или интерполирование — приближенное или точное нахождение какой-либо величины по известным отдельным значениям этой же величины, или других величин, с ней связанных.

Различают интерполяцию и экстраполяцию: образно говоря, интерполяция занимается восстановлением неизвестной функции в промежутках между точками, где известны ее значения (например, при известных значениях и требуется оценить ), в то время как экстраполяция предполагает, что мы пытаемся «растянуть» множество задания функции (например, при известных и оцениваем или ).

Пример. Вставить пропущенные буквы: ИНТ...РПО...ЯЦИЯ ; ...КСТРАПОЛЯЦ... .

Происхождение слова «интерполяция» ☞ ЗДЕСЬ.

Задача. Построить полином , принимающий значения согласно следующей таблице:

Здесь числа — рациональные (т.е. из ), вещественные (из ) или комплексные (из ); числа называются узлами интерполяции. Для однообразия любое из упомянутых множеств будем обозначать через .

Геометрическая интерпретация для случая : построить алгебраическую кривую , проходящую через заданные точки плоскости .

Теорема. При различных существует единственный полином степени такой, что .

Доказательство. Коэффициенты полинома можно определить из системы уравнений

которая имеет единственное решение поскольку определитель системы (см. определитель Вандермонда, формулы Крамера) отличен от нуля. ♦

Все множество интерполяционных полиномов, принимающих значения по таблице, можно представить в виде

где – полином из предыдущей теоремы, а – произвольный полином.

Придумать упрощение схемы вычисления интерполяционного полинома для таблицы с набором узлов симметричным относительно :

Решение ☞ ЗДЕСЬ

Пусть имеется интерполяционная таблица

построенная для полинома степени . Какое отношение имеет интерполяционный полином, построенный по этой таблице, к полиному ?

Ниже рассматривается задача интерполяции в других постановках: когда неизвестная функция приближается комбинацией тригонометрических функций или экспонент. Когда потребуется различать эти задачи, буду называть задачу настоящего пункта задачей алгебраической или степенной интерполяции; но в нескольких ближайших пунктах не добавляю лишних слов.

Уравнение для определения интерполяционного полинома можно записать в детерминантной форме:

Представив последний столбец в виде суммы, получим отсюда:

Теперь разложим определитель из числителя по последнему столбцу и вспомним выражение определителя Вандермонда. Обозначим

Тогда интерполяционный полином в форме Лагранжа записывается в виде:

Образно говоря, каждое слагаемое в форме Лагранжа «отвечает» исключительно только за свой узел интерполяции (т.е. обеспечивает в нем нужное значение полинома) — и при этом «не портит» остальные узлы (обращается в них в нуль).

Пример. Построить интерполяционный полином по таблице

и с его помощью интерполировать значение неизвестной функции при .

Решение. Имеем: , и полином в форме Лагранжа:

Подставляем сюда :

Ответ. .

Доказать, что .

Теорема. Пусть числа все различны. Для полинома справедливы следующие равенства Эйлера–Лагранжа :

Теорема. Обозначим

Имеют место равенства, связывающие коэффициенты интерполяционного полинома с величинами и :

Формулы позволяют рекурсивно, начиная со старшего, вычислить коэффициенты интерполяционного полинома по величинам и .

Пример. Найти корни интерполяционного полинома, заданного таблицей

Решение. Здесь ,

Формулы:

Уравнение легко решается подстановкой .

Ответ. .

Основной недостаток построения интерполяционного полинома по методу (в форме) Лагранжа заключается в том, что при добавлении в таблицу нового узла (новых результатов измерений), в формуле приходится пересчитывать все слагаемые. От этого недостатка свободен метод Ньютона, в котором добавление нового узла ведет к добавлению лишь одного слагаемого к построенному ранее полиному.

