УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


Некоторые алгебраические структуры

Существует два подхода к изложению основ теории групп в учебном курсе высшей алгебры. Первый — чисто формальный, «сверху-вниз»: этот объект, его обобщения и обеспечивающая их терминология излагаются в начале курса, а впоследствии на формально введенном языке формулируются результаты из конкретных разделов алгебры. Я придерживаюсь противоположного подхода: теория групп — это «надстройка над несколькими блоками фундамента», и построение курса алгебры надо начинать именно с закладки отдельных блоков — изложением конкретных разделов (целые числа, полиномы, матрицы). И только потом устанавливать связи между ними, «перебрасывать мостики» и «навешивать узоры». Не собираясь обосновывать здесь правильность выбранной методологии (см. Правила пользования настоящим ресурсом ), я сейчас просто проясняю причину по которой, например, в разделе ПОЛИНОМ говорится о «полиноме над множеством», а не о «полиноме над полем».

§

А в завершение этого комментария привожу ЦИТАТУ.

Бинарная операция

Что такое алгебраическая операция? Рассмотрим произвольное непустое множество \mathbb S, элементы которого будем обозначать готическими буквами:

\mathbb S=\{{\mathfrak A},\, {\mathfrak B},\, \dots, {\mathfrak a},\, {\mathfrak b},\, \dots \} \ .

Бинарной операцией, определенной на \mathbb S, называется соответствие, при котором каждой упорядоченной паре {\mathfrak a} и {\mathfrak b} элементов из \mathbb S отвечает определенный элемент \mathfrak c того же множества. Записывать этот факт будем в виде

{\mathfrak a} \ast {\mathfrak b} = {\mathfrak c} \ .
П

Пример. Если \mathbb S=\mathbb Z, то сложение является бинарной операцией; если \mathbb S=\mathbb Q_{+} (положительных рациональных чисел), то деление тоже является бинарной операцией.

§

Подчеркнем, что понятие бинарной операции неразрывно связано с множеством, на котором она определена: результат операции не должен выводить за пределы множества. Примеры показывают, что бинарная операция, определенная на множестве \mathbb S, не обязательно «наследуется» при переходе к подмножеству.

П

Пример. На подмножестве четных чисел множества \mathbb Z_{} операция сложения продолжает оставаться бинарной: сумма любых четных чисел остается четным числом. Напротив, на подмножестве нечетных чисел та же операция не является бинарной.

Говорят, что подмножество \mathbb S_1 множества \mathbb S_{} замкнуто относительно бинарной операции \ast, определенной на \mathbb S, если выполнено {\mathfrak a} \ast {\mathfrak b} \in \mathbb S_1 для любой пары элементов {\mathfrak a} и {\mathfrak b} из \mathbb S_1. Если это условие не выполняется хотя бы для одной пары элементов {\mathfrak a} и {\mathfrak b} из \mathbb S_1, то говорят, что \mathbb S_1 не замкнуто относительно \ast.

?

Пусть \mathbb S = \mathbb C,\, \mathbb S_1 = \{1,\, -1,\, \mathbf i ,\, -\mathbf i \}. Является ли \mathbb S_1 замкнутым относительно сложения? А умножения?

Два произвольных элемента {\mathfrak a} и {\mathfrak b} множества \mathbb S, на котором определена бинарная операция \ast, определяют четыре возможные результата действия этой операции:

{\mathfrak a} \ast {\mathfrak b},\ {\mathfrak a} \ast {\mathfrak a},\ {\mathfrak b} \ast {\mathfrak a},\ {\mathfrak b} \ast {\mathfrak b} \ ,

не все из которых обязательно различны.

Если {\mathfrak a} \ast {\mathfrak b}={\mathfrak b} \ast {\mathfrak a}, то говорят, что элементы {\mathfrak a} и {\mathfrak b} перестановочны (или что они коммутируют) относительно операции \ast, если же {\mathfrak a} \ast {\mathfrak b}\ne {\mathfrak b} \ast {\mathfrak a}, то эти элементы не перестановочны (не коммутируют) относительно \ast.

П

Пример. Приведем несколько случаев некоммутативности:

а) множество \mathbb Q_{+} с операцией деления: 1/2 \, \colon \, 1/3 \ne 1/3 \, \colon \, 1/2;

б) множество квадратных матриц n_{}-го порядка с операцией умножения:

\left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right)\, \cdot \, \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 \\ 5 & 3 \end{array} \right) \ne \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 \\ 5 & 3 \end{array} \right) \, \cdot \, \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right) \ .

Рассмотрим теперь последовательное применение операции \ast к трем элементам {\mathfrak a},{\mathfrak b} и {\mathfrak c} множества \mathbb S. Возможные варианты исчерпываются ({\mathfrak a} \ast {\mathfrak b}) \ast {\mathfrak c} \quad и {\mathfrak a} \ast ({\mathfrak b} \ast {\mathfrak c}).

Говорят, что для упорядоченной тройки элементов {\mathfrak a},{\mathfrak b} и {\mathfrak c} выполняется свойство ассоциативности операции \ast если

({\mathfrak a} \ast {\mathfrak b}) \ast {\mathfrak c}={\mathfrak a} \ast ({\mathfrak b} \ast {\mathfrak c}) \ .
П

Пример. а) Для чисел 1/2,\ 1/3,\ 1/4 не выполняется свойство ассоциативности деления: \left(1/2 \colon 1/3 \right) \colon 1/4 \ne 1/2 \colon \left(1/3 \colon 1/4\right).

б) На множестве \mathbb N_{} определим операцию \ast как операцию возведения в степень {\mathfrak a} \ast {\mathfrak b} = {\mathfrak a}^{\mathfrak b}. Для тройки чисел 2,3,2 свойство ассоциативности не выполняется:

\left(2^3\right)^2 \ne 2^{\left(3^2\right)} \ .
§

Здесь возникает интересная проблема, впервые поставленная Кэли. При невыполнении ассоциативности операции \ast значение выражения {\mathfrak a}_1 \ast {\mathfrak a}_2 \ast \dots \ast {\mathfrak a}_n будет зависеть от порядка выполнения операций. Так, к примеру степень

2^{\displaystyle 2^{\displaystyle 3^2}}

может быть равна — в зависимости от расстановки скобок — одному из следующих чисел:

2^{^{\displaystyle \left( 2^{\displaystyle \left(3^2\right)} \right)}} =2^{512} \ ; \left( \left( 2^{\displaystyle 2} \right)^{\displaystyle 3} \right)^2=2^{12}\ ; 2^{^{\left[\left({\displaystyle 2}^{\displaystyle 3} \right)^2\right]}} =2^{64}\ ; \left(2^{\displaystyle 2} \right)^{\big( {\displaystyle 3}^2 \big)}=2^{18}\ ; \bigg[2^{\big({\displaystyle 2}^{3} \big)} \bigg]^2=2^{16} \ .

