☞ ЗДЕСЬ.

Источники

[1]. Лаврентьев М., Люстерник Л. Основы вариационного исчисления. Том 1. Часть I. М.-Л.ОНТИ. 1935, с. 22

[2]. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. М.1975

[3]. Шилов Г.Е. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства. М.Наука.1969

1) scalar — слово, придуманное английским математиком Уильямом Гамильтоном, производное от scale (англ.) — шкала; вследствие того, что этих чисел достаточно для построения шкалы какого-нибудь измерительного инструмента.

2) Растяжение понимается в обобщенном смысле: при $|\alpha|<1$ вектор $\alpha X_1$ сокращается по длине по сравнению с $X_{1}$ .

3) veho (лат.) — тащить, влечь; термин придуман все тем же Гамильтоном.

4) Приходится заботиться о его включении специально, поскольку формально его степень не определяется; без его же включения не будет выполнена аксиома 3 .

5) dimensio (лат.) — обмер, измерение, протяжение; хлебная мера, солдатский паек.

6) Один из возможных.

7) Для математической строгости здесь требуется введение отдельного определения — аналога понятия конкатенации, но из соображений экономии лучше слегка ослабим однозначность терминологии.