Для пояснения идеи вновь обратимся к случаю и в качестве стартового представления интерполяционного полинома воспользуемся его детерминантной формой

Преобразуем определитель, стоящий в числителе; с этой целью вычтем из третьего столбца второй, домноженный на , а потом из второго столбца — первый, домноженный на , получим

Далее, вычтем из второго столбца первый, домноженный на :

Теперь вычтем первую строчку из второй и третьей:

и вынесем множители из строк:

Из третьей строчки вычтем вторую:

и снова вынесем множитель:

В результате интерполяционный полином получается в виде определителя, имеющего структуру

а в случае произвольного :

который напоминает характеристический полином матрицы Фробениуса. Раскладывая его рекурсивно по строкам (см. ☞ вычисление определителя по методу рекуррентных соотношений ) , получаем для интерполяционный полином в форме

а в случае произвольного — в форме

которая и называется формой Ньютона.

Коэффициенты в этой форме определяются с помощью интерполяционной таблицы:

Получаем последовательно:

Схему вычисления коэффициентов можно оформить в виде таблицы, если ввести следующее обозначение. Выражение

называется разделенной разностью первого порядка. Выражение

называется разделенной разностью порядка .

Теорема. Интерполяционный полином в форме Ньютона записывается в виде:

Поясним схему вычисления разделенных разностей для случая . В первых двух столбцах стоят данные интерполяционной таблицы (со вставленными пустыми строками между соседними):

Для вычисления третьего столбца мы вычитаем соседние значения и делим на соответствующую разность :

и ставим получившиеся числа между соответствующими значениями . Четвертый столбец заполняется аналогично: вычитаются соседние числа третьего столбца и делятся на разность крайних задействованных значений :

И так далее. После получения треугольной таблицы выбираются числа из верхней стороны треугольника: именно они и являются искомыми коэффициентами интерполяционного полинома в форме Ньютона.

Пример. Построить интерполяционный полином по таблице

Решение.

Ответ.

Вычисления особенно упрощаются в случае равноотстоящих узлов интерполяции. Если

то

где

и означает биномиальный коэффициент.

Предельным переходом при из этой формулы может быть получена формула Тейлора.

---

Возвращаясь к соображениям, высказанным в начале пункта: можно ли считать, что метод Ньютона всегда выгоднее метода Лагранжа? — Ответ оказался положительным в случае увеличения количества узлов интерполяции при сохранении интерполяционных значений в изначальной таблице:

Но вот в случае перехода

т.е. в случае изменения хотя бы одного значения в исходной таблице1) метод Ньютона теряет свое преимущество — приходится пересчитывать всю схему; в то время как в форме Лагранжа достаточно поменять значения числовых сомножителей полиномов .

В одном из предшествующих пунктов решалcя следующий

Пример. Найти корни интерполяционного полинома, заданного таблицей

Способ решения этой задачи предлагался стандартный: сначала строился интерполяционный полином , потом искались его корни. Можно, однако, попробовать идти следующим обходным путем. Именно, исходя из заданной таблицы попытаться восстановить обратную функцию для неизвестной, т.е. функцию такую, что или же, эквивалентно, . Разумеется, точно эту функцию — для полинома — построить крайне сложно2), но ведь и сам интерполяционный полином является лишь некоторым приближением реальности! Имеет смысл решить поставленную задачу непосредственным использованием результатов таблицы, которая задает соответствие для некоторых пар значений; это соответствие можно использовать не только в направлении , но и в направлении , т.е. строить интерполяционный полином для как функции от (фактически, «перевернуть» интерполяционную таблицу).

Для рассматриваемого примера форма Лагранжа дает представление полинома в виде:

Чтобы найти какому значению соответствует значение мы просто подставляем это последнее в формулу и получаем

Сравнивая этот ответ с полученным ВЫШЕ, мы видим некоторое соответствие с корнем . ♦

Понятно, что исключительным случаем для обратной интерполяции будет случай «коллизии»3): двум разным узлам интерполяции соответствует одно и то же значение .

Ряд проведенных числовых экспериментов показал, что бывают очень сильные расхождения в результатах «прямого» и обратного интерполирования — например, при сравнении корней со значением . Кажется, что результаты более адекватны реальности если величины аргументов и значений интерполируемой функции не слишком различаются по величине (хотя это еще надо проверять)…

Задача. Построить полином , имеющий заданные значения своих производных в узлах интерполяции:

В случае вещественной интерполяционной таблицы ( ), задаче можно дать следующую геометрическую интерпретацию: требуется провести кривую через заданные точки так, чтобы в каждой точке обеспечить заданные наклоны касательных (кривизны и т.п.).

