УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


Линейное пространство

Определения

Пусть дано множество \mathbb V_{}=\left\{ X,Y,Z,U,\dots \right\} элементов произвольной природы. Пусть для элементов этого множества определены две операции: сложения X+Y_{} и умножения на любое вещественное число \alpha_{}: \alpha \cdot X_{}, и множество \mathbb V_{} замкнуто относительно этих операций: X+Y \in \mathbb V ,\ \alpha \cdot X \in \mathbb V_{}. Пусть эти операции подчиняются аксиомам:

1. X+Y=Y+X_{} для \{ X,\, Y\} \subset \mathbb V_{};

2. (X+Y)+Z_{}=X+(Y+Z) для \{ X,\, Y,\, Z \} \subset \mathbb V_{};

3. в \mathbb V_{} cуществует нулевой вектор \mathbb O_{} со свойством X+ \mathbb O =X_{} для \forall X\in \mathbb V_{};

4. для каждого X\in \mathbb V_{} существует обратный вектор X^{\prime}\in \mathbb V_{} со свойством X+X^{\prime}=\mathbb O_{};

5. 1\cdot X=X_{} для \forall X\in \mathbb V_{};

6. \lambda \left(\mu X \right)_{}= \left(\lambda \mu \right)X для \forall X\in \mathbb V_{}, \{\lambda ,\, \mu \} \subset \mathbb R_{} ;

7. (\lambda + \mu)X=\lambda X + \mu X_{} для \forall X\in \mathbb V_{}, \{\lambda ,\, \mu \}\subset \mathbb R_{} ;

8. \lambda (X + Y) =\lambda X_{} + \lambda Y для \{ X,\, Y\} \subset \mathbb V_{} , \lambda \in \mathbb R.

Тогда такое множество \mathbb V_{} называется линейным (векторным) пространством, его элементы называются векторами, и — чтобы подчеркнуть их отличие от чисел из \mathbb R_{} — последние называются скалярами1). Пространство, состоящее из одного только нулевого вектора, называется тривиальным .

§

Если в аксиомах 6 - 8 допустить умножение и на комплексные скаляры, то такое линейное пространство называется комплексным. Для упрощения рассуждений всюду в дальнейшем мы будем рассматривать только вещественные пространства.

§

Линейное пространство является группой относительно операции сложения, причем группой абелевой.

Элементарно доказывается единственность нулевого вектора, и единственность вектора, обратного вектору X\in \mathbb V_{}: X^{\prime}=-1\cdot X_{}, его привычно обозначают - X_{}.

Подмножество \mathbb V_{1} линейного пространства \mathbb V_{}, само являющееся линейным пространством (т.е. \mathbb V_{1} замкнуто относительно сложения векторов и умножения на произвольный скаляр), называется линейным подпространством пространства \mathbb V_{}. Тривиальными подпространствами линейного пространства \mathbb V_{} называются само \mathbb V_{} и пространство, состоящее из одного нулевого вектора \mathbb O_{}.

Примеры линейных пространств

П

Пример 1. Пространство \mathbb R^{3} упорядоченных троек вещественных чисел (a_1,a_2,a_{3}) с операциями, определяемыми равенствами:

(a_1,a_2,a_3)+(b_1,b_2,b_3)= (a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3),\ \alpha (a_1,a_2,a_3) = ( \alpha a_1, \alpha a_2, \alpha a_3 ) \ .

Геометрическая интерпретация очевидна: вектор в пространстве, «привязанный» к началу координат, может быть задан координатами своего конца (a_1,a_2,a_{3}). На рисунке показано и типичное подпространство пространства \mathbb R^{3}: плоскость, проходящая через начало координат. Точнее говоря, элементами \mathbb V_1 являются векторы, имеющие начало в начале координат и концы — в точках плоскости. Замкнутость такого множества относительно сложения векторов и их растяжения2) очевидна.

§

Исходя из этой геометрической интерпретации, часто говорят о векторе X_{} произвольного линейного пространства \mathbb V_{} как о точке пространства \mathbb V_{}. Иногда эту точку называют «концом вектора X_{}». Кроме удобства ассоциативного восприятия, этим словам не придается никакого формального смысла: понятие «конец вектора» отсутствует в аксиоматике линейного пространства.

П

Пример 2. Основываясь на том же примере, можно дать и иную интерпретацию векторного пространства \mathbb V_1 (заложенную, кстати, уже в самом происхождении слова «вектор»3)) — оно определяет набор «сдвигов» точек пространства \mathbb R^{3}. Эти сдвиги — или параллельные переносы любой пространственной фигуры — выбираются параллельными плоскости \mathbb V_1.

§

Вообще говоря, с подобными интерпретациями понятия вектора все обстоит не так просто. Попытки аппелировать к его физическому смыслу — как к объекту, имеющему величину и направление — вызывают справедливую отповедь строгих математиков. Определение же вектора как элемента векторного пространства очень напоминает эпизод с сепульками из знаменитого фантастического рассказа Станислава Лема (см. ЗДЕСЬ ). Не будем зацикливаться на формализме, а исследуем этот нечеткий объект в его частных проявлениях.

П

Пример 3. Естественным обобщением \mathbb R^{3} служит пространство \mathbb R_{}^{n}: векторное пространство строк (a_1,\dots,a_{n}) или столбцов (a_1,\dots,a_n)^{^\top}. Один из способов задания подпространства в \mathbb R_{}^{n} — задание набора ограничений. Множество решений системы линейных однородных уравнений:

\left\{\begin{array}{ccc} a_{11}x_1 +a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n &=&0,\\ a_{21}x_1 +a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n &=&0,\\ \ldots& & \ldots \\ a_{m1}x_1 +a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n &=&0 \end{array}\right. \iff AX=\mathbb O

образует линейное подпространство пространства \mathbb R_{}^{n}. В самом деле, если

x_1=\alpha_1,\dots, x_n=\alpha_n

— решение системы, то и

x_1=t \alpha_1,\dots, x_n= t \alpha_n

— тоже решение при любом t \in \mathbb R. Если

x_1=\beta_1,\dots, x_n=\beta_n

— еще одно решение системы, то и

x_1=\alpha_1+\beta_1,\dots,x_n=\alpha_n+\beta_n

— тоже будет ее решением.

?

Почему множество решений системы неоднородных уравнений не образует линейного подпространства?

П

Пример 4. Обобщая далее, можем рассмотреть пространство «бесконечных» строк или последовательностей (a_1,\dots,a_n, \dots ), обычно являющееся объектом математического анализа — при рассмотрении последовательностей и рядов. Подпространство этого пространства образуют, например, линейные рекуррентные последовательности \{x_k\}_{k=0,1,2,\dots } удовлетворяющие — при произвольных числах \{x_0,\dots x_{n-1} \} \subset \mathbb Rлинейному однородному разностному уравнению n_{}-го порядка,

x_{n+K}=a_1 x_{n+K-1}+ \dots+ a_n x_K \ npu \ K \in \{0,1,2,\dots \} \ ;

здесь числа \{ a_1,\dots,a_{n-1}, a_n \ne 0 \} \subset \mathbb R считаются фиксированными.

§

Можно рассматривать строки (последовательности) «бесконечные в обе стороны» \{ \dots,a_{-2},a_{-1},a_0,a_1,a_2,\dots \} — они используются в ТЕОРИИ СИГНАЛОВ.