Сколько различных значений (в зависимости от расстановок скобок) может принимать выражение {\mathfrak a}_1 \ast {\mathfrak a}_2 \ast \dots \ast {\mathfrak a}_n? Ответ на этот вопрос (а также его связь с проблемой кодирования) ☞ ЗДЕСЬ.

Будем говорить, что операция \ast коммутативна на множестве \mathbb S если для любых двух элементов множества выполняется свойство коммутативности. Будем говорить, что операция \ast ассоциативна на множестве \mathbb S_{} если для любых трех элементов множества выполняется свойство ассоциативности.

?

[3]. Пусть операция \ast подчиняется двум законам:

{\mathfrak a}\ast {\mathfrak a} ={\mathfrak a}, \quad ({\mathfrak a} \ast {\mathfrak b}) \ast {\mathfrak c}=({\mathfrak b} \ast {\mathfrak c}) \ast {\mathfrak a}

для любых {\mathfrak a}, {\mathfrak b} и {\mathfrak c} из \mathbb S. Доказать, что \ast ассоциативна и коммутативна.

Определение группы

Множество \mathbb S_{} с определенной на нем бинарной операцией \ast называется полугруппой если \ast — ассоциативна.

Нейтральным элементом множества \mathbb S_{} относительно операции \ast называется такой элемент \mathfrak e этого множества, что для любого элемента \mathfrak a \in \mathbb S_{} выполняются соотношения

\mathfrak a \ast \mathfrak e = \mathfrak e \ast \mathfrak a = \mathfrak a \ .
П

Пример. На множестве четных чисел не существует нейтрального элемента относительно умножения.

Пусть множество \mathbb S_{} содержит нейтральный элемент относительно операции \ast. Элемент \mathfrak A называется обратным элементу \mathfrak a\in \mathbb S_{} относительно операции \ast если выполняются соотношения

\mathfrak a \ast \mathfrak A = \mathfrak A \ast \mathfrak a = \mathfrak e \ .

Полугруппа называется группой, если в ней существует нейтральный элемент и для любого ее элемента существует обратный относительно \ast.

§

Традиционно группа обозначается буквой \mathbb G; операция \ast называется умножением; результат бинарной операции {\mathfrak a} \ast {\mathfrak b} записывается тогда как {\mathfrak a} \cdot {\mathfrak b} или просто {\mathfrak a}{\mathfrak b}; нейтральный элемент \mathfrak e называется единичным или просто единицей; элемент, обратный \mathfrak a обозначается \mathfrak a^{-1}. Результат умножения элемента на самого себя называется его степенью:

\underbrace{{\mathfrak a} \ast {\mathfrak a} \ast \dots \ast {\mathfrak a}}_{k} = {\mathfrak a}^k, \ {\mathfrak a}^{0} = {\mathfrak e}\ .

Т

Теорема. Для любых \{ \mathfrak a, \mathfrak b \} \subset \mathbb G существует единственный элемент \mathbf x \in \mathbb G такой, что \mathfrak a \mathbf x = \mathfrak b.

Доказательство. Проверкой убеждаемся, что \mathfrak a^{-1} \mathfrak b удовлетворяет условию, т.е. уравнение решение имеет. Если бы существовал другой \mathbf x, удовлетворяющий тому же соотношению, то умножением слева на \mathfrak a^{-1} получили бы \mathbf x = \mathfrak a^{-1} \mathfrak b. Таким образом, решение единственно.

§

Аналогичное утверждение справедливо и для уравнения \mathbf y \mathfrak a= \mathfrak b.

?

Доказать, что для любых \{ \mathfrak a, \mathfrak b \} \subset \mathbb G: \left( \mathfrak a \mathfrak b \right)^{-1}= \mathfrak b^{-1} \mathfrak a^{-1}.

?

[4]. Пусть \mathbb S_{} — полугруппа, в которой для некоторого k_{}\in \mathbb N выполняются соотношения

\mathfrak a^{k+1}=\mathfrak a \quad u \quad \mathfrak a \mathfrak b^k \mathfrak a = \mathfrak b \mathfrak a^k \mathfrak b \qquad npu \qquad \forall \{\mathfrak a,\mathfrak b\} \subset \mathbb S \ .

Доказать, что умножение коммутативно.

Примеры групп

Аддитивная группа целых чисел

Множество \mathbb Z_{} является группой относительно операции сложения, единичным элементом которой является 0_{}, а элемент (-\mathfrak a) будет обратным элементу \mathfrak a. То же самое множество не является группой относительно умножения: хотя единичный элемент и существует, но обратного не существует ни для какого другого.

?

Является ли это множество полугруппой?

Классы вычетов

Рассмотрим полную систему классов вычетов по модулю M_{}\in \mathbb N, т.е. множеств целых чисел имеющих одинаковый остаток r_{} при делении на M_{}:

\overline r = \left\{r+Mt \ \big| \ t\in \mathbb Z \right\}

при r \in \{0,1,\dots,M-1 \}. Это множество — обозначаемое \mathbb Z_{M} — является группой относительно сложения классов:

\overline a + \overline b = \overline c \quad при \ c=a+b \pmod{M} \ .

Единичным элементом является класс \overline 0 (множество чисел, делящихся на M_{} нацело); элементом, обратным \overline a, очевидно является \overline{M-a}.

То же множество \mathbb Z_{M} относительно умножения классов является полугруппой, но не группой: для класса \overline 0 не существует обратного. Даже если выбросить этот класс и рассмотреть множество \mathbb Z_M \setminus \overline 0=\{ \overline 1, \dots , \overline{M-1} \} то и оно не будет группой для некоторых M_{}: хотя единичный элемент и существует, но нет, например, класса, обратного \overline 2 по модулю 6_{}. Тем не менее, если дополнительно потребовать, чтобы модуль M_{} был числом простым: M=p, то множество \{ \overline 1, \dots , \overline{p-1} \} становится группой относительно умножения. Элементом, обратным \overline a будет класс \overline x, где x_{} является решением сравнения ax\equiv 1 \pmod{p}. Это решение единственно среди чисел множества \{1,\dots,p-1\} и может быть найдено по алгоритмам, приведенным ЗДЕСЬ. Например, используя теорему Ферма, его можно представить в виде x=a^{p-2} \pmod{p}.

?

Доказать, что подмножество классов вычетов, взаимно простых с модулем M_{}, образует группу относительно умножения.

Корни из единицы

Во множестве \mathbb C_{} рассмотрим подмножество корней n-й степени из единицы:

\mathbb G = \left\{\varepsilon_k=\cos \frac{2 \pi k}{n} +\mathbf i\, \sin \frac{2 \pi k}{ n} \right\}_{k=0}^{n-1} \ .

Это подмножество является группой относительно умножения:

\mathfrak e = \varepsilon_0=1; \ \varepsilon_j \varepsilon_k=\varepsilon_{j+k \pmod{n}} =\left\{\begin{array}{ll} \varepsilon_{j+k} \in \mathbb G & npu \ j+k< n, \\ \varepsilon_{j+k-n} \in \mathbb G & npu \ j+k\ge n; \end{array} \right.
\varepsilon_j^{-1}=\varepsilon_{-j}=\varepsilon_{n-j} \in \mathbb G \ .