Интерполяционная таблица дает условий на коэффициенты неизвестного полинома. По аналогии со стандартной задачей интерполяции, можно ожидать, что искомый полином будет существовать среди полиномов степени . Будем искать этот полином методом неопределенных коэффициентов. Обозначим

Пусть — произвольный полином степени . Разложим дробь на сумму простейших над множеством :

Определим числители дробей с помощью интерполяционных данных. Домножим обе части тождества на , получим:

здесь через обозначена целая рациональная функция по , которая не имеет особенностей в точке . Подставим в обе части это значение :

Продифференцируем последнее тождество по и подставим снова :

Снова продифференцируем по и т.д. В результате получаем:

Аналогично поступаем и с другими узлами интерполяции. В результате, получаем решение задачи в виде интерполяционного полинома Лагранжа-Сильвестра:

Пример. Построить интерполяционный полином по таблице

Решение. Здесь

Для имеем и в формуле Лагранжа-Сильвестра этому узлу соответствует одно слагаемое:

Для имеем и этому узлу соответствует полином

значения которого — вместе с первой и второй производной — в точке должны совпадать с табличными:

Для имеем :

и для определения четырех коэффициентов этого полинома мы имеем четыре условия из таблицы:

Наконец, для имеем :

Ответ. .

Интерполяционный полином Лагранжа-Сильвестра является обобщением обычного интерполяционого полинома в форме Лагранжа ( ) и формулы Тейлора ( ).

Построить уравнение «горки»: найти полином из условий .

Следующий результат не очень связан с содержанием настоящего пункта, но надо было куда-то поместить.

Теорема [1]. При заданных существуют а) полином

(т.е. ) и б) числа такие, что

Зачем этот результат (формулировка — J.W.Andrushkiw, доказательство — R.Thom) нужен — не разобрался.

Потребность в подобной интерполяции возникает в случае, когда приближаемая функция по своей природе предполагается периодической с известным периодом, например .

Задача. Построить периодическую функцию периода , принимающую значения согласно следующей таблице:

Здесь узлы интерполяции предполагаются различными вещественными (хотя все приведенные в этом пункте результаты будут справедливы и для комплексных узлов при различных ).

Теорема [Эрмит ?]. Функция

решает поставленную задачу.

Доказательство тривиально, если обратить внимание на аналогию с интерполяционным полиномом в форме Лагранжа. ♦

Проанализируем полученный ответ, сначала преобразовав его. Каждое произведение в числителе можно представить в виде комбинации синусов и косинусов от аргументов кратных . Так, например,

и т.д. Таким образом, функцию можно представить в виде линейной комбинации тригонометрических функций , .

Функция от вида

при постоянных называется тригонометрическим полиномом по переменной . Если хотя бы одно из чисел или отлично от нуля, то говорят, что тригонометрический полином имеет порядок .

Тригонометрический полином порядка определяется заданием -го своего коэффициента . Возникает гипотеза, что, по аналогии со случаем классической степенной полиномиальной интерполяции, задание -го значения интерполяционной таблицы определит такой полином однозначно. Полином, построенный по теореме Эрмита, не удовлетворяет этому условию: указанные выше преобразования, проведенные для случая -го узла интерполяции приведут к тригонометрическому полиному порядка . Тем не менее, идея, лежащая в основе той теоремы, допускает естественное обобщение.

Теорема. Функция

удовлетворяет условиям . Эта функция является тригонометрическим полиномом порядка не выше . При таком ограничении на порядок полином, удовлетворяющий заданным интерполяционным условиям, определяется единственным образом.

Задача. Найти явные выражения для коэффициентов тригонометрического полинома из последней теоремы.

«Лобовое» решение аналогично решению задачи степенной интерполяции — сведением ее к подходящей системе линейных уравнений.