П

Пример 5. Множество m\times n_{}-матриц с вещественными элементами с операциями сложения матриц и умножения на вещественные числа образует линейное пространство. Будем обозначать это пространство \mathbb R^{m\times n}.

В пространстве квадратных матриц фиксированного порядка каждое из следующих подмножеств составляет линейное подпространство: симметричных, кососимметричных, верхнетреугольных, нижнетреугольных и диагональных матриц.

П

Пример 6. Множество полиномов одной переменной x_{} степени в точности равной n_{} с коэффициентами из \mathbb A_{} (где \mathbb A_{} — любое из множеств \mathbb Z, \mathbb Q, \mathbb R_{} или \mathbb C_{}) с обычными операциями сложения полиномов и умножения на число из \mathbb A_{} не образует линейного пространства. Почему? — Потому что оно не является замкнутым относительно сложения: сумма полиномов f(x)=x^n -x+1 и g(x)=-x^n+x^{n-1}-2 не будет полиномом n_{}-й степени. Но вот множество полиномов степени не выше n_{}

\mathbb P_n= \left\{ p(x) \in \mathbb A [x] \big| \deg p(x) \le n \right\}

линейное пространство образует; только к этому множеству надо придать еще и тождественно нулевой полином4). Очевидными подпространствами \mathbb P_{n} являются \mathbb P_{0}, \mathbb P_1,\dots,\mathbb P_{n-1}. Кроме того, подпространствами будут множество четных и множество нечетных полиномов степени не выше n_{}. Множество всевозможных полиномов

\mathbb P= \bigcup_{n=0}^{\infty} \mathbb P_n

(без ограничения на степени) тоже образует линейное пространство.

П

Пример 7. Обобщением предыдущего случая будет пространство полиномов нескольких переменных x_1,\dots, x_{\ell} степени не выше n_{} с коэффициентами из \mathbb A_{}. Например, множество линейных полиномов

\left\{ a_1x_1+\dots+a_{\ell}x_{\ell}+b \big| (a_1,\dots,a_{\ell},b) \in \mathbb A^{\ell+1} \right\}

образует линейное пространство. Множество однородных полиномов (форм) степени n_{} (с присоединением к этому множеству тождественно нулевого полинома) — также линейное пространство.

§

С точки зрения приведенного в предыдущем пункте определения, множество строк с целочисленными компонентами

\mathbb Z^n = \left\{ (x_1,\dots,x_n)\ \mid \ \{x_j\}_{j=1}^n \subset \mathbb Z \right\} \ ,

рассматриваемое относительно операций покомпонентного сложения и умножения на целочисленные скаляры, не является линейным пространством. Тем не менее, все аксиомы 1 - 8 будут выполнены если мы допустим умножение только на целочисленные скаляры. В настоящем разделе мы не будем акцентировать внимание на этом объекте, но он довольно полезен в дискретной математике, например в ТЕОРИИ КОДИРОВАНИЯ. Линейные пространства над конечными полями рассматриваются ЗДЕСЬ.

Изоморфизм

Пусть имеются два линейных пространства разной природы: \mathbb V_{} с операцией +_{} и \mathbb W_{} с операцией \boxplus_{}. Может оказаться так, что эти пространства «очень похожи», и свойства одного получаются простым «переводом» свойств другого.

Говорят, что пространства \mathbb V_{} и \mathbb W_{} изоморфны если между множествами их элементов можно установить такое взаимно-однозначное соответствие, что если X_{} \leftrightarrow X^{\prime} и Y_{} \leftrightarrow Y^{\prime} то X+Y \leftrightarrow X_{}^{\prime} \boxplus Y^{\prime} и \lambda X_{} \leftrightarrow \lambda X^{\prime}.

=>

При изоморфизме пространств \mathbb V_{} и \mathbb W_{} нулевому вектору одного пространства будет соответствовать нулевой вектор другого пространства.

П

Пример. Пространство \mathbb R^{n}_{} изоморфно пространству \mathbb P_{n-1}^{}. В самом деле, изоморфизм устанавливается соответствием

[a_1,\dots,a_n] \leftrightarrow a_1+a_2x+\dots + a_nx^{n-1} \ .

П

Пример. Пространство \mathbb R^{m\times n} вещественных матриц порядка m_{}\times n изоморфно пространству \mathbb R_{}^{mn}. Изоморфизм устанавливается с помощью операции векторизации матрицы (матрица «вытягивается» в один столбец).

П

Пример. Пространство квадратичных форм от n_{} переменных изоморфно пространству симметричных матриц n_{}-го порядка. Изоморфизм устанавливается соответствием, которое мы проиллюстрируем для случая n=3_{}:

a_{11}x_1^2+a_{12}x_1x_2+a_{13}x_1x_3+a_{22}x_2^2+a_{23}x_2x_3+a_{33}x_3^2 \leftrightarrow \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \frac{1}{2}a_{12} & \frac{1}{2}a_{13} \\ \frac{1}{2}a_{12} & a_{22} & \frac{1}{2}a_{23} \\ \frac{1}{2}a_{13} & \frac{1}{2}a_{23} & a_{33} \end{array} \right) \ .

!

Понятие изоморфизма вводится для того, чтобы исследование объектов, возникающих в различных областях алгебры, но с «похожими» свойствами операций, вести на примере одного образца, отрабатывая на нем результаты, которые можно будет потом дешево тиражировать. Какое именно линейное пространство взять «за образец»? — См. концовку следующего пункта.

Линейная зависимость, базис, координаты

Линейной комбинацией системы векторов \{X_1,\dots,X_{m}\} называется произвольный вектор

\alpha_1 X_1+\dots+ \alpha_m X_m

при каких-то фиксированных значениях скаляров \alpha_{1}, \dots, \alpha_{m}. Множество всевозможных линейных комбинаций системы векторов \{X_1,\dots,X_{m}\}

\left\{ \alpha_1 X_1+\dots+ \alpha_m X_m \bigg| \{\alpha_1,\dots,\alpha_m\}\subset \mathbb R \right\}

называется линейной оболочкой векторов X_1,\dots,X_{m} и обозначается {\mathcal L}(X_1,\dots,X_{m}).

Т

Теорема 1. Линейная оболочка векторов X_1,\dots,X_{m} образует линейное подпространство пространства \mathbb V_{}.

П

Пример. В пространстве \mathbb P_{n} полиномов степеней \le n_{} \ge 3 линейной оболочкой полиномов x,x^2,x^3 будет множество полиномов вида a_0x^3+a_1x^2+a_2x, т.е. множество полиномов степеней \le 3, имеющих корень \lambda_{}=0.

Система векторов \{ X_{1},\dots,X_m \} называется линейно зависимой (л.з.) если существуют числа \alpha_{1},\dots,\alpha_m, такие что хотя бы одно из них отлично от нуля и

\alpha_1X_1+\dots+\alpha_mX_m=\mathbb O

Если же это равенство возможно только при \alpha_{1}=0,\dots,\alpha_m=0, то система векторов называется линейно независимой (л.н.з.).

П

Пример. Для полиномов нескольких переменных свойство линейной зависимости является частным проявлением более общего свойства функциональной зависимости. Так, однородные полиномы (формы)

f_1=(x_1+x_2+x_3)^2,\quad f_2=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3,\quad f_3=x_1^2+x_2^2+x_3^2

являются линейно зависимыми, поскольку

f_1-2\,f_2-f_3 \equiv 0 \ .

