УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


Вспомогательная страница к разделу ☞ ПОЛЯ ГАЛУА.


Т

Теорема. Если элемент \mathfrak a \in \mathbf{GF} (p^m) удовлетворяет неприводимому уравнению степени n_{}, то равенство \mathfrak a^{p^m} - \mathfrak a = \mathfrak o возможно тогда и только тогда, когда m_{} делится на n_{}.

Доказательство проведем для полей Галуа \mathbf{GF}(p^m), рассмотренных в ☞ ПУНКТЕ, т.е. для множества полиномов

\mathbb P_{p,f} = \{ F (x)=A_0+A_1x+\dots+A_{m-1}x^{m-1} \ \mid \ \{A_0,A_1,\dots,A_{m-1}\} \subset \{0,1,\dots,p-1 \} \} \ ,

рассматриваемого относительно операции сложения по модулю p_{}:

F_1(x)+F_2(x) \pmod{p}

и операции умножения по двойному модулю p, f(x):

F_1(x) F_2(x) \quad (\operatorname{modd} \ p,f(x))

при некотором нормализованный неприводимый по модулю p_{} полиноме f_{}(x) степени m\ge 1.

Пусть некоторый полином F_{}(x) из указанного множества удовлетворяет указанному в формулировке теоремы сравнению

g(F(x)) \equiv 0 \quad (\operatorname{modd} \ p,f(x))

при g_{}(x) — неприводимом полиноме степени n_{}.

Если g_{}(x) — неприводимый полином степени n_{}, то на его основе можно построить новое поле Галуа \mathbf{GF}(p^n) — с операцией умножения по двойному модулю p, g(x). На основании обобщенной теореме Ферма:

x^{p^n} -x \equiv 0 \quad (\operatorname{modd} \ p,g(x)) \ .

Перепишем это сравнение в форме тождества для полиномов с целочисленными коэффициентами:

x^{p^n} -x \equiv Q(x)g(x)+pL(x) \quad npu \quad \{Q(x),L(x)\} \subset \mathbb Z(x) \ .

Тождество должно сохраниться и при замене x \to F(x):

[F(x)]^{p^n} -F(x) \equiv Q(F(x))g(F(x))+pL(F(x)) \ .

Перейдем в этом тождестве к двойному модулю p,f(x), получим, на основании предположения:

[F(x)]^{p^n} -F(x) \equiv 0 \quad (\operatorname{modd} \ p,f(x))\ .

C другой стороны, полином F_{}(x), как принадлежащий полю Галуа \mathbf{GF}(p^m), должен также удовлетворять и сравнению

[F(x)]^{p^m} -F(x) \equiv 0 \quad (\operatorname{modd} \ p,f(x))\ .

Если m_{} делится нацело на n_{}, то из первого сравнения вытекает второе.

Предположим теперь, что m_{} не делится нацело на n_{}: m=nq+r при 0< r < n.


2014/07/20 10:34 редактировал au