Пример. Построить интерполяционный полином второго порядка по следующей таблице

Решение. Будем искать коэффициенты полинома традиционным методом неопределенных коэффициентов: полином

должен удовлетворять таблице. Получаем систему линейных уравнений, которую перепишем в матричном виде:

Согласно теореме эта система должна иметь решение относительно , причем единственное. Так оно и оказывается: на акцентируя внимания на методе решения этой системы (см. ☞ ЗДЕСЬ ) , а также на том, как можно выразить в виде квадратичных иррациональностей косинусы и синусы углов кратных (см. ☞ ЗДЕСЬ ), приведу лишь конечный результат —

♦

По таблице

построить степенной полином -й степени и тригонометрический полином -го порядка и сравнить их значения при и .

Решение ☞ ЗДЕСЬ.

Для случая системы равноотстоящих узлов решение задачи значительно упрощается.

Задача. Построить полином такой, что

Теорема. Коэффициенты полинома определяются формулами

При бесконечном увеличении числа узлов интерполяции в пределе получаем коэффициенты ряда Фурье для функции :

Подробное изложение теории тригонометрической интерполяции (и дискретного преобразования Фурье) ☞ ЗДЕСЬ

Материал настоящего пункта — сильная «выжимка» из [2]. Пример — мой.

Если Вы решили упражнение из предыдущего пункта, то могли обнаружить что интерполяционный алгебраический полином не всегда является подходящим средством приближения неизвестной функции, особенно если та, по своей «скрытой природе», принципиально неполиномиальна. В последней фразе слово «приближение» пока не формализовано — оно связано с понятием аппроксимации, которое дается НИЖЕ. Забегая вперед, заметим, что алгебраический полином, построенный в задаче интерполяции, подходит не для всех задач,связанных с приближением неизвестной функции. Так, интуитивно понятно, почему для приближения периодической функции в предыдущем пункте использовались периодические функции с соизмеримыми периодами.

Другой класс таких «специфических» функций составляют функции, имеющие определенную асимптотику при неограниченном возрастании их аргументов (по абсолютной величине или в определенном направлении). В этом случае ставят задачу приближения функции суммой экспонент:

как видим, эта функция задается параметрами — коэффициентами и показателями .

Задача. Построить функцию , удовлетворяющую условиям интерполяции:

узлы интерполяции предполагаются различными.

В отличие от рассмотренных выше задач алгебраической или тригонометрической интерполяции, поставленная задача является, во-первых, принципиально нелинейной относительно параметров, и, во-вторых, не всегда разрешимой.

Пример. . ♦

Ограничимся случаем вещественных равноотстоящих узлов:

Обозначим

в этих обозначениях условия интерполяции можно переписать в виде:

Получилась система из уравнений относительно неопределенных величин и . Вхождение первых — хорошее, поскольку линейное. Со вторыми приходится обращаться с помощью «обходного манёвра», который я пока изложу в виде формального алгоритма4).

1. Составляется система линейных уравнений, ее матричный вид:

здесь неизвестными являются5) . На числа накладываются два ограничения:

эти два определителя относятся к типу ганкелевых6).

2. При выполнении этих ограничений система линейных уравнений имеет единственное решение

у которого (см. ☞ Формулы Крамера ). Находим это решение.

3. Составляем алгебраическое уравнение относительно новой переменной :

коэффициенты которого найдены в предыдущем пункте. Проверяем это уравнение на отсутствие кратных корней (см. методы ☞ ЗДЕСЬ или ☞ ЗДЕСЬ ). Находим все корни (в общем случае, они — комплексные и, как правило, могут быть найдены разве лишь приближенно). Эти корни и будут искомыми числами .

4. Оставшиеся параметры определяем из системы линейных уравнений

в которую подставлены величины , найденные в предыдущем пункте. Ее определитель — определитель Вандермонда, который, по предположению предыдущего пункта, отличен от нуля. Следовательно система имеет единственное решение.

