УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ


Задача. Доказать, что функция

\begin{matrix} g_n(x)&=&y_1\frac{\displaystyle \sin\frac{x-x_2}{2}\times\dots \times\sin \frac{x-x_{2n+1}}{2}}{\displaystyle \sin \frac{x_1-x_2}{2}\times \dots \times \sin \frac{x_1-x_{2n+1}}{2}} + \\ &+&y_2\frac{\displaystyle \sin\frac{x-x_1}{2}\sin\frac{x-x_3}{2}\times \dots \times \sin\frac{x-x_{2n+1}}{2}}{\displaystyle \sin\frac{x_2-x_1}{2}\sin\frac{x_2-x_3}{2}\times \dots \times \sin\frac{x_2-x_{2n+1}}{2}} + \\ & + & \dots + \\ &+& y_{2n+1}\frac{\displaystyle \sin \frac{x-x_1}{2} \times \dots \times \sin \frac{x-x_{2n}}{2}}{ \displaystyle \sin \frac{x_{2n+1}-x_1}{2} \times \dots \times \sin \frac{x_{2n+1}-x_{2n}}{2}} \end{matrix}

является тригонометрическим полиномом, т.е. допускает представление вида

a_0 + \sum_{k=1}^n (a_k \cos \, kx + b_k \sin \, kx) \ .

Доказательство проводится посредством предварительного преобразования каждого слагаемого g_n(x) в выражение вида

A_0+ \sum_{k=1}^n A_k \cos \, (kx + \beta_k)

при величинах A_0,\{A_k,\beta_k\}_{k=1}^n не зависящих от x_{}.

Т

Теорема. Имеет место формула приведения для произведения синусов

\prod_{k=1}^{2n} \sin \frac{x-x_k}{2} =
=\frac{1}{2^{2n-1}}\bigg[ \frac{1}{2} \sum_{j_1,j_2,\dots,j_n=1}^{2n} \cos \frac{1}{2}(x_{j_1}+x_{j_2}+\dots +x_{j_n}-x_{j_{n+1}}-\dots-x_{j_{2n}})+
+\sum_{\ell=1}^n(-1)^{\ell} \sum_{j_1,j_2,\dots,j_{n-\ell}=1}^{2n} \cos \frac{1}{2} (2\ell x + x_{j_1}+x_{j_2}+\dots +x_{j_{n-\ell}}-x_{j_{n-\ell+1}}-\dots-x_{j_{2n}}) \bigg] \ ;

здесь сумма \displaystyle \sum_{j_1,j_2,\dots,j_{n-\ell}=1}^{2n} берется по всем сочетаниям из 2\,n_{} чисел 1,2,\dots,2n по n-\ell из этих чисел, а числа j_{n-\ell+1},\dots, j_{2n} берутся из разности множеств

\{1,2,\dots,2n\} \setminus \{j_1,j_2,\dots,j_{n-\ell}\} \ .

П

Пример.

\sin \frac{x-x_1}{2} \sin \frac{x-x_2}{2} \equiv \frac{1}{2} \cos \frac{x_2-x_1}{2} - \frac{1}{2} \cos \left(x-\frac{x_1+x_2}{2}\right) ;
\sin \frac{x-x_1}{2} \sin \frac{x-x_2}{2} \sin \frac{x-x_3}{2} \sin \frac{x-x_4}{2} \equiv
\equiv \frac{1}{8} \bigg[ \cos \frac{x_1+x_2-x_3-x_4}{2}+\cos \frac{x_1+x_3-x_2-x_4}{2}+\cos\frac{x_1+x_4-x_2-x_3}{2}-
- \cos \left( x+\frac{x_1-x_2-x_3-x_4}{2}\right)-\cos \left( x+\frac{x_2-x_1-x_3-x_4}{2}\right)-\cos \left( x+\frac{x_3-x_1-x_2-x_4}{2}\right)-\cos \left( x+\frac{x_4-x_1-x_2-x_3}{2}\right)+
+\cos \left( 2\,x-\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{2} \right)\bigg] \ .

Источник

Турецкий А.Х. Теория интерполирования в задачах. Минск. Вышэйшая школа. 1968.

2011/03/13 22:19 редактировал au