УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу ПОЛЯ ГАЛУА.


Т

Теорема 1. Если x^{p^n} - x \equiv 0 \quad (\operatorname{modd} \ p,f(x)), где f_{}(x)произвольный неприводимый по простому модулю p_{} полином степени n_{}, то \left[F(x)\right]^{p^n} - F(x) \equiv 0 \quad (\operatorname{modd} \ p,f(x)) при любом полиноме F_{}(x) степени <n.

Доказательство теоремы основано на следующем результате.

Т

Теорема [Шёнеманн]. Для произвольного полинома F(x)\in \mathbb Z[x] и простого числа p_{} выполняется

\left[F(x)\right]^p \equiv F(x^p) \pmod{p} \ .

Доказательство. Пусть F(x)=A_0+A_1x+\dots+A_kx^k, воспользуемся формулой бинома Ньютона для вычисления \left[F(x)\right]^p:

\left[ A_0+A_1x+\dots+A_kx^k \right]^p \equiv
\equiv A_0^p+ C_p^1 (A_1x+\dots+A_kx^k)A_0^{p-1}+\dots+ C_p^j (A_1x+\dots+A_kx^k)^jA_0^{p-j}+\dots+ (A_1x+\dots+A_kx^k)^{p} \ .

При p_{} простом, все биномиальные коэффициенты C_p^1,C_p^2,\dots,C_p^{p-1} делятся на p_{} (доказательство ☞ ЗДЕСЬ ). Получаем

\left[ A_0+A_1x+\dots+A_kx^k \right]^p \equiv A_0^p+(A_1x+\dots+A_kx^k)^{p} \pmod{p} \ .

Со вторым слагаемым из правой части сравнения поступаем аналогично. Индукция по степени полинома приведет к

\left[ A_0+A_1x+\dots+A_kx^k \right]^p \equiv A_0^p+A_1^px^p+\dots+A_k^p(x^p)^k \pmod{p} \ .

По теореме Ферма:

A_j^p \equiv A_j \quad npu \quad j\in\{0,1,\dots,k\} \ ,

что и завершает доказательство теоремы.

Доказательство теоремы 1. Из теоремы Шёнеманна следует цепочка:

\left[F(x)\right]^{p^2} \equiv F(x^{p^2}) \pmod{p},\dots, \left[F(x)\right]^{p^n} \equiv F(x^{p^n}) \pmod{p} \ .

Кроме того, следствием предположения теоремы является цепочка:

\left(x^{p^n}\right)^2 \equiv x^2 \quad (\operatorname{modd} \ p,f(x)),\dots, \left(x^{p^n}\right)^{n-1} \equiv x^{n-1} \quad (\operatorname{modd} \ p,f(x)) \ .

Из этих двух цепочек утверждение теоремы очевидно.

Источник

Чеботарев Н. Основы теории Галуа. Часть I. М.-Л.ОНТИ.1934


2019/09/11 23:46 редактировал au