Полиномы

Множества полиномов \mathbb Z[x],\, \mathbb Q[x],\ \mathbb R[x], \mathbb C[x] с коэффициентами из соответственно \mathbb Z_{}, \mathbb Q_{}, \mathbb R_{} или \mathbb C_{} являются группами относительно сложения. Единичным элементом является тождественно нулевой полином, а полином (-f(x)) — обратным полиному f(x)_{}. Те же множества не являются группами относительно умножения.

Полная линейная группа

Множество квадратных n\times n_{} матриц над \mathbb R_{} является полугруппой, но не группой относительно операции умножения, т.к. не для всякой матрицы A_{} существует обратная. Но вот подмножество невырожденных матриц образует группу, называемую полной линейной группой степени n над \mathbb R_{} и обозначаемую1) \mathbf{GL}(n,\mathbb R).

?

Образует ли множество матриц

\mathbf{a)} \quad \left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right),\ \left(\begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right),\ \left(\begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right),\ \left(\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right);
\mathbf{b)} \quad \left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right),\ \left(\begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right),\ \left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right),\ \left(\begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right),\ \left(\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right)

группу относительно умножения?


Группа называется абелевой2) если операция \ast коммутативна. В противном случае группа неабелева.

Группа \mathbf{GL}(n,\mathbb R) из последнего примера — неабелева. Все предыдущие — абелевы.

§

В литературе иногда операцию \ast в абелевой группе обозначают +_{}; тогда нейтральный элемент \mathfrak e обозначают 0_{}; а {\mathfrak a}^{-1} — через - \mathfrak a (и называют элементом, противоположным \mathfrak a).

Монотонные функции

Рассмотрим множество функций \{\varphi (x) \}, непрерывных, (строго) возрастающих на [0_{},1] и таких, что \varphi(0)=0,\varphi(1)=1. В качестве операции \ast возьмем суперпозицию функций, т.е. подстановку одной функции в другую3):

\varphi (x)\ast \psi (x) = \varphi\left( \psi (x) \right) \ .

Множество с введенной операцией образует группу: ассоциативность имеется; {\mathfrak e}=x; \varphi^{-1} (x) — функция обратная к \varphi (x) (существует и принадлежит рассматриваемому множеству на основании известных результатов из мат.анализа). Группа неабелева, т.к., например, для

\varphi=x^2, \ \psi=\sin \frac{ \pi x}{ 2} \quad имеем \ \varphi \ast \psi = \left(\sin \frac{ \pi x}{ 2} \right)^2, в то время как \ \psi \ast \varphi = \sin \frac{ \pi x^2}{ 2} \ .

Полугруппа (группа) называется конечной если она состоит из конечного числа элементов; это число называется тогда порядком полугруппы (группы) и обозначается4) \operatorname{Card} (\mathbb G) или | \mathbb G | или \# \mathbb G.

Отображения плоских фигур

Рассмотрим множество, элементами которого являются отображения плоскости: именно, вращения плоских фигур вокруг начала координат на углы, кратные некоторому фиксированному \varphi >0. Эти отображения можно задать в матричной форме: если (x,y_{}) — координаты точки до поворота, а (X_{},Y) — ее координаты после поворота на угол k\, \varphi\ (k\in \mathbb Z), то связь между ними дается формулой

\left( \begin{array}{c} X \\ Y \end{array} \right) = P_k\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \quad npu \quad P_k= \left( \begin{array}{rr} \cos k \varphi & -\sin k \varphi \\ \sin k \varphi & \cos k \varphi \end{array} \right) \ .

Бинарной операцией над элементами этого множества возьмем комбинацию — последовательное выполнение — поворотов. Легко видеть, что эта операция коммутативна: результат поворота на угол k\varphi, а затем — на угол \ell\varphi будет таким же и при изменении последовательности поворотов и совпадать с поворотом на угол (k+\ell) \varphi. Аналитика подтверждает геометрию:

P_kP_{\ell}=P_{\ell} P_k =P_{k+\ell} \ .

Далее, за единичный элемент относительно комбинации поворотов возьмем поворот, при котором все точки остаются на месте: P_0=E. Наконец, поворотом, обратным повороту на угол k\varphi, будет поворот на угол (-k\varphi): P_{k}^{-1}=P_{-k}. Таким образом, все свойства группы выполнены, и наше множество является группой, причем абелевой.

Будет ли эта группа конечной? Ответ на этот вопрос зависит от угла \varphi. Так, если \varphi=2\, \pi / m,\ m\in\mathbb Z, то P_m=E=P_0,P_{m+1}=P_1, \dots,P_{m+k}=P_k; при этом матрицы P_0,P_1,\dots,P_{m-1} все различны. Следовательно, \operatorname{Card} (\mathbb G)=m. Если \varphi=2\, \pi p / q и дробь p/q несократима, то \operatorname{Card} (\mathbb G)=q. Наконец, при \varphi=2\, \pi \alpha и \alpha_{} — иррациональном, имеем: P_k\ne P_{\ell} ни при каких целых индексах k, \ell, k\ne \ell. В этом случае группа бесконечна.

Определим теперь на той же самой плоскости еще одно отображение: зеркальное отражение. Плоская фигура отображается в зеркально симметричную ей относительно абсолютно плоского зеркала, проходящего через ось абсцисс и перпендикулярного плоскости: Это отображение также можно задать в матричной форме:

\left( \begin{array}{c} X \\ Y \end{array} \right) = T\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \quad npu \ T = \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right) \ .

Очевидно, что два последовательных отражения возвращают фигуру в исходное состояние; действительно:

T^2=E \ .

Таким образом, множество из двух отображений — тождественного и зеркального — образует группу второго порядка, причем абелеву.

Попробуем теперь составить объединение множеств рассмотренных выше отображений, одновременно допустив к рассмотрению и повороты и отражения, и их всевозможные комбинации. Для простоты, рассмотрим повороты на угол \varphi=2\pi/3. Комбинируя теперь все возможные последовательные отображения, приходим ко множеству:

  • тождественное,
  • поворот на угол 2\pi/3,
  • поворот на угол 4\pi/3,
  • отражение,
  • поворот на угол 2\pi/3 и отражение,
  • отражение и поворот на угол 2\pi/3,
  • поворот на угол 4\pi/3 и отражение,
  • отражение и поворот на угол 4\pi/3,

Видим, что имеется всего 6_{} различных отображений; кроме того, \mathfrak{tr}\ne \mathfrak{rt}. Итак, получившаяся группа порядка 6_{} является неабелевой.

?

\mathfrak{tr}^2=\mathfrak{rt} ? \mathfrak{r}^2 \mathfrak{t}=\mathfrak{tr} ?