Пример. Построить экспоненциальную функцию вида

принимающую значения согласно следующей таблице:

Решение. Для данного примера . Система из пункта 1 приведенного алгоритма имеет решение

Полином

из пункта 3 алгоритма имеет корни

Составляем на основании этих значений систему линейных уравнений из пункта 4 алгоритма и решаем ее:

Теперь осталось только перевести найденные величины в искомые показатели по формулам :

Я не объясняю как вычисляется натуральный логарифм мнимого числа, но вот правило вычисления можно обнаружить ☞ ЗДЕСЬ. Окончательно:

при истинном ответе:

♦

Последний пример дает интересный «поворот мысли». Представленный алгоритм отработал правильно и обнаружил периодическую функцию, наличие которой в гипотезе постановки задачи изначально не предполагалось! Алгоритм оказался «умнее» постановщика задачи… Этот эффект является проявлением замечательного свойства функций комплексного аргумента: в терминах комплексных чисел свойства функций практически совпадают со свойствами и , поскольку две последние линейно выражаются через первую:

Возникает ужасное подозрение, что весь материал пункта о тригонометрической интерполяции может быть получен средствами настоящего пункта . — Так оно и есть. Однако универсальный подход оказывается более громоздким, и в частном случае когда приближаемая функция предполагается периодической он менее эффективен, чем частный алгоритм построения тригонометрического полинома. Другое дело, если интерполируемая функция имеет вид:

— т.е. представляет комбинацию двух периодических функции, но с несоизмеримыми периодами! В этом случае для ее идентификации придется применять «тяжелую артиллерию» в виде комбинации экспонент…

Задача интерполяции является частным случаем более общей задачи аппроксимации функций, т.е. замены одной неизвестной или сложной для вычисления функции другой, более простой. Здесь существенно понятие «близости» функций, которое может быть различным в конкретных задачах.

Можно определить «расстояние» между функциями и , заданными на отрезке , как

т.е. как величину максимального «разноса» ординат графиков этих функций. С точки зрения этого определения, интерполяционный полином не всегда дает подходящий способ аппроксимации. Это показывает и упражненение из пункта о тригонометрической интерполяции и следующий пример.

Пример [Рунге]. Пусть на интервале задана функция

Построим для нее интерполяционный полином степени по равноотстоящим узлам

и будем оценивать

Имеем

Вывод: точность приближения функции полиномом падает с увеличением его степени хотя — во все более частых узлах интерполяции — значения этих функций совпадают! ♦

Почему это происходит? Вопрос оказывается связанным со сходимостью ряда. Интерполяционный ряд

будет сходиться в некоторой окрестности нуля и расходиться при значениях близких к краю рассмотренного интервала. Для приведенного примера я, правда, оценок не нашел, но вот для другого примера Рунге

в [3] указывается7), что интерполяционный ряд построенный для равноотстоящих на интервале узлов сходится при и расходится вне этого интервала. ♦

Можно определить «расстояние» между функциями и , непрерывными на отрезке , как

или же

Для выяснения геометрического смысла этих определений, вспомним, что геометрический смысл интеграла от неотрицательной на функции — площадь криволинейной трапеции на плоскости , ограниченной прямыми и графиком . Следовательно, интеграл

определяет площадь фигуры, ограниченной прямыми и графиками (закрашена голубым на рисунке). Чем меньше эта площадь, тем «теснее» друг к другу расположены графики и на отрезке . Величина

вообще говоря, не совпадает с предыдущей, но смысл ее тот же: она позволяет оценивать близость графиков на всем отрезке . С вычислительной точки зрения, проще вычислять интеграл от квадрата функции, чем от ее модуля.

Задача. Для функции , непрерывной на , построить полином такой, чтобы величина

была наименьшей.

Теорема. Коэффициенты полинома находятся из системы уравнений

Здесь

Матрица системы называется матрицей Гильберта. Ее определитель равен

т.е. отличен от нуля, и, следовательно, система имеет единственное решение.

Хотя определитель Гильберта и отличен от нуля, но очень близок к нему:

поэтому при решении линейной системы надо внимательно следить за ошибками округлений [4],[5].

Задача. Для функции , непрерывной на , построить тригонометрический полином

такой, чтобы величина

была наименьшей.

Теорема. Коэффициенты тригонометрического полинома являются коэффициентами Фурье функции :

Предположим теперь, что данные исходной таблицы не являются достоверными: значения обеих переменных подвержены воздействию случайных погрешностей одинакового порядка. Как воспользоваться этими данными для задачи аппроксимации? Мы рассмотрим здесь только две подобные задачи.