Полиномы

\tilde f_1=x_1+x_2+x_3,\quad f_2=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3,\quad f_3=x_1^2+x_2^2+x_3^2

не являются линейно зависимыми, но являются функционально зависимыми, поскольку

\tilde f_1^2-2\,f_2-f_3 \equiv 0 \ .

Т

Теорема 2. а) Если система содержит хотя бы один нулевой вектор, то она л.з.

б) Если система л.н.з., то и любая ее подсистема л.н.з.

в) При m>1 система \{X_{1},\dots,X_m\} л.з. тогда и только тогда, когда по меньшей мере один ее вектор линейно выражается через остальные, т.е. существуют j\in \{1,\dots,n \} и константы \gamma_{1},\dots,\gamma_{j-1}, \gamma_{j+1},\dots,\gamma_{n} такие, что

X_j=\gamma_1X_1+\dots+\gamma_{j-1}X_{j-1}+ \gamma_{j+1}X_{j+1}+\dots + \gamma_{m}X_{m} .
Т

Теорема 3. Если каждый из векторов системы \{ X_1,\dots,X_{m} \} линейно выражается через векторы другой системы \{ B_{1},\dots,B_k \} с меньшим числом векторов: k<m, то система \{ X_{1},\dots,X_m \} будет л.з.

Две системы векторов называются эквивалентными если каждый вектор одной системы линейно выражается через векторы другой и обратно.

Т

Теорема 4. Системы векторов \{ X_1,\dots,X_{m} \} и \{ Y_{1},\dots,Y_k \} будут эквивалентными тогда и только тогда когда совпадают линейные оболочки этих систем:

{\mathcal L}(X_1,\dots,X_m)={\mathcal L}(Y_1,\dots,Y_k) \ .

Т

Теорема 5. Если каждая из двух эквивалентных систем \{ X_1,\dots,X_{m} \} и \{ Y_1,\dots,Y_{k} \} является л.н.з., то эти системы состоят из одинакового числа векторов: m=k_{} .

Линейно независимая система векторов \{X_{j}\}\subset \mathbb V называется базисом этого пространства если каждый X\in \mathbb V можно представить в виде линейной комбинации указанных векторов:

X=\sum_{j} \alpha_j X_j \ .

При этом не подразумевается конечность системы, т.е. суммирование может распространяться на бесконечное число слагаемых. Так, например, пространство бесконечных строк (или последовательностей) \left[a_{1},a_2,\dots\, \right] имеет бесконечный базис, состоящий из векторов

[\underbrace{0,\dots,0,1}_j,0,\dots \, ] \quad npu \ j \in \mathbb N \ .

В случае, когда базис пространства \mathbb V_{} конечен, пространство \mathbb V_{} называется конечномерным, а число векторов базиса тогда называется размерностью пространства \mathbb V_{} и обозначается5): \dim \mathbb V_{}. Также полагают, что размерность тривиального пространства, состоящего из одного только нулевого вектора, равна нулю: \dim \{\mathbb O_{} \}= 0.

П

Пример. Линейное пространство m\times n_{} матриц имеет размерность mn_{}. Так, для случая m_{}=3 ,n=2 в качестве базиса можно выбрать следующий набор матриц

\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \ , \ \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \ , \ \left( \begin{array}{ccccc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \ , \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \ , \ \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \ , \ \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \ .

?

Найти размерности подпространства симметричных и подпространства кососимметричных матриц порядка n_{}.

П

Пример [1]. Замечательный пример трехмерного линейного пространства дает нам совокупность всех цветов. Под суммой двух цветов будем понимать цвет, образованный их смешением

под умножением цвета на положительное число k_{} — увеличение в k_{} раз яркости цвета

A

Анимация ЗДЕСЬ (1500 K, gif)

под умножением на (-1) — взятие дополнительного цвета. При этом оказывается, что совокупность всех цветов выражается линейно через три цвета: красный, зеленый и синий, т.е. образует трехмерное линейное пространство. (Точнее, некоторое тело в трехмерном пространстве, поскольку яркости цветов ограничены верхним порогом раздражения.) Исследование этого трехмерного тела всех цветов является важным орудием цветоведения.

Если \dim \mathbb V=d_{} и вектора X_1,\dots,X_{d} являются базисными для \mathbb V_{}, то разложение вектора X \in \mathbb V_{} в сумму:

X=\alpha_1 X_1+\dots+ \alpha_d X_d \ .

называется разложением вектора X_{} по базису X_1,\dots,X_{d}; при этом числа \alpha_1,\dots, \alpha_{d} называются координатами вектора X_{} в данном базисе.

Т

Теорема 6. Если \dim \mathbb V=d>0, то любая система из d_{} линейно независимых векторов пространства образует базис этого пространства.

Доказательство. Пусть \{Y_1,\dots,Y_d\}л.н.з. система. Рассмотрим произвольный X\in \mathbb V_{}. Если система \{X,Y_1,\dots,Y_d\} л.н.з., то \dim \mathbb V \ge d+1, что противоречит условию теоремы. Следовательно, система линейно зависима: \alpha_0X+\alpha_1Y_1+\dots+\alpha_dY_d=\mathbb O при каком-то из чисел \{\alpha_j\}_{j=0}^{d} не равном нулю. Если \alpha_0=0, то \alpha_1Y_1+\dots+\alpha_dY_d=\mathbb O при каком-то ненулевом коэффициенте. Это означает, что система \{Y_1,\dots,Y_d\} линейно зависима, что противоречит предположению. Следовательно \alpha_0\ne 0, но тогда вектор X_{} может быть представлен в виде линейной комбинации векторов Y_1,\dots,Y_d:

X=- {\alpha_1}/{\alpha_0} Y_1-\dots -{\alpha_d}/{\alpha_0}Y_d \ .

По определению, система \{Y_1,\dots,Y_d\} является базисом \mathbb V.

Т

Теорема 7. Любой вектор X \in \mathbb V_{} может быть разложен по фиксированному базису пространства единственным образом.

Очевидно, \dim \mathbb R^{n} = n: строки из n_{} элементов

[1,0,0,\dots,0],\ [0,1,0,\dots,0],\ [0,0,1,\dots,0],\ \dots , [0,0,0,\dots,1]

образуют базис этого пространства.

Имеются два способа задания линейных подпространств в \mathbb R^{n}_{}. Пусть

\mathbb V_1 = {\mathcal L}(A_1,\dots,A_k) \quad npu \ \{A_1,\dots,A_k \} \subset \mathbb R^n \ .

В разделе РАНГ установлено, что

\dim \mathbb V_1 = \operatorname{rank} \{ A_1,\dots,A_k \} = \operatorname{rank} (A) \ ,

где A_{} — матрица, составленная из строк (столбцов) A_{1},\dots,A_k.

П

Пример. Найти базис подпространства

\mathcal L \left([1,2,1,1],\, [-1,0,-1,0], \, [-1,2,-1,1], \, [0,1,0,1] \right) \ .

Решение. Ищем

\operatorname{rank} \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 1 & 1 \\ -1&0&-1&0 \\ -1& 2 &-1 &1 \\ 0& 1& 0 & 1 \end{array} \right)

по методу окаймляющих миноров. Существует минор третьего порядка

\left| \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 1 \\ -1&0&0 \\ 0& 1 & 1 \end{array} \right|

отличный от нуля, а определитель самой матрицы равен нулю. Замечаем, что найденный отличный от нуля минор расположен в первой, второй и четвертой строках матрицы. Именно эти строки и образуют базис.

Ответ. Базис составляют, например, первая, вторая и четвертая строки.

Другим способом задания линейного подпространства в \mathbb R_{}^{n} может служить задание набора ограничений, которым должны удовлетворять векторы подпространства. Таким набором ограничений может являться, например, система уравнений

\left\{\begin{array}{ccc} a_{11}x_1 +a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n &=&0,\\ a_{21}x_1 +a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n &=&0,\\ \ldots& & \ldots \\ a_{m1}x_1 +a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n &=&0 \end{array}\right. \qquad \iff \qquad AX=\mathbb O .

Какова размерность подпространства решений этой системы? На этот вопрос мы ответим сразу же, если вспомним определение фундаментальной системы решений (ФСР). Именно, ФСР — как набор линейно независимых решений, через которые линейно выражается любое решение системы однородных уравнений — является базисом подпространства этих решений.

Т

Теорема 8. Множество решений системы однородных уравнений AX=\mathbb O_{} образует линейное подпространство пространства \mathbb R^{n}_{}. Размерность этого подпространства равна n-\operatorname{rank} (A), а фундаментальная система решений образует его базис.

П

Пример. В пространстве \mathbb P_{n} полиномов степеней \le n_{} каноническим базисом можно взять систему мономов \{1,x,x^2,\dots, x^n \}, т.е. \dim \mathbb P_{n} =n+1. Координатами полинома f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^n будут его коэффициенты. Можно выбрать и другой базис, например, \{1, x-c,(x-c)^2,\dots,(x-c)^n \} при произвольном числе c_{}. Координатами полинома в этом базисе будут теперь коэффициенты формулы Тейлора:

f(x) \equiv f(c)+ \frac{f^{\prime}(c)}{1!} (x-c) + \frac{f^{\prime \prime }(c)}{2!} (x-c)^2+ \dots + \frac{f^{(n)}(c)}{n!} (x-c)^{n} \ .

?

Найти координаты полинома x^5-x^4+x^3-x^2-x+1 в базисе \{1,x+1,x^2+1,x^3+1,x^4+1,x^5+1\}.

Т

Теорема 9. Любое векторное пространство \mathbb V_{} размерности d_{} изоморфно \mathbb R^{d}.

Доказательство. Изоморфизм можно установить следующим соответствием. Если \{X_1,\dots , X_d \} — какой-то базис \mathbb V_{}, то вектору X \in \mathbb V поставим в соответствие набор его координат в этом базисе:

X=x_1X_1+\dots+x_d X_d \ \Rightarrow \ X \mapsto [x_1,\dots,x_d]\in \mathbb R^d .

На основании теоремы 6, такое соответствие будет взаимно-однозначным, а проверка двух свойств изоморфизма тривиальна.

!

Последний результат позволяет свести исследование свойств произвольного линейного пространства \mathbb V_{} к исследованию свойств пространства \mathbb R^{d}. Лишь бы только удалось нам найти базис пространства \mathbb V_{}, а также разложение произвольного вектора по этому базису. Однако некоторые теоретические заключения можно сделать основываясь только лишь на фактах принципиального существования базиса и возможности разложения по нему произвольного вектора.

Относительный базис

В настоящем пункте \mathbb V_1 обозначает линейное подпространство пространства \mathbb V_{}, отличное от тривиального; обозначаем d_1=\dim \mathbb V_1.

Т

Теорема. Произвольный базис подпространства \mathbb V_1 можно дополнить до базиса пространства \mathbb V_{}.

Доказательство. Пусть \{X_1,\dots,X_{d_1} \} — какой-то базис \mathbb V_1. В пространстве \mathbb V_{} найдется вектор X_{d_1+1} такой, что система \{X_1,\dots,X_{d_1}, X_{d_1+1 }\} будет л.н.з. (В противном случае, \dim \mathbb V=d_1, что противоречит условию настоящего пункта.) Если d_1+1=d = \dim \mathbb V, то, на основании теоремы 5 предыдущего пункта, требуемый базис построен. Если же d_1+1<d, то в пространстве \mathbb V_{} найдется вектор X_{d_1+2} такой, что система \{X_1,\dots,X_{d_1}, X_{d_1+1 },X_{d_1+2 } \} будет л.н.з. И т.д. Процесс закончится за конечное число шагов.

Говорят, что система векторов \{X_1,\dots,X_k\} линейно независима относительно подпространства \mathbb V_1 пространства \mathbb V_{} если

{.}_{} из условия \quad \alpha_1X_1+\dots+\alpha_k X_k \in \mathbb V_1 \quad следует \quad \alpha_1=\dots=\alpha_k=0 \ .
Т

Теорема. Обозначим \{Y_1,\dots,Y_{d_1}\}произвольный базис \mathbb V_1. Система \{X_{1},\dots,X_k\} л.н.з. относительно \mathbb V_1 тогда и только тогда, когда система \{Y_1,\dots,Y_{d_1},X_1,\dots,X_k\} линейно независима.

П

Пример. Найти все значения параметра \alpha_{}, при которых система

\{ X_1=[1,\, 2,\, \alpha,\, 1 ]^{^{\top}}, \ X_2=[1,\, \alpha,\, 2,\, 1]^{^{\top}} \}

л.н.з. относительно подпространства

\mathbb V_1=\left\{X \in \mathbb R^4 \bigg| \begin{array}{ll} x_1+2\,x_2-3\,x_3+4\, x_4 &=0, \\ x_1+x_2-x_3 -x_4 &=0 \end{array} \right\} \ .

Решение. Базисом подпространства \mathbb V_1 является произвольная ФСР заданной системы однородных уравнений, например \{Y_1=[-1,2,1,0]^{^{\top}},\ Y_2=[6,-5,0,1]^{^{\top}}\}. Теорема утверждает, что система \{ X_1, X_2\} л.н.з. относительно \mathbb V_1 тогда и только тогда, когда система \{ X_1, X_2,Y_1,Y_2\} л.н.з. (в обычном понимании). Последнее равносильно тому, что матрица, составленная из этих векторов, должна иметь ранг равный 4_{}.

\operatorname{rank} \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 1 &-1 & 6 \\ 2 & \alpha & 2 & -5 \\ \alpha & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right)=4 \ \iff \ \left| \begin{array}{rrrr} 1 & 1 &-1 & 6 \\ 2 & \alpha & 2 & -5 \\ \alpha & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right|= \alpha^2-10\,\alpha+16 \ne 0 \ .

Ответ. \alpha\not \in \{ 2,\, 8\}.

Говорят, что система векторов \{X_1,\dots,X_k\} образует базис пространства \mathbb V_{} относительно (или над) \mathbb V_1 если она л.н.з. относительно \mathbb V_1 и любой вектор X\in \mathbb V_{} можно представить в виде

X=c_1X_1+\dots+c_kX_k+Y, \quad где \quad Y\in \mathbb V_1 \ .
Т

Теорема. Обозначим \{ Y_1,\dots,Y_{d_1} \}произвольный базис подпространства \mathbb V_1. Система \{X_1,\dots,X_k\} образует базис \mathbb V_{} относительно \mathbb V_1 тогда и только тогда, когда система \{ X_1,\dots,X_k,Y_1,\dots,Y_{d_1} \} образует базис \mathbb V_{}.

Доказательство. Действительно, любой вектор X\in \mathbb V_{} выражается через векторы X_1,\dots,X_k,Y_1,\dots,Y_{d_1}. По предыдущей теореме для линейной независимости этих векторов необходимо и достаточно относительной линейной независимости X_1,\dots,X_k.

=>

Базис \mathbb V_{} строится дополнением базиса \mathbb V_1 векторами X_1,\dots,X_k линейно независимыми относительно \mathbb V_1. Поэтому

{.}_{}число векторов относительного базиса \ = \dim \mathbb V - \dim \mathbb V_1 \ .

Сумма и пересечение линейных подпространств

Пусть \mathbb V_1 и \mathbb V_2 — подпространства линейного пространства \mathbb V_{}. Множество

\mathbb V_1+ \mathbb V_2 = \left\{X_1+X_2 \big| X_1 \in \mathbb V_1,\ X_2 \in \mathbb V_2 \right\}

называется суммой, а множество

\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 = \left\{X \big| X \in \mathbb V_1,\ X \in \mathbb V_2 \right\}

пересечением подпространств \mathbb V_1 и \mathbb V_2. Аналогично определяется сумма и пересечение произвольного количества подпространств.

Понятие пересечения линейных подпространств совпадает с понятием пересечения их как множеств.

!

Как правило, \mathbb V_1+ \mathbb V_2 \ne \mathbb V _1 \cup \mathbb V_2.

Т

Теорема. \mathbb V_1+ \mathbb V_2 и \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 являются подпространствами линейного пространства \mathbb V_{}.

?

Докажите, что \mathbb V_1+ \mathbb V_2 — это подпространство минимальной размерности, содержащее как \mathbb V_1, так и \mathbb V_2.


§

Понятие суммы линейных подпространств является частным случаем суммы Минковского двух произвольных подмножеств \mathbb A_1 и \mathbb A_2 линейного пространства:

\mathbb A_1 + \mathbb A_2 = \{ X+Y \ \mid \ X \in \mathbb A_1, Y \in \mathbb A_2 \} .

П

Пример. Для подмножеств \mathbb A_1=\{ [1,0], [0,1], [0,-1] \} и \mathbb A_2=\{ [0,0], [1,1] \} пространства \mathbb R^2 имеем:

\mathbb A_1 + \mathbb A_2 = \{ [1,0], [0,1], [0,-1], [2,1], [1,2] \} \, .


Т

Теорема. Имеет место формула:

\dim \, \mathbb V_1 + \dim \, \mathbb V_2=\dim \, (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2) + \dim \, (\mathbb V_1 + \mathbb V_2) \ .

Доказательство ЗДЕСЬ.

§

Этот результат может быть трактован как проявление общего результата формальной логики, известного под названием формула включений-исключений.

?

Показать справедливость формулы

\dim \, \mathbb V_1 + \dim \, \mathbb V_2 + \dim \, \mathbb V_3 -
-\left\{\dim \, (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2) + \dim \, (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_3) + \dim \, (\mathbb V_2 \cap \mathbb V_3) \right\} +
+ \dim \, (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 \cap \mathbb V_3) =\dim \, (\mathbb V_1 + \mathbb V_2 + \mathbb V_3) \ .

Т

Теорема. Имеет место формула:

{\mathcal L}(X_1,\dots,X_m)+{\mathcal L}(Y_1,\dots,Y_{\ell})= {\mathcal L}(X_1,\dots,X_m,Y_1,\dots,Y_{\ell}) \ ;

здесь {\mathcal L} означает линейную оболочку.

П

Пример. Найти базис суммы и размерность пересечения

\mathbb V_1={\mathcal L}\left( \left[ \begin{array}{r} 0 \\1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{r} 1 \\1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{r} -2 \\0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] \right) \quad и \quad \mathbb V_2={\mathcal L}\left( \left[ \begin{array}{r} -1 \\3 \\ 2 \\ -1 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{r} 1 \\1 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right] \right)

Решение. Действуя согласно предыдущей теореме, составляем матрицу из всех векторов

\left( \begin{array}{rrrrr} 0 & 1 & -2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & -1 & -1 \end{array} \right)

и ищем ее ранг методом окаймляющих миноров. Имеем: \operatorname{rank} = 3 при ненулевом миноре матрицы расположенном в первых трех ее столбцах.

Ответ. Базис \mathbb V_1 + \mathbb V_2 составляют векторы X_1,X_2,X_3; \dim \, (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2) = 3+2 - 3 =2.

Алгоритм нахождения базиса {\mathcal L}(X_1,\dots,X_m) \cap {\mathcal L}(Y_1,\dots,Y_{\ell}) проиллюстрируем на примере.

П

Пример. Найти базис \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 при

\begin{array}{l} \mathbb V_1={\mathcal L} \left( \left[ \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right],\, \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right],\, \left[ \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] \right) \\ {}_{} \qquad \qquad \quad X_1 \quad \quad \ X_2 \quad \quad X_3 \end{array} ,\ \begin{array}{l} \mathbb V_2={\mathcal L} \left( \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right],\, \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right],\, \left[ \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] \right) \\ {}_{} \quad \qquad \qquad Y_1 \qquad \ Y_2 \quad \quad Y_3 \end{array} \ .

Решение. 1. Сначала найдем базисы каждого из подпространств:

\dim \mathbb V_1=2, \ \mathbb V_1=\mathcal L(X_1, X_2) \ ; \ \dim \mathbb V_2=3,\ \mathbb V_2=\mathcal L(Y_1, Y_2, Y_3) \ .

2. Произвольный вектор Z\in \mathbb R^5, принадлежащий \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2, должен раскладываться по базису каждого из подпространств:

Z=\alpha_1 X_1 + \alpha_2 X_2= \beta_1 Y_1 + \beta_2 Y_2 + \beta_3 Y_3 \ .

Для определения неизвестных значений координат составляем систему уравнений

\begin{array}{l} \qquad X_1 \ X_2 \\ \qquad {\color{RubineRed} \downarrow} \ \ \ {\color{RubineRed} \downarrow} \\ \left( \begin{array}{rrrrrrr} 1 & 1 & -1 & &-1 & & \ 0 \\ -1 & 2 & 0 & & -1 & & \ -1 \\ 1 & 1 & 0 & & 0 & & \ -1 \\ -1 & 2 & 0 & & -1 & & \ -1 \\ 1 & 1 & -1 & & -1 & &\ 0 \end{array} \right) \\ \qquad \qquad \qquad {\color{RubineRed} \uparrow} \qquad \ \ {\color{RubineRed} \uparrow} \qquad \quad {\color{RubineRed} \uparrow} \\ \quad \qquad \qquad -Y_1 \quad - Y_2 \quad -Y_3 \end{array} \left( \begin{array}{r} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \end{array} \right)= \mathbb O_{5\times 1}

и решаем ее по методу Гаусса с нахождением фундаментальной системы решений:

\left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & -1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{r} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \end{array} \right)= \mathbb O \quad \Rightarrow \qquad ФСР \qquad \begin{array}{rrr|rr} \alpha_1 & \alpha_2 & \beta_1 & \beta_2 & \beta_3 \\ \hline -1/3 & 1/3 & -1 & 1 & 0 \\ 1/3 & 2/3 & 1 & 0 & 1 \end{array}

3. Получившиеся значения координат позволяют выразить базис пересечения — либо через базис подпространства \mathbb V_1 (если использовать полученные значения для \alpha_1,\alpha_2), либо через базис подпространства \mathbb V_2 (если использовать \beta_1,\beta_2, \beta_3). Например,

Z_1=-1/3 X_1 + 1/3 X_2 = [0,1,0,1,0]^{^{\top}},
Z_2=1/3 X_1 + 2/3 X_2 = [1,1,1,1,1]^{^{\top}} \ .

