УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


Вспомогательная страница к пункту ПОДГРУППА


Т

Теорема [Лагранж]. Порядок конечной группы кратен порядку любой из ее подгрупп: \operatorname{Card} (\mathbb G) делится на \operatorname{Card} (\mathbb H).

Для доказательства теоремы введем новое понятие.

Пусть \mathbb H — собственная подгруппа группы \mathbb G и пусть \mathfrak b — элемент группы \mathbb G. Рассмотрим множество всех элементов вида {\mathfrak b} {\mathfrak h} при \mathfrak h \in \mathbb H. Это множество называется левым смежным классом группы \mathbb G по подгруппе \mathbb H и обозначается \mathfrak b \mathbb H:

\mathfrak b \mathbb H = \left\{ {\mathfrak b} {\mathfrak h} \big| \mathfrak h \in \mathbb H \right\} \ .

Аналогично определяется правый смежный класс \mathbb H \mathfrak b.

Очевидно, что в абелевой группе, любой левый смежный класс совпадает с правым: \mathfrak b \mathbb H =\mathbb H \mathfrak b.

§

В литературе встречаются и противоположные определения: когда левый смежный класс (в смысле только что приведенного определения) называют правым и наоборот.

П

Пример. Рассмотрим аддитивную группу целых чисел \mathbb G= \mathbb Z, в качестве ее подгруппы возьмем множество чисел кратных числу M\in \mathbb N: \mathbb H=\left\{tM \big| t\in \mathbb Z \right\}. Тогда при b_{} не кратном M_{} левый смежный класс

b+ \mathbb H = \left\{ b+ tM \big| t\in \mathbb Z \right\}

очевидно совпадает с правым смежным классом, и представляет собой класс вычетов \overline b по модулю M_{}.

Доказательство теоремы. Сначала покажем, что все элементы смежного класса \mathfrak b \mathbb H различны. Предположим, что {\mathfrak b} {\mathfrak h}_1 ={\mathfrak b} {\mathfrak h}_2 при \{{\mathfrak h}_1 ,{\mathfrak h}_2 \} \subset \mathbb H. Тогда, домножая это равенство слева на {\mathfrak b}^{-1}, необходимо приходим к {\mathfrak h}_1 ={\mathfrak h}_2. Следовательно, при {\mathfrak h}_1 \ne {\mathfrak h}_2 должно выполняться и {\mathfrak b} {\mathfrak h}_1 \ne {\mathfrak b} {\mathfrak h}_2. Итак, все элементы класса \mathfrak b \mathbb H действительно различны; как следствие получаем, что \operatorname{Card} (\mathbb H) =\operatorname{Card} (\mathfrak b \mathbb H).

Теперь покажем, что множества \mathbb H и \mathfrak b \mathbb H не содержат общих элементов: \mathbb H \bigcap \mathfrak b \mathbb H = \varnothing. Допустим, что общие элементы имеются: {\mathfrak h}_j ={\mathfrak b} {\mathfrak h}_k. Тогда, домножая это равенство справа на {\mathfrak h}_k^{-1}, получаем {\mathfrak b}= {\mathfrak h}_j{\mathfrak h}_k^{-1}, и, поскольку {\mathfrak h}_j{\mathfrak h}_k^{-1} принадлежит \mathbb H, то и {\mathfrak b}\in \mathbb H. Однако это противоречит предположению.

Итак, если \mathbb H — несобственная подгруппа группы \mathbb G, то доказательство теоремы тривиально. Если же она собственная, то существует элемент \mathfrak b группы \mathbb G, не входящий в \mathbb H. Тогда смежный класс \mathfrak b \mathbb H содержит ровно \operatorname{Card} (\mathbb H) различных элементов, ни один из которых не содержится в \mathbb H. Следовательно множество \mathbb H \bigcup \mathfrak b \mathbb H содержит ровно 2\operatorname{Card}(\mathbb H) различных элементов. Если \mathbb H \bigcup \mathfrak b \mathbb H = \mathbb G, то теорема доказана. Если же существует элемент \mathfrak f группы \mathbb G, не принадлежащий \mathbb H \bigcup \mathfrak b \mathbb H, то мы образовываем новый смежный класс \mathfrak f \mathbb H, который — по доказанному выше — имеет все элементы различными и не входящими в \mathbb H. Покажем, что \mathfrak f \mathbb H \bigcap \mathfrak b \mathbb H = \varnothing. В самом деле, если {\mathfrak f} {\mathfrak h}_j= {\mathfrak b} {\mathfrak h}_k, то {\mathfrak f}={\mathfrak b} {\mathfrak h}_k {\mathfrak h}_j^{-1} \in {\mathfrak b} \mathbb H, что противоречит предположению о том, что {\mathfrak f} \not\in \mathfrak b \mathbb H.

Следовательно, множество \mathbb H \bigcup \mathfrak b \mathbb H \bigcup \mathfrak f \mathbb H содержит ровно 3\operatorname{Card} (\mathbb H) различных элементов. Если это множество совпадает с \mathbb G, то теорема доказана. В противном случае, продолжаем процедуру выделения новых смежных классов. Эта процедура конечна, поскольку сама группа \mathbb G конечна. Но тогда применение индукции позволит утверждать, что группа \mathbb G раскладывается в объединение конечного числа попарно непересекающихся множеств: смежных классов по подгруппе \mathbb H. Каждое из подмножеств имеет мощность, равную \operatorname{Card} (\mathbb H).

Подгруппа \mathbb H группы \mathbb G называется нормальной (или нормальным делителем) если для любого элемента {\mathfrak h} \in \mathbb H и любого элемента \mathfrak b \in \mathbb G произведение \mathfrak b^{-1} \mathfrak h \mathfrak b принадлежит \mathbb H.

Т

Теорема. Если подгруппа \mathbb H нормальная, то любой левый смежный класс по этой подгруппе совпадает с правым смежным классом и наоборот.

Если подгруппа \mathbb H группы \mathbb G нормальная, то можно ввести операцию над смежными классами, так что получится новая группа, элементами которой будут смежные классы. Эта группа называется факторгруппой и обозначается \mathbb G / \mathbb H.

П

Пример. Множество \mathbb Z_M классов вычетов по модулю M_{} является факторгруппой группы \mathbb Z_{} по подгруппе целых чисел, кратных M_{}, относительно операции сложения.


2011/02/10 09:47 редактировал au