Все числа в настоящем и следующем пунктах предполагаются вещественными.

Задача. Найти координаты точки , сумма квадратов расстояний до которой от точек будет минимальной.

Можно дать этой задаче следующее наглядное толкование: предположим, что на лист бумаги прикрепляется точечная мишень, в которую стрелок стреляет из пистолета. После стрельбы лист бумаги с пулевыми отверстиями, но со снятой мишенью, передается эксперту с требованием установить вероятное положение мишени. Предположения, в которых эта задача решается, стандартные: пистолет пристрелян и не дает сносов, а сам стрелок не страдает косоглазием.

Теорема 1. Координаты искомой точки:

т.е. совпадают с центром тяжести системы материальных точек одинаковой массы, расположенных в точках .

Можно обобщить результат для случая когда массы материальных точек предполагаются разными:

Координаты точки, для которой величина

( — положительные константы) будет минимальной:

Задача. Найти уравнение прямой в виде

сумма квадратов расстояний до которой от точек будет минимальной.

Теорема 2 [3],[4]. Обозначим

а и — те же, что и в теореме 1. Тогда коэффициенты и искомой прямой, как правило, определяются из системы уравнений

здесь

В исключительном случае возможно решение

Геометрическая интерпретация. Линейное уравнение из теоремы означает, что искомая прямая обязательно проходит через центр тяжести системы точек. Уравнение для определение тангенса угла наклона этой прямой к оси — квадратное, оно имеет два корня , т.е. имеется два кандидата на решение задачи. По формулам Виета , что означает: две прямые взаимно перпендикулярны. На рисунке эти прямые показаны для случая

Их уравнения:

они пересекаются в центре тяжести системы точек

Сумма квадратов расстояний от данных точек до этих прямых:

соответственно. Следовательно, решением задачи является первая прямая (зеленая).

Предположим снова, что данные исходной таблицы не являются достоверными: значения обеих переменных подвержены воздействию случайных погрешностей, но — в отличие от предыдущего пункта — эти погрешности имеют разные порядки. Например, будем считать, что в заданной таблице значений

величины нам известны практически без искажений (т.е. на входе процесса мы имеем абсолютно достоверные данные), а вот измерения величины подвержены случайным погрешностям.

Задача. Построить полином такой, чтобы величина

стала минимальной.

В случае мы возвращаемся к задаче интерполяции в ее классической постановке. Практический интерес, однако, представляет случай : экспериментальных данных больше (обычно — много больше) чем значений параметров (коэффициентов полинома ), которые требуется определить.

Теорема. Если и все различны, то существует единственный набор коэффициентов , обеспечивающий минимальное значение для

Этот набор определяется как решение системы нормальных уравнений

при .

Если одно из значений равно 0 , то полагаем , так что при любых .

Для доказательства теоремы, обратим внимание, что ганкелева матрица системы нормальных уравнений может быть представлена в виде произведения при матрице

похожей8) на матрицу Вандермонда. Для вычисления определителя применяем теорему Бине-Коши (см. решение упражнения после той теоремы). ♦

Показать, что линейный полином , построенный по методу наименьших квадратов, определяет на плоскости прямую, проходящую через центр тяжести системы точек .

Пример. По методу наименьших квадратов построить уравнение прямой, аппроксимирующей множество точек плоскости, заданных координатами из таблицы

Решение. Имеем

Решаем систему нормальных уравнений

получаем уравнение прямой в виде

На рисунке она изображена в цвете охры (для сравнения оставлена также зеленая прямая, полученная по методу предыдущего пункта). ♦

По аналогии с одномерным случаем можно поставить задачу интерполяции в многомерном пространстве. Пусть заданы точки (узлы интерполяции)

и заданы значения функции в этих точках. Требуется построить полином от переменных, принимающий заданные значения в узлах интерполяции.

Задача. Построить полином с комплексными коэффициентами по его значениям на конечном наборе точек:

Задача аналогична одномерной, однако ее решение в двумерном случае имеет одну особенность. Коэффициенты полинома степени не выше, чем , однозначно восстанавливаются по значениям этого полинома в произвольном наборе из точек . Полином третьей степени определяется своими 10-ю коэффициентами:

По аналогии с одномерным случаем, можно было бы ожидать, что задание этого полинома его значениями в 9-ти произвольных узлах всегда позволит установить его коэффициенты, причем бесконечным числом способов. Эти ожидания, однако, опровергаются примером.

Пример [7]. Построить полином третьей степени такой, что

Решение. В каноническом представлении полинома имеется 10 коэффициентов, которые мы считаем неопределенными и ищем из заданных условий. Разрешая получающуюся систему из 9-ти линейных уравнений относительно этих коэффициентов, мы приходим к ответу: матрица системы имеет ранг 7, т.е., согласно теореме Кронекера-Капелли, сама система будет совместной только при дополнительном условии «связи» величин . Именно, последние должны удовлетворять определенному линейному соотношению

при целых (мы не указываем эти числа ввиду их громоздкости). Таким образом, в общем случае поставленная задача неразрешима (например, она не имеет решения при ).

При , удовлетворяющих упомянутому уравнению «связи», поставленная задача имеет решение. Однако, оно неединственно в силу все той же теоремы Кронекера-Капелли, поскольку число совместных линейных уравнений меньше числа определяемых ими коэффициентов.

Как удалось подобрать узлы настолько «неудачные» для задачи интерполяции? Крамер предложил выбирать узлы как точки пересечения двух кривых третьего порядка (кубик). Согласно теореме Безу, две такие кривые пересекаются как раз в 9 точках. Например, если взять

и

то все точки пересечения этих кривых будут иметь рациональные координаты — как раз те, что приведены выше. Система из 9-ти линейных уравнений для определения 10-ти коэффициентов интерполяционного полинома при становится однородной. Поскольку она имеет 2 линейно независимых набора решений (соответствующие коэффициентам двух рассмотренных кубик), то ранг ее матрицы должен быть не выше 8. Если мы «сдвинем» хоть одно из значений из нуля, то почти наверняка соответствующая неоднородная система станет несовместной, а задача интерполяции — неразрешимой. ♦

В достаточно важном — с практической точки зрения — частном случае задачу интерполяции можно решить. Пусть узлы интерполяции расположены в точках

и в них известны значения функции . Требуется построить полином по этим значениям. Такая задача возникает, например, при восстановлении рельефа морского дна с помощью промеров глубин эхолотом.

Теорема. Если все числа различны и все числа различны, то существует единственный полином , степень которого по переменной не превосходит , а по переменной — не превосходит , принимающий значения по заданной таблице.

Доказательство. Построить выражение для полинома можно обобщением формы Лагранжа. Обозначим:

и

Тогда

Легко проверить, что этот полином удовлетворяет условию теоремы:

Осталось показать его единственность при этих условиях. Распишем этот полином по степеням и :

(лексикографическое упорядочение с возрастанием полной степени: см. ☞ ЗДЕСЬ ). Представим его в матричном виде, используя операцию умножения матриц:

Условия

можно также объединить в матричном представлении:

Матричное равенство имеет вид

Здесь матрицы и — матрицы Вандермонда. Их определители отличны от нуля, поскольку все различны и все различны. Следовательно, существуют обратные к этим матрицам и для матрицы коэффициентов полинома мы получаем однозначное представление:

♦

[1]. Mycielski J. Polynomials with Preassigned Values at their Branching Points. The American Mathematical Monthly, 77 (8).1970, pp. 853-855

[2]. Henrici P. Applied and Computational Complex Analysis. V. 1. 1974. NY. Wiley

[3]. Скарборо Дж. Численные методы математического анализа. М.-Л.ГТТИ. 1934, с.93

[4]. Hilbert D. Ein Beitrag zur Theorie des Legendreschen Polynoms. Acta Math. Bd.18, 1894, S.155-160

[5]. Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. М. Мир. 1969

[6]. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений. М.ГИФМЛ. 1958

[7]. Калинина Е.А., Утешев А.Ю. Теория исключения. Учеб. пособие. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2002. 72 с.