Перестановки

Образующие элементы группы

Пусть \mathfrak a и \mathfrak b — элементы группы \mathbb G. Тогда, по определению группы, {\mathfrak a}^{-1} и {\mathfrak b}^{-1} также должны быть элементами \mathbb G наряду с {\mathfrak a}{\mathfrak b}^{-1}{\mathfrak a}, {\mathfrak a}{\mathfrak b}{\mathfrak a}^{-1}{\mathfrak b} и т.д. Любое произведение, которое можно записать, используя в качестве сомножителей \mathfrak a, \mathfrak b, {\mathfrak a}^{-1}, {\mathfrak b}^{-1} в любом порядке и в любом конечном числе, является элементом \mathbb G. Если все элементы группы можно записать в виде произведений, включающих лишь \mathfrak a и \mathfrak b (и их обратные), то мы назовем \mathfrak a и \mathfrak b образующими (или образующими элементами) группы \mathbb G. Это понятие обобщается очевидным образом.

Если все элементы группы \mathbb G могут быть выражены в виде произведений элементов из некоторого множества \mathbb S (и их обратных), то элементы множества \mathbb S называются образующими группы \mathbb G, или говорят, что они порождают группу \mathbb G.

Вернемся к примерам предыдущих пунктов. Аддитивная группа целых чисел имеет единственную образующую, именно 1_{}. Для группы корней n_{}-й степени из 1_{} образующим можно выбрать \varepsilon_1, поскольку \varepsilon_k=\varepsilon_1^k для любого k\in \{0,1,\dots,n-1 \}. С тем же успехом можно было бы взять и некоторые другие корни — но не любые! Так, для n=6, корни \varepsilon_2,\, \varepsilon_3 или \varepsilon_4 образующими группы не будут:

\varepsilon_2^2=\varepsilon_4,\ \varepsilon_2^3=1=\varepsilon_0, \dots

Образующим можно взять любой первообразный корень \varepsilon_k, т.е. тот, для которого \operatorname{HOD}(k,n)=1.

Группа отображений плоской фигуры — если допускаются к рассмотрению и повороты и отражения — имеет две образующие: поворот на угол \varphi и отражение.

Простейший случай — это группа с одной образующей.

Группа \mathbb G называется циклической если она порождается единственным своим элементом. Если этот элементом является \mathfrak a, то циклическую группу обозначают \langle {\mathfrak a} \rangle:

\langle {\mathfrak a} \rangle = \{{\mathfrak a}^k \}_{k\in\mathbb Z} \ .
?

Доказать, что циклическая группа всегда абелева.

Вычисляя положительные степени элемента \mathfrak a мы можем никогда не встретить повторений: все элементы бесконечной последовательности

\mathfrak a,\, \mathfrak a^2,\dots , {\mathfrak a}^k,\dots

будут различными. В этом случае говорят, что элемент \mathfrak a имеет бесконечный порядок. Если же {\mathfrak a}^k={\mathfrak a}^{\ell} при некоторой паре показателей k_{} и \ell_{}, k < \ell, то, домножая обе части равенства на {\mathfrak a}^{-k}, получаем: {\mathfrak a}^{\ell-k}=\mathfrak e. Наименьшее целое число n_{}, для которого {\mathfrak a}^n=\mathfrak e называется порядком элемента \mathfrak a.

?

Рассматривается мультипликативная группа классов вычетов по модулю 17_{}. Найти порядок классов \overline 2, \overline 4, \overline 7.

Подгруппа

Подмножество \mathbb H группы \mathbb G называется ее подгруппой, если оно само является группой (относительно бинарной операции \ast). Иначе говоря, \mathfrak e \in \mathbb H, и при произвольных элементах {\mathfrak a} и {\mathfrak b} из \mathbb H должны выполняться условия {\mathfrak a}\ast {\mathfrak b} \in \mathbb H, {\mathfrak b}\ast {\mathfrak a} \in \mathbb H, {\mathfrak a}^{-1} \in \mathbb H, {\mathfrak b}^{-1} \in \mathbb H.

Любая группа \mathbb G имеет очевидные подгруппы: саму себя и подгруппу, состоящую из единственного элемента \mathfrak e. Эти две подгруппы называются несобственными. Нас интересует случай существования собственных подгрупп.

Такие подгруппы очевидно имеет аддитивная группа целых чисел: например, множество четных чисел является замкнутым относительно операции сложения.

Любой отличный от \mathfrak e элемент \mathfrak a группы \mathbb G образует в ней циклическую подгруппу \langle {\mathfrak a} \rangle = \{{\mathfrak a}^k \}_{k\in\mathbb Z}. Эта подгруппа может оказаться как собственной, так и несобственной.

П

Пример. Группа корней n-й степени из единицы при n_{}=6 имеет собственные подгруппы:

\mathbb H_1 =\{1,\, \varepsilon_2,\, \varepsilon_4\} \quad u \quad \mathbb H_2=\{1,\, \varepsilon_3 \} \ ,

а при n_{}=7 их не имеет. В самом деле, если предположить, что подгруппа \mathbb H содержит элемент \varepsilon_{k} при k\in \{1,\dots,6\}, то, по свойству замкнутости относительно умножения, она должна содержать и любую степень этого элемента: \varepsilon_k^0=1, \varepsilon_k^1,\,\varepsilon_k^2=\varepsilon_{2k \pmod{7}},\, \varepsilon_k^3=\varepsilon_{3k \pmod{7}},\dots Легко установить, что первые 7_{} элементов этой последовательности будут различными. Но тогда они обязаны пробегать все множество корней седьмой степени из 1_{}.

П

Пример. В группе отображений плоских фигур можно выделить две подгруппы: подгруппу поворотов на целое кратное угла 2\pi/3, т.е. в обозначениях того пункта: \{ \mathfrak{i}, \mathfrak{r}, \mathfrak{r}^2 \}; и подгруппу отражений \{ \mathfrak{i}, \mathfrak{t} \}.

?

Показать, что множество \mathbf{SL}(n, \mathbb R) матриц порядка n_{} с определителями, равными 1_{} образует подгруппу \mathbf{GL}(n,\mathbb R) (называется специальной линейной группой степени n над \mathbb R_{}). Будет ли \mathbf{SL}(n, \mathbb R) абелевой?

?

Образует ли множество матриц вида

\left(\begin{array}{cc} a & b \\ b & a \end{array} \right) \quad npu \ a^2\ne b^2

подгруппу группы \mathbf{GL}(n,\mathbb R)? Будет ли эта подгруппа абелевой?

Разумеется, подгруппа может порождаться и не одним образующим.

?

Доказать, что если \mathbb H_1 и \mathbb H_2 — подгруппы группы \mathbb G, то и \mathbb H_1 \bigcap \mathbb H_2 — подгруппа группы \mathbb G.

Предположим теперь, что группа \mathbb G — конечная, тогда и любая ее подгруппа тоже должна быть конечной. Каким может тогда быть порядок подгруппы?

Т

Теорема [Лагранж]. Порядок конечной группы кратен порядку любой из ее подгрупп: \operatorname{Card} (\mathbb G) делится на \operatorname{Card} (\mathbb H).

Доказательство ЗДЕСЬ.

=>

Если \operatorname{Card} (\mathbb G)простое число, то группа \mathbb G не имеет собственных подгрупп и является циклической.

=>

Порядок любого элемента конечной группы является делителем порядка группы.

П

Пример. Множество ненулевых классов вычетов \mathbb Z_p \setminus \overline 0=\{ \overline 1, \dots , \overline{p-1} \} по простому модулю p_{} образует группу относительно умножения. В разделе ИНДЕКС дается определение порядка (показателя) \operatorname{ord}(A) числа A_{} по модулю p_{} как наименьшее k\in \mathbb N такое, что A^k \equiv 1 \pmod{p}. Доказывается, что \operatorname{ord}(A) является делителем числа p-1. Очевидно, что этот результат является частным случаем предыдущего следствия.

Его можно обобщить и на случай составного модуля M_{}. В этом случае множество \mathbb Z_M \setminus \overline 0=\{ \overline 1, \dots , \overline{M-1} \} не образует группы относительно умножения. Но вот подмножество классов, взаимно простых с модулем M_{}, группу образует. По определению функции Эйлера, порядок этой группы равен \phi(M). Тогда, в соответствии со следствием, \phi(M) должно делится на \operatorname{ord}(A) для любого A_{} такого, что \operatorname{HOD}(A,M)=1. И это заключение совпадает с теоремой 3, приведенной в разделе ☞ ИНДЕКС.

?

Образует ли группу относительно умножения множество матриц

\left\{ \left( \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \end{array} \right)^k \right\}_{k\in \mathbb Z} \ ?

Если да, то будет ли эта группа абелевой? Конечной? Существует ли у этой группы собственная подгруппа?

Факторгруппа

определяется ☞ ЗДЕСЬ.

Таблица умножения

Какая информация необходима для полного задания группы как математического объекта?

Ответ на этот вопрос был дан Кэли в 1854 г., когда он ввел таблицу умножения группы. Она похожа на привычную арифметическую таблицу умножения. Элементы группы размещаются в верней строке и в том же порядке в левом столбце таблицы — дадим этой строке и этому столбцу номер 0_{}, а внутри нее размещаются произведения элементов. При этом нельзя считать заранее заданным, что любые два элемента группы коммутируют между собой. Поэтому сомножители в каждом произведении пишутся в том порядке, в каком выполняется умножение: первым ставится сомножитель из нулевого столбца, а вторым — из нулевой строки.

Для абелевой группы таблица умножения будет симметричной относительно главной диагонали, т.е. диагонали, идущей из левого верхнего в правый нижний угол таблицы.

П

Пример. Для группы отображений плоских фигур в обозначениях того пункта и с учетом тривиальных упрощений \mathfrak{r}^3 = \mathfrak{i}, \mathfrak{t}^2 = \mathfrak{i}:

\mathfrak{i}_{} \mathfrak{r}_{} \mathfrak{r}^2 \mathfrak{t} \mathfrak{tr} \mathfrak{rt}
\mathfrak{i}_{} \mathfrak{i}_{} \mathfrak{r}_{} \mathfrak{r}^{2} \mathfrak{t}_{} \mathfrak{tr} \mathfrak{rt}
\mathfrak{r}_{} \mathfrak{r}_{} \mathfrak{r}^2 \mathfrak{i}_{} \mathfrak{rt} \mathfrak{rtr} \mathfrak{r^2t}
\mathfrak{r}^2 \mathfrak{r}^2 \mathfrak{i}_{} \mathfrak{r}_{} \mathfrak{r}^2 \mathfrak{t} \mathfrak{r}^2 \mathfrak{tr} \mathfrak{t}_{}
\mathfrak{t} \mathfrak{t}_{} \mathfrak{tr} \mathfrak{tr}^2 \mathfrak{i}_{} \mathfrak{r}_{} \mathfrak{trt}
\mathfrak{tr} \mathfrak{tr} \mathfrak{tr}^2 \mathfrak{t} \mathfrak{trt} \mathfrak{trtr} \mathfrak{tr}^2 \mathfrak{t}
\mathfrak{rt} \mathfrak{rt} \mathfrak{rtr} \mathfrak{rtr}^2 \mathfrak{r}_{} \mathfrak{r}^2 \mathfrak{rtrt}

Дальнейшие упрощения связаны с результатом упражнения в конце ☞ ПУНКТА: \mathfrak{tr}^2=\mathfrak{rt},\ \mathfrak{r}^2 \mathfrak{t}=\mathfrak{tr}. Из них выводим цепочки:

\mathfrak{rtr}=\mathfrak{tr}^2 \mathfrak{r}=\mathfrak{t} ; \quad \mathfrak{trt} = \mathfrak{t} \mathfrak{tr}^2 =\mathfrak{t}^2 \mathfrak{r}^2=\mathfrak{r}^2 ;
\mathfrak{trtr}=\mathfrak{t}^2=\mathfrak{i} ; \quad \mathfrak{tr}^2 \mathfrak{t} = \mathfrak{rt}^2=\mathfrak{r}; \quad \mathfrak{rtr}^2=\mathfrak{r}^2\mathfrak{t}=\mathfrak{tr} ;\quad \mathfrak{r}^2\mathfrak{tr}=\mathfrak{tr}^2 = \mathfrak{rt}; \quad \mathfrak{rtrt}=\mathfrak{t}^2=\mathfrak{i} \ .
\mathfrak{i}_{} \mathfrak{r}_{} \mathfrak{r}^2 \mathfrak{t} \mathfrak{tr} \mathfrak{rt}
\mathfrak{i}_{} \mathfrak{i}_{} \mathfrak{r}_{} \mathfrak{r}^{2} \mathfrak{t}_{} \mathfrak{tr} \mathfrak{rt}
\mathfrak{r}_{} \mathfrak{r}_{} \mathfrak{r}^2 \mathfrak{i}_{} \mathfrak{rt} \mathfrak{t} \mathfrak{tr}
\mathfrak{r}^2 \mathfrak{r}^2 \mathfrak{i}_{} \mathfrak{r}_{} \mathfrak{tr} \mathfrak{rt} \mathfrak{t}_{}
\mathfrak{t} \mathfrak{t}_{} \mathfrak{tr} \mathfrak{rt} \mathfrak{i}_{} \mathfrak{r}_{} \mathfrak{r}^2
\mathfrak{tr} \mathfrak{tr} \mathfrak{rt} \mathfrak{t} \mathfrak{r}^2 \mathfrak{i}_{} \mathfrak{r}_{}
\mathfrak{rt} \mathfrak{rt} \mathfrak{t} \mathfrak{tr} \mathfrak{r}_{} \mathfrak{r}^2 \mathfrak{i}_{}

Перечислим теперь некоторые свойства таблицы умножения.

Поиск в таблице обратного элемента к элементу \mathfrak a иллюстрируется приведенной схемой:

Остальные свойства будем нумеровать

1. Для группы порядка n_{} внутри таблицы (т.е. в ее строках и столбцах с номерами 1,2,\dots,n) содержатся все n_{} элементов группы.

2. Каждая строка таблицы образована какой-то перестановкой элементов нулевой строки (и аналогичное утверждение справедливо относительно столбцов).

Т

Теорема. Пусть \operatorname{Card} (\mathbb G)=n и \{\mathfrak a_1,\dots,\mathfrak a_n\}различные элементы группы \mathbb G. Тогда для любого \mathfrak b \in \mathbb G множества \mathfrak b \cdot \mathbb G =\{ \mathfrak b \mathfrak a_j \}_{j=1}^n и \mathbb G \cdot \mathfrak b =\{ \mathfrak a_j \mathfrak b \}_{j=1}^n совпадают с группой \mathbb G.

Доказательство. Рассмотрим первое из множеств — \mathfrak b \cdot \mathbb G. Его элементы являются элементами группы \mathbb G и все различны, поскольку, если бы было выполнено \mathfrak b \mathfrak a_j=\mathfrak b \mathfrak a_k, то, домножив это равенство слева на \mathfrak b^{-1}, получили бы \mathfrak a_j= \mathfrak a_k. Таким образом, элементы рассматриваемого множества представляют собой перестановку элементов множества \{ \mathfrak a_j \}_{j=1}^n (здесь можно сослаться на принцип Дирихле или «принцип ящиков», использовавшийся при доказательстве теоремы Ферма ).

Для второго множества из теоремы доказательство аналогично.

3. Если рассмотреть строку таблицы, соответствующую выбору в нулевом столбце единичного элемента \mathfrak e, то эта строка будет тождественна нулевой строке (аналогичное утверждение справедливо относительно и для соответствующего столбца):

4. Аксиома об обратном элементе переформулируется следующим образом: если в таблице сложилась конфигурация

то на месте ? должен находиться единичный элемент \mathfrak e: если \mathfrak a \mathfrak b =\mathfrak e, то и \mathfrak b \mathfrak a =\mathfrak e. Иными словами: расположение единичного элемента группы в таблице умножения должно быть симметрично относительно главной диагонали.

5. Рассмотрим следующую конфигурацию, сложившуюся в таблице умножения:

Она действительно встретится, поскольку в каждой строке и в каждом столбце таблицы должен содержаться единичный элемент. Чему равен элемент, стоящий на месте ?

Т

Теорема. Искомый элемент равен \mathfrak b \mathfrak a.

Доказательство. Пусть конфигурация соответствует следующему расположению элементов группы в нулевых строке и столбце:

Тогда, на основании равенств

vy= yv=\mathfrak e, \ uy= \mathfrak b,\ vx=\mathfrak a

и свойств группы получаем цепочку:

ux=u \mathfrak e x = u (yv) x = (uy)(vx)= \mathfrak b \mathfrak a \ .

Изоморфизм групп

В предыдущих пунктах можно было заметить, что группы, образованные элементами различной природы часто имели сходные свойства: такими, например были аддитивная группа классов вычетов по модулю n_{}, т.е. \mathbb Z_n , и мультипликативная группа комплексных корней n-й степени из 1_{}. Формализовать подобное сходство можно с помощью установления соответствия между элементами этих групп: чтобы описание свойств одной группы свободно переводилось в описание свойств другой.

Рассмотрим две группы: \mathbb G с операцией \ast и \tilde \mathbb G с операцией \tilde \ast. Отображение F: \mathbb G \mapsto \tilde \mathbb G, отображающее каждый элемент группы \mathbb G на элемент группы \tilde \mathbb G, называется гомоморфизмом, если

F(\mathfrak a \ast \mathfrak b) =F(\mathfrak a) \tilde \ast F(\mathfrak b) \quad npu \quad \forall \mathfrak a \in \mathbb G,\, \forall \mathfrak b \in \mathbb G \ .

Если, вдобавок, гомоморфизм задает взаимно-однозначное соответствие между \mathbb G и \tilde \mathbb G, то он называется изоморфизмом. В случае существования изоморфизма между группами, сами группы называются изоморфными или абстрактно равными. Легко показать, что отношение изоморфизма групп является отношением эквивалентности.

П

Пример. Группа поворотов плоскости вокруг начала координат на углы, кратные 2\, \pi/n при n \in \mathbb Z изоморфна группе корней степени n из единицы:

\left\{\varepsilon_k=\cos \frac{2 \pi k}{n} +\mathbf i\, \sin \frac{2 \pi k}{ n} \right\}_{k=0}^{n-1}

рассматриваемой относительно операции умножения. Изоморфизм устанавливается очевидным способом. Его следствием становится возможность аналитического выражения преобразования координат. Если интерпретировать плоскость (x,y) как комплексную, и ввести переменную z=x+ \mathbf i y, то поворот на угол 2\, \pi/n вокруг начала координат задается правилом:

z \mapsto z\varepsilon_1 \ ,

а поворот на угол 2\, \pi k/n

z \mapsto z\varepsilon_k= z\varepsilon_1^k \ .

Возвращение к вещественным числам показывает эквивалентность найденных представлений, приведенным ВЫШЕ, для вывода которых использовался аппарат теории матриц. Это замечание, в свою очередь, позволяет говорить об изоморфизме группы \left\{\varepsilon_k \right\}_{k=0}^{n-1} группе матриц вида

P_k= \left( \begin{array}{rr} \cos 2\, \pi k/n & -\sin 2\, \pi k/n \\ \sin 2\, \pi k/n & \cos 2\, \pi k/n \end{array} \right) \quad npu \quad k\in \{0,\dots,n-1\} ,

рассматриваемой относительно операции умножения матриц.

§

Последнее замечание можно переформулировать на строгом алгебраическом языке как »проявление свойства транзитивности для изоморфизма как отношения эквивалентности»… Но если читателю непонятны эти слова — пусть не расстраивается!

П

Пример. Рассмотрим аддитивную группу вещественных чисел и мультипликативную группу положительных вещественных чисел. Эти группы изоморфны, поскольку функция \log x (здесь логарифм рассматривается по любому основанию большему 1_{}) взаимно-однозначно отображает множество \mathbb R_{+} на \mathbb R_{}, и, вдобавок, \log (xy)=\log x + \log y. Этот изоморфизм лежит в основе работы логарифмической линейки: операция умножения чисел заменяется более простой — в смысле технической реализации — операцией сложения.

?

Может ли группа быть изоморфна собственной подгруппе?

?

Доказать, что любые две циклические группы одинакового порядка (конечного или бесконечного) изоморфны.

Можно доказать, что существует лишь конечное число абстрактно различных групп порядка n_{}. В самом деле, с точностью до обозначения элементов для множества, состоящего из n_{} различных символов, существует лишь конечное число таблиц умножения, имеющих n^2 клеток. Эти таблицы не могут быть выбраны произвольным образом; оказывается для того, чтобы таблица определяла объект, удовлетворяющий аксиомам группы, необходимо и достаточно, чтобы для нее выполнялись свойства 1 - 5 из предыдущего ПУНКТА. Так, например, при n=6 существуют всего две абстрактно различные группы: циклическая, изоморфная группе корней 6_{}-й степени из единицы, и неабелева группа, изоморфная группе отображений плоских фигур. Известно, что существует 267_{} абстрактно различных групп порядка 64_{}.

Кольцо

В предыдущих пунктах мы анализировали множества с точки зрения одной определенной бинарной операции. Однако, часть рассмотренных примеров составляли множества, в которых были определены и другие операции.

Пусть \mathbb K — некоторое множество с двумя определенными в нем операциями \oplus и \ast. Это множество называется кольцом5) относительно указанных операций если выполнено

1. \oplus — коммутативна: {\mathfrak a} \oplus {\mathfrak b}={\mathfrak b} \oplus {\mathfrak a};

2. \oplus — ассоциативна: ({\mathfrak a} \oplus {\mathfrak b}) \oplus {\mathfrak c} = {\mathfrak a} \oplus ({\mathfrak b} \oplus {\mathfrak c});

3. \oplus — обратима, т.е. для любых двух элементов {\mathfrak a} и {\mathfrak b} из \mathbb K существует решение уравнения {\mathfrak a} \oplus x = {\mathfrak b};

4. операции подчиняются дистрибутивному (распределительному) закону:

{\mathfrak a} \ast ({\mathfrak b} \oplus {\mathfrak c})={\mathfrak a} \ast {\mathfrak b} \oplus {\mathfrak a} \ast {\mathfrak c} \quad u \quad ({\mathfrak b} \oplus {\mathfrak c}) \ast {\mathfrak a}= {\mathfrak b}\ast {\mathfrak a} \oplus {\mathfrak c}\ast {\mathfrak a} \ .

Первые три условия определяют кольцо \mathbb K как абелеву группу относительно операции \oplus.

§

Традиционно принято называть операцию \oplus суммой, а \astпроизведением; нейтральный элемент относительно суммы называют нулем: {\mathfrak o} \oplus {\mathfrak a}={\mathfrak a}.

На произведение не накладывается практически никаких ограничений. Однако в приложениях, как правило, возникают кольца, в которых умножение может удовлетворять одному или нескольким из следующих условий (справедливых для любых элементов {\mathfrak a}, {\mathfrak b}, {\mathfrak c})

5. ({\mathfrak a} \ast {\mathfrak b}) \ast {\mathfrak c} = {\mathfrak a} \ast ({\mathfrak b} \ast {\mathfrak c}) (ассоциативное кольцо);

6. {\mathfrak a} \ast {\mathfrak b}={\mathfrak b} \ast {\mathfrak a} (коммутативное кольцо).

Элемент {\mathfrak a} \ne {\mathfrak o} коммутативного кольца называется делителем нуля, если {\mathfrak a} \ast {\mathfrak b} = {\mathfrak o} при некотором {\mathfrak b} \ne {\mathfrak o} (элемент {\mathfrak b} также называется делителем нуля).

П

Пример. Множество \mathbb Z_6 классов вычетов по модулю 6_{} образует коммутативное кольцо с делителями нуля: \overline 2 \cdot \overline 3 = \overline 0.

7. Существование единицы, т.е. элемента \mathfrak e такого, что {\mathfrak a} \ast {\mathfrak e}={\mathfrak e} \ast {\mathfrak a}={\mathfrak a} (кольцо с единицей);

8. существование обратного элемента относительно умножения для любого элемента {\mathfrak a} \ne {\mathfrak o}: {\mathfrak a} \ast {\mathfrak a}^{-1}={\mathfrak e}.

П

Пример. \mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb R и \mathbb C_{} — коммутативные и ассоциативные кольца относительно сложения и умножения. \mathbb N_{} не является кольцом, т.к. не существует натурального решения уравнения 3+x=2.

П

Пример. Множества полиномов одной переменной \mathbb Z[x],\mathbb Q[x],\mathbb R[x], \mathbb C[x] и нескольких переменных \mathbb Z[x_1,\dots,x_n], \mathbb Q[x_1,\dots,x_n], \mathbb R[x_1,\dots,x_n], \mathbb C[x_1,\dots,x_n] — коммутативные и ассоциативные кольца относительно сложения и умножения.

П

Пример. Множество квадратных матриц фиксированного порядка с элементами из \mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb R или \mathbb C_{} — некоммутативное и ассоциативное кольцо относительно сложения и умножения.

П

Пример. \mathbb Z_{} — кольцо с единицей, а его подмножество четных чисел — кольцо без единицы.

Для колец обобщается понятие изоморфизма, введенного для групп. Кольцо \mathbb K с операцией сложения \oplus и умножения \ast называется изоморфным кольцу \tilde \mathbb K с операцией сложения \tilde \oplus и умножения \tilde \ast если между элементами множеств \mathbb K и \tilde \mathbb K можно установить такое взаимно-однозначное соответствие: F: \mathbb K \mapsto \tilde \mathbb K, которое сохраняет результаты операций между образами и их прообразами:

F({\mathfrak a} \oplus {\mathfrak b})= F({\mathfrak a}) \tilde \oplus F({\mathfrak b}) \quad и \quad F({\mathfrak a} \ast {\mathfrak b})= F({\mathfrak a}) \tilde \ast F({\mathfrak b}) \ .
?

Доказать, что кольцо \mathbb C_{} комплексных чисел изоморфно кольцу матриц вида

\left(\begin{array}{rr} a & b \\ -b & a \end{array} \right) \qquad npu \qquad \{a,b\} \subset \mathbb R \ .

Идеал

Подмножество \mathbb I кольца \mathbb K называется двусторонним идеалом или просто идеалом кольца \mathbb K если оно является подгруппой кольца \mathbb K относительно операции \oplus (сложения) и замкнуто относительно операции \ast умножения на элементы из \mathbb K. Формально:

1. \mathbb I \subset \mathbb K и \mathbb I — группа относительно \oplus;

2. \mathfrak a \ast \mathfrak k \in \mathbb I, \mathfrak k \ast \mathfrak a \in \mathbb I для \forall \mathfrak a \in \mathbb I и для \forall \mathfrak k \in \mathbb K.

Можно доказать, что для непустого множества \mathbb I условие 1 из определения идеала эквивалентно

1'. \mathfrak a \ominus \mathfrak b \in \mathbb I для \forall \{ \mathfrak a, \mathfrak b\} \subset \mathbb I, где \ominus означает операцию, обратную операции \oplus.

П

Пример. В кольце \mathbb Z_{} целых чисел подмножество четных чисел образует идеал, а вот подмножество нечетных чисел идеала не образует. Обобщаем: в том же кольце, множество \{Ak \mid k \in \mathbb Z \} чисел кратных любому заданному числу A_{} \in \mathbb Z также является идеалом.

П

Пример. В кольце \mathbb A[x] полиномов одной переменной, где \mathbb A_{} означает любое из полей \mathbb Z_{}, \mathbb Q, \mathbb R или \mathbb C_{}, множество \{ a(x) k(x) \mid k(x) \in \mathbb A[x] \} полиномов кратных любому заданному полиному a(x) \in \mathbb A[x] образует идеал.

Пусть \mathbb K — коммутативное кольцо. Идеал \mathbb I этого кольца называется главным идеалом, если существует такой элемент \mathfrak a\in \mathbb K, что

\mathbb I = \left\{ \mathfrak a \ast \mathfrak k \mid \ \mathfrak k \in \mathbb K \right\} \ .

В этом случае элемент \mathfrak a называется порождающим или образующим элементом идеала \mathbb I, а идеал \mathbb I — порожденным элементом \mathfrak a.

П

Пример. Подмножество множества \mathbb A[x] полиномов одной переменной, обращающихся в нуль в данной точке x_0 \in \mathbb A, образует главный идеал, порождающим элементом которого является x-x_0. Подмножество множества \mathbb A[x,y] полиномов двух переменных, обращающихся в нуль в данной точке (x_0,y_0) \in \mathbb A^2, образует идеал, но этот идеал не является главным: полиномы x-x_0 и y-y_0 принадлежат идеалу, но не существует a(x,y) \in \mathbb A[x,y] такого, что a(x_0,y_0)=0 и

x-x_0 \equiv a(x,y)k_1(x,y),\quad y-y_0 \equiv a(x,y)k_2(x,y) \quad \ npu \quad \{k_1(x,y),k_2(x,y)\} \subset \mathbb A[x,y] \ .

Пусть \mathbb K — коммутативное кольцо и \{\mathfrak a_1,\dots, \mathfrak a_m \} \subset \mathbb K. Множество

\left\{ \mathfrak k_1 \ast \mathfrak a_1 \oplus \dots \oplus \mathfrak k_m \ast \mathfrak a_m \ \mid \ \{\mathfrak k_1, \dots, \mathfrak k_m \} \subset \mathbb K \right\}

образует идеал кольца \mathbb K. Говорят, что элементы \mathfrak a_1,\dots, \mathfrak a_m составляют базис этого идеала и этот факт записывают

\mathbb I = \left \langle \mathfrak a_1,\dots, \mathfrak a_m \right \rangle \ .

Говорят, что произвольный идеал \mathbb I допускает конечный базис если, если найдутся такие его элементы \mathfrak a_1,\dots, \mathfrak a_m, что будет выполнено предыдущее равенство.

§

В этом обозначении случилась коллизия с обозначением циклической группы; но альтернативные, принятые в литературе, варианты приводят к другим коллизиям.

§

В отличие от линейных пространств, на базисные элементы не накладывается ограничений типа линейной независимости.

Поле

Полем называется коммутативное и ассоциативное кольцо6) \mathbb F с единицей, в котором выполняется условие 8 . Иначе говоря, в \mathbb F уравнение {\mathfrak a}\ast x = {\mathfrak b} разрешимо при любых {\mathfrak a} и {\mathfrak b} из \mathbb F, {\mathfrak a}\ne {\mathfrak o}.

?

Докажите, что в поле не может быть делителей нуля: из равенства {\mathfrak a} \ast {\mathfrak b} = {\mathfrak o} обязательно следует, что либо {\mathfrak a}= {\mathfrak o} либо {\mathfrak b}= {\mathfrak o}.

П

Пример. \mathbb Q, \mathbb R, \mathbb C_{} — поля, а \mathbb Z_{} — не поле. Множество квадратных матриц фиксированного порядка не является полем, т.к. не при всех A_{} и B_{} уравнение AX=B_{} разрешимо относительно матрицы X_{}.

Наименьшее число элементов, образующих поле, равно двум, потому что поле должно содержать нейтральный элемент \mathfrak o относительно сложения и нейтральный элемент \mathfrak e относительно умножения. Эти два элемента должны удовлетворять правилам сложения и умножения, приведенным в таблицах

\begin{array}{c|cc} \oplus & \mathfrak o & \mathfrak e \\ \hline \mathfrak o & \mathfrak o & \mathfrak e \\ \mathfrak e & \mathfrak e & \mathfrak o \end{array} \qquad \qquad \begin{array}{c|cc} \ast & \mathfrak o & \mathfrak e \\ \hline \mathfrak o & \mathfrak o & \mathfrak o \\ \mathfrak e & \mathfrak o & \mathfrak e \end{array}
П

Пример. Множество классов вычетов \mathbb Z_{M}, рассматриваемое относительно операций сложения и умножения, является полем при простом модуле M= p_{} и не является полем при составном модуле M_{}. Для M=2 получаем, фактически, предыдущую таблицу:

\begin{array}{c|cc} \mathbb{+} & \overline 0 & \overline 1 \\ \hline \overline 0 & \overline 0 & \overline 1 \\ \overline 1 & \overline 1 & \overline 0 \end{array} \qquad \qquad \begin{array}{c|cc} \mathbb{\times} & \overline 0 & \overline 1 \\ \hline \overline 0 & \overline 0 & \overline 0 \\ \overline 1 & \overline 0 & \overline 1 \end{array}

Для M=3 можно было бы взять полную систему вычетов по этому модулю в виде \{ \overline 0, \overline 1, \overline 2\}. Но более изящно выглядит таблица если взять эту систему в виде \{ \overline 0, \overline 1, \overline {-1}\}:

\begin{array}{r|rrr} \mathbb{+} & \overline 0 & \overline 1 & \overline {-1} \\ \hline \overline 0^{} & \overline 0 & \overline 1 & {\overline {-1}}^{} \\ \overline 1 & {\overline 1}^{{}^{}} & \overline{-1}^{} & \overline {0} \\ \overline {-1} & {\overline {-1}}^{{}^{}} & \overline {0} & \overline {1} \end{array} \qquad \qquad \begin{array}{r|rrr} \mathbb{\times} & \overline 0 & \overline 1 & \overline {-1} \\ \hline \overline 0 & {\overline 0}^{{}^{}} & \overline 0 & \overline {0} \\ \overline 1 & \overline 0 & \overline 1 & \overline {-1}^{{}^{}} \\ \overline {-1} & \overline {0} & \overline {-1}^{{}^{}} & \overline {1} \end{array}

Можно доказать, что для любого простого числа p_{} и натурального при m_{} существует поле, содержащее p^{m} элементов; более того для любого конечного поля количество его элементов, т.е. \operatorname{Card} (\mathbb F), должно быть степенью простого числа.

Поле классