УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ


Т

Теорема. Если числа \{\lambda_1,\dots, \lambda_{2n} \} при \{ \mathfrak{Re} (\lambda_k)\}_{k=1}^{2n} \subset [0,2\pi[корни тригонометрического полинома

g_n(x) = a_0+\sum_{k=1}^n (a_k\cos k\,x + b_k\sin k\,x) \ ,

у которого старшие коэффициенты удовлетворяют условиям a_n+ \mathbf i b_n \ne 0, a_n- \mathbf i b_n \ne 0, то этот полином можно представить в виде

g_n(x) \equiv A \prod_{k=1}^{2n} \sin \frac{x-\lambda_k}{2} \ npu \ A=\pm 2^{2n-1}\sqrt{a_n^2+b_n^2} \ .

Т

Теорема. Имеет место тождество:

\sin \, nx \equiv 2^{n-1} \prod_{j=0}^{n-1} \sin\left(x-\frac{\pi j}{n} \right) \equiv 2^{n-1} \sin \, x \sin \left(x-\frac{\pi}{n}\right) \sin \left(x-\frac{2\pi}{n} \right)\times \dots \times \sin \left(x-\frac{(n-1)\pi}{n} \right) \ .

Доказательство. Функция \sin \, nx является тригонометрическим полиномом порядка n_{} и имеет корни

0, \frac{\pi}{n}, \frac{2\pi}{n},\dots, \frac{(n-1)\pi}{n}, \pi, \pi+ \frac{\pi}{n}, \pi+ 2\frac{\pi}{n},\dots, \pi+ \frac{(n-1)\pi}{n}

расположенные на интервале [0, 2\pi[. Следовательно, на основании предыдущей теоремы, она может быть представлена в виде произведения

\begin{matrix} \sin \, nx \equiv & 2^{2n-1}& \sin \,\frac{x}{2} \quad \sin \frac{x-\frac{\pi}{n}}{2} \times \dots \times \sin \frac{x-\frac{(n-1)\pi}{n}}{2} \times \\ &\times& \sin \left( \frac{x}{2}-\frac{\pi}{2} \right) \sin \left( \frac{x- \frac{\pi}{n}}{2} -\frac{\pi}{2} \right)\times \dots \times \sin \left(\frac{x- \frac{(n-1)\pi}{n}}{2} -\frac{\pi}{2} \right) \ . \end{matrix}

Объединяем стоящие друг под другом синусы:

\sin \,\frac{x}{2} \sin \left( \frac{x}{2}-\frac{\pi}{2} \right) = - \sin \,\frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}=-\frac{1}{2} \sin x \ ;
\sin \frac{x-\frac{\pi}{n}}{2} \sin \left( \frac{x- \frac{\pi}{n}}{2} -\frac{\pi}{2} \right)= -\frac{1}{2} \sin \left(x-\frac{\pi}{n} \right), \dots ,

и получаем требуемый результат.


2011/03/13 22:13 редактировал au