Ответ.6) \left\{[0,1,0,1,0]^{^{\top}},\, [1,1,1,1,1]^{^{\top}} \right\}.

?

Найти базисы суммы и пересечения подпространств

\mathbb V_1=\left\{ X\in \mathbb R^4 \left| \begin{array}{rrrrl} 2\,x_1&+x_2&+4\,x_3&+x_4 &= 0, \\ 2\,x_1&+x_2&+3\,x_3& &=0 \end{array} \right. \right\}

и

\mathbb V_2= \left\{ X\in \mathbb R^4 \left| \begin{array}{rrrrl} 3\,x_1&+2\,x_2&-x_3&-6\, x_4 &= 0, \\ 2\,x_1&&+8\,x_3 &+7\, x_4 &=0 \end{array} \right. \right\} \ .

Решение ЗДЕСЬ.

Прямая сумма линейных подпространств

Пусть \mathbb V_1 и \mathbb V_2 — подпространства линейного пространства \mathbb V_{}. Говорят, что \mathbb V_{} раскладывается в прямую сумму подпространств \mathbb V_1 и \mathbb V_2 если любой вектор X\in \mathbb V_{} может быть представлен в виде X=X_1+X_2, где X_1\in \mathbb V_1,X_2\in \mathbb V_2 и такое представление единственно. Этот факт записывают: \mathbb V= \mathbb V_1 \oplus \mathbb V_2. Вектор X_{1} называется проекцией вектора X_{} на подпространство \mathbb V_1 параллельно подпространству \mathbb V_{2}.

П

Пример. Линейное пространство квадратных матриц порядка n_{} раскладывается в прямую сумму подпространств: подпространства симметричных матриц и подпространства кососимметричных матриц. В самом деле, для матрицы A_{n\times n} справедливо разложение

A=\frac{1}{2} \left(A+A^{^\top} \right) + \frac{1}{2} \left(A-A^{^\top} \right)

и в правой части первая скобка дает симметричную матрицу, а вторая — кососимметричную. Покажите, что не существует иного разложения матрицы A_{} в сумму симметричной и кососимметричной.

Т

Теорема. Пусть \mathbb V=\mathbb V_1 + \mathbb V_2. Эта сумма будет прямой тогда и только тогда, когда подпространства \mathbb V_1 и \mathbb V_2 имеют тривиальное пересечение:

\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2=\{\mathbb O \} \ .

Доказательство. Необходимость. Пусть сумма \mathbb V_1 + \mathbb V_2 — прямая, но существует вектор X\ne \mathbb O, принадлежащий \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2. Но тогда и вектор (-X) принадлежит \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2. Для нулевого вектора \mathbb O получаем два представления в виде суммы проекций на подпространства:

\mathbb O = \mathbb O + \mathbb O = X+ (-X) \, .

Это противоречит понятию прямой суммы.

Достаточность. Если \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2=\{\mathbb O \}, но существует вектор X \in \mathbb V_1 + \mathbb V_2, имеющий два различных разложения в сумму проекций

X=X_1+X_2 =Y_1+ Y_2 \quad npu \quad \{X_1,Y_1\} \subset \mathbb V_1, \ \{X_2,Y_2\} \subset \mathbb V_2,

то

(X_1-Y_1)+(X_2-Y_2) =\mathbb O \quad \Rightarrow \quad X_1-Y_1=Y_2-X_2 \, ,

т.е. вектор X_1-Y_1 принадлежит \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2. Но, по предположению, \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2=\{\mathbb O \}, следовательно, X_1-Y_1=\mathbb O, но тогда и Y_2-X_2=\mathbb O.

=>

Сумма \mathbb V=\mathbb V_1 + \mathbb V_2 будет прямой тогда и только тогда, когда базис \mathbb V_{} может быть получен объединением базисов \mathbb V_{j}.

§

Сформулированное таким образом утверждение содержится во многих учебниках по линейной алгебре. Тем не менее, с формальной точки зрения, оно неверно. В самом деле, пусть \mathbb V_1 = {\mathcal L}(X_1,X_2),\, \mathbb V_2 = {\mathcal L}(X_2,X_3) при линейно независимых X_1,X_2,X_3. Очевидно базис \mathbb V_1 + \mathbb V_2 ={\mathcal L}(X_1,X_2,X_3) получается объединением базисов \mathbb V_1 и \mathbb V_2. В то же время \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2\ne \{\mathbb O \}. Причина возникновения этой ошибки кроется в содержании термина «объединение базисов». С точки зрения терминологии теории множеств, во множестве не может содержаться одинаковых элементов (во множестве они неразличимы). Однако мы с самого начала изложения допустили, что в систему векторов могут входить одинаковые, которые различаются порядком своего расположения (хотя это особо и не подчеркивалось, векторы в системе всегда пронумерованы). Исходя из этих соображений, объединение базисов \mathbb V_1 и \mathbb V_2 будет пониматься7) в настоящем пункте (и кое-где далее) как система векторов, в которую входят последовательно векторы базисов \mathbb V_1 и \mathbb V_2 — с допуском дублей. В рамках такой договоренности, для приведенного примера получим: объединение базисов линейных подпространств {\mathcal L}(X_1,X_2) и {\mathcal L}(X_2,X_3) представляет систему \{X_1,X_2,X_2,X_3\}, которая, очевидно, не является базисом. Таким образом сумма {\mathcal L}(X_1,X_2)+{\mathcal L}(X_2,X_3) не является прямой, и результат следствия остается справедливым.

П

Пример [2]. Доказать, что сумма подпространств

\mathbb V_1={\mathcal L}\left( \left[ \begin{array}{r} 2 \\3 \\ 11 \\ 5 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{r} 1 \\1 \\ 5 \\ 2 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{r} 0 \\1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] \right) \quad и \quad \mathbb V_2={\mathcal L}\left( \left[ \begin{array}{r} 2 \\1 \\ 3 \\ 2 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{r} 1 \\1 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{r} 5 \\2 \\ 6 \\ 2 \end{array} \right] \right)

будет прямой и найти проекции вектора Z=[2,0,0,3]^{\top} на эти подпространства.

Решение. Базисы \mathbb V_1 и \mathbb V_2 составляют соответственно системы \{X_2,X_3\} и \{ Y_1,Y_2 \}, т.е. \dim \, \mathbb V_1=\dim \, \mathbb V_2 =2. На основании следствия достаточно установить, что объединенная система \{X_2,X_3,Y_1,Y_2 \} л.н.з. Для этого достаточно проверить, что определитель матрицы

A=\left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 5 & 1 & 3 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 4 \end{array} \right)

отличен от нуля. Поскольку это условие выполнено, то сумма \mathbb V_1 + \mathbb V_2 — прямая и базис этой суммы состоит из взятых векторов. Для нахождения разложения вектора X_{} по этому базису решаем систему уравнений

A \left[ \begin{array}{c} \alpha_2 \\ \alpha_3 \\ \beta_1 \\ \beta_2 \end{array} \right] = Z

и получаем единственное решение: \alpha_2=-1,\, \alpha_3=-1,\, \beta_1 =1\, , \beta_2=1. Разложение Z=Z_1+Z_2 составляют векторы Z_1=\alpha_2 X_2+\alpha_3 X_3 и Z_2=\beta_1 Y_1+\beta_2 Y_2.

Ответ. Z=[-1,-2,-6,-3]^{\top} + [3,2,6,6]^{\top}.

Линейные многообразия

Пусть \mathbb V_1 — линейное подпространство пространства \mathbb V_{}, а X_{0} — произвольный фиксированный вектор из \mathbb V_{}. Множество

\mathbb M = X_0+ \mathbb V_1 = \left\{X_0+Y \big| Y \in \mathbb V_1 \right\}

называется линейным многообразием (порожденным подпространством \mathbb V_1). Размерностью этого многообразия называется размерность порождающего его подпространства: \dim \mathbb M = \dim \mathbb V_1. В случае 1 < \dim \mathbb M = k < \dim \mathbb \mathbb V о многообразии \mathbb M говорят как о k-мерной плоскости (или гиперплоскости), а при k=1 — как о прямой.

§

Образно говоря, многообразие — это сдвиг порождающего его линейного подпространства.

П

Пример. Множество полиномов вида f(x)= a_0x^3+a_1x^2+a_2x+1 \in \mathbb R[x], т.е. таких, что \deg f \le 3, f(0)=1 образует линейное многообразие, порожденное линейным подпространством полиномов \{ x(a_0x^2+a_1x+a_2) \mid (a_0,a_1,a_2) \in \mathbb R^3 \}.

Пересечение многообразий определяется традиционным способом, а сумма многообразий не определяется. Будем называть многообразия, порожденные одним и тем же подпространством

\mathbb M = X_0+ \mathbb V_1 \quad u \quad \tilde \mathbb M = \tilde X_0+ \mathbb V_1 \ ,

параллельными многообразиями.

П

Пример. Множество столбцов пространства \mathbb R^{n}, удовлетворяющих системе уравнений

\left\{\begin{array}{ccc} a_{11}x_1 +a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n &=&b_1,\\ a_{21}x_1 +a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n &=&b_2,\\ \ldots& & \ldots \\ a_{m1}x_1 +a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n &=&b_m \end{array}\right. \iff AX={\mathcal B} \ ,

образует линейное многообразие. При {\mathcal B}\ne \mathbb O_{m\times 1} это многообразие не будет являться линейным пространством. Структуру этого множества описывала теорема из пункта ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ: если система совместна, то ее общее решение можно представить как сумму какого-то одного ее решения и общего решения соответствующей однородной системы AX= \mathbb O. Таким образом, многообразие решений неоднородной системы AX={\mathcal B} допускает «параметрическое представление»:

\mathbb M=X_0+ {\mathcal L}(X_1,\dots,X_{n-{\mathfrak r}})=
=\left\{X_0+t_1 X_1+\dots+ t_{n-{\mathfrak r}} X_{n-{\mathfrak r}} \mid (t_1,\dots, t_{n-{\mathfrak r}}) \in \mathbb R^{n-{\mathfrak r}} \right\} \ ;

здесь X_{0} означает частное решение систем (т.е. AX_0={\mathcal B}), \{X_1,\dots,X_{n-{\mathfrak r}}\}ФСР для системы AX= \mathbb O, а \mathfrak r= \operatorname{rank} A= \operatorname{rank} [A\mid \mathcal B]. Получаем, следовательно, (n-{\mathfrak r})-мерную плоскость в \mathbb R^n, a в случае (n-{\mathfrak r})=1 — прямую

\mathbb M=X_0+tX_1 \quad npu \ t \in \mathbb R \ ;

в последнем случае вектор X_{1} называют направляющим вектором этой прямой.

§

Некоторые задачи на линейные многообразия ЗДЕСЬ.

Факторпространство

определяется ЗДЕСЬ.

Преобразование координат при замене базиса

Пусть \mathbb V_{} — линейное пространство размерности n_{}, пусть

\{X_1,\dots,X_n\} \quad u \quad \{{\mathfrak X}_1,\dots,{\mathfrak X}_n\}

— два произвольных его базиса («старый» и «новый»).

Задача. Вывести соотношения, связывающие координаты произвольного вектора X\in \mathbb V_{} в старом и новом базисах:

X=x_1X_1+\dots+x_nX_n={\mathfrak x}_1{\mathfrak X}_1+\dots+{\mathfrak x}_n{\mathfrak X}_n \ .

Предположим, что нам известны координаты векторов нового базиса в старом:

\left\{ \begin{array}{ccc} {\mathfrak X}_1&=&c_{11}X_1+c_{21}X_2+\dots+c_{n1}X_n, \\ {\mathfrak X}_2&=&c_{12}X_1+c_{22}X_2+\dots+c_{n2}X_n, \\ \dots& & \dots \\ {\mathfrak X}_n&=&c_{1n}X_1+c_{2n}X_2+\dots+c_{nn}X_n. \end{array} \right.

Матрица

C=\left( \begin{array}{cccc} c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \dots & c_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ c_{n1} & c_{n2} & \dots & c_{nn} \\ \end{array} \right),

по столбцам которой стоят координаты новых базисных векторов в старом базисе называется матрицей перехода от старого базиса к новому, а также — ввиду одного из приведенных ниже результатов — матрицей преобразования координат.

Т

Теорема. Матрица C_{} неособенная.

Доказательство. Cначала покажем справедливость утверждения в частном случае \mathbb V=\mathbb R^n. Вектора нового и старого базисов являются столбцами из n вещественных чисел, и равенства, задающие элементы матрицы C_{}, можно переписать в матричном виде:

\left[{\mathfrak X}_1|\dots|{\mathfrak X}_n\right]=\left[X_1|\dots|X_n\right]\cdot C \ .

Здесь | означает конкатенацию. Поскольку системы \{X_1,\dots,X_n\} и \{{\mathfrak X}_1,\dots,{\mathfrak X}_n\} — базисные, то

\det \left[X_1|\dots |X_n\right] \ne 0, \quad \det \left[{\mathfrak X}_1|\dots |{\mathfrak X}_n\right] \ne 0 \ .

Из последнего матричного равенства (и теоремы Бине-Коши ) тогда следует, что \det C\ne 0.

Теперь докажем теорему для случая произвольного пространства. Если \det C= 0, то столбцы матрицы C_{} линейно зависимы (см. ЗДЕСЬ ), т.е. существует линейная комбинация

\alpha_1 c_{j1}+ \dots+\alpha_n c_{jn}=0 \quad npu \quad \forall j\in \{1,\dots,n \}

и при некотором \alpha_k\ne 0. Но тогда из формул

\left\{ \begin{array}{ccc} {\mathfrak X}_1&=&c_{11}X_1+c_{21}X_2+\dots+c_{n1}X_n, \\ {\mathfrak X}_2&=&c_{12}X_1+c_{22}X_2+\dots+c_{n2}X_n, \\ \dots& & \dots \\ {\mathfrak X}_n&=&c_{1n}X_1+c_{2n}X_2+\dots+c_{nn}X_n. \end{array} \right.

следует, что

\alpha_1 {\mathfrak X}_1+ \dots+\alpha_n {\mathfrak X}_n=\mathbb O \ ,

что противоречит линейной независимости системы \{{\mathfrak X}_1,\dots,{\mathfrak X}_n\}.

П

Пример. Найти матрицу перехода

от базиса к базису
\left[1,1,0,0,0\right] \left[1,1,1,1,1\right]
\left[1,0,1,0,0\right] \left[1,1,1,1,0\right]
\left[1,0,0,1,0\right] \left[1,1,1,0,0\right]
\left[1,0,0,0,1\right] \left[1,1,0,0,0\right]
\left[1,1,1,1,1\right] \left[1,0,0,0,0\right]

Решение. Можно попытаться найти элементы матрицы C_{} напрямую — устанавливая формулы связи между строками. В нашем конкретном примере это не очень трудно сделать — первый и четвертый столбцы матрицы C_{} вообще очевидны поскольку {\mathfrak X}_1 = X_5,\, {\mathfrak X}_4 = X_1. Но мы пойдем по формальному пути и воспользуемся определяющим матричным соотношением, которое мы получили при доказательстве предыдущей теоремы. Поставим координаты базисных векторов по столбцам соответствующих матриц:

\left[{\mathfrak X}_1|\dots|{\mathfrak X}_n\right]=\left[X_1|\dots|X_n\right]\cdot C \quad \Rightarrow
\Rightarrow \ C= \left[X_1|\dots|X_n\right]^{-1} \cdot \left[{\mathfrak X}_1|\dots|{\mathfrak X}_n\right] \ .

В нашем примере имеем:

C= \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right)^{-1} \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)=
=\frac{1}{3} \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 2 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) =
=\left( \begin{array}{rrrrr} 0 & 1/3 & 2/3 & 1 & 1/3 \\ 0 & 1/3 & 2/3 & 0 & 1/3 \\ 0 & 1/3 & -1/3 & 0 & 1/3 \\ 0 & -2/3 & -1/3 & 0 & 1/3 \\ 1 & 2/3 & 1/3 & 0 & -1/3 \end{array} \right) .

Т

Теорема. Координаты вектора в старом и новом базисах связаны посредством матрицы перехода C_{} соотношением

\left\{ \begin{array}{ccc} x_1&=&c_{11}{\mathfrak x}_1+c_{12}{\mathfrak x}_2+\dots+c_{1n}{\mathfrak x}_n, \\ x_2&=&c_{21}{\mathfrak x}_1+c_{22}{\mathfrak x}_2+\dots+c_{2n}{\mathfrak x}_n, \\ \dots& & \dots \\ x_n&=&c_{n1}{\mathfrak x}_1+c_{n2}{\mathfrak x}_2+\dots+c_{nn}{\mathfrak x}_n \end{array} \right. \quad \iff \quad \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) =C \left( \begin{array}{c} {\mathfrak x}_1 \\ {\mathfrak x}_2 \\ \vdots \\ {\mathfrak x}_n \end{array} \right) \ .

Доказательство.

\begin{array}{lll} X=x_1X_1+\dots+x_nX_n&=&{\mathfrak x}_1{\mathfrak X}_1+\dots+{\mathfrak x}_n{\mathfrak X}_n = \\ &=&{\mathfrak x}_1(c_{11}X_1+c_{21}X_2+\dots+c_{n1}X_n)+\\ &+&{\mathfrak x}_2(c_{12}X_1+c_{22}X_2+\dots+c_{n2}X_n)+\\ &+& \dots +\\ &+&{\mathfrak x}_n(c_{1n}X_1+c_{2n}X_2+\dots+c_{nn}X_n)=\\ =(c_{11}{\mathfrak x}_1+c_{12}{\mathfrak x}_2+\dots+c_{1n}{\mathfrak x}_n)X_1&+&\dots+ (c_{n1}{\mathfrak x}_1+c_{n2}{\mathfrak x}_2+\dots+c_{nn}{\mathfrak x}_n)X_n \end{array}

Поскольку при фиксированном базисе координаты вектора определяются однозначно (теорема 6 ЗДЕСЬ ), получаем равенства

\left\{ \begin{array}{ccc} x_1&=&c_{11}{\mathfrak x}_1+c_{12}{\mathfrak x}_2+\dots+c_{1n}{\mathfrak x}_n, \\ x_2&=&c_{21}{\mathfrak x}_1+c_{22}{\mathfrak x}_2+\dots+c_{2n}{\mathfrak x}_n, \\ \dots& & \dots \\ x_n&=&c_{n1}{\mathfrak x}_1+c_{n2}{\mathfrak x}_2+\dots+c_{nn}{\mathfrak x}_n \end{array} \right. \quad \iff \quad \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) =C \left( \begin{array}{c} {\mathfrak x}_1 \\ {\mathfrak x}_2 \\ \vdots \\ {\mathfrak x}_n \end{array} \right)

Практическое значение последнего результата невелико, т.к. нас интересуют именно новые координаты.

=>

Новые координаты выражаются через старые по формуле

\left( \begin{array}{c} {\mathfrak x}_1 \\ {\mathfrak x}_2 \\ \vdots \\ {\mathfrak x}_n \end{array} \right) =C^{-1} \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right),

при этом матрицу C^{-1} можно интерпретировать как матрицу перехода от нового базиса к старому.

?

Пусть в некотором «новейшем» базисе \{ {\mathcal X}_1,\dots,{\mathcal X}_n \} пространства \mathbb V_{} вектор X_{} имеет координаты (\varkappa_1,\dots,\varkappa_n). Как они связаны с координатами (x_{1},\dots,x_n) в старом базисе \{X_1,\dots,X_n\}, если известны матрица C_{} перехода от этого базиса к базису \{{\mathfrak X}_1,\dots,{\mathfrak X}_n \} и матрица D_{} перехода от базиса \{{\mathfrak X}_1,\dots,{\mathfrak X}_n \} к базису \{{\mathcal X}_1,\dots,{\mathcal X}_n \} ?

Евклидовы пространства

— как линейные пространства, в которых вводится понятие расстояния между векторами — рассматриваются ЗДЕСЬ.

Линейные отображения

пространств рассматриваются ЗДЕСЬ

Задачи

ЗДЕСЬ.

Источники

[1]. Лаврентьев М., Люстерник Л. Основы вариационного исчисления. Том 1. Часть I. М.-Л.ОНТИ. 1935, с. 22

[2]. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. М.1975

[3]. Шилов Г.Е. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства. М.Наука.1969

1) scalar — слово, придуманное английским математиком Уильямом Гамильтоном, производное от scale (англ.) — шкала; вследствие того, что этих чисел достаточно для построения шкалы какого-нибудь измерительного инструмента.
2) Растяжение понимается в обобщенном смысле: при |\alpha|<1 вектор \alpha X_1 сокращается по длине по сравнению с X_{1}.
3) veho (лат.) — тащить, влечь; термин придуман все тем же Гамильтоном.
4) Приходится заботиться о его включении специально, поскольку формально его степень не определяется; без его же включения не будет выполнена аксиома 3 .
5) dimensio (лат.) — обмер, измерение, протяжение; хлебная мера, солдатский паек.
6) Один из возможных.
7) Для математической строгости здесь требуется введение отдельного определения — аналога понятия конкатенации, но из соображений экономии лучше слегка ослабим однозначность терминологии.

2017/09/01 09:21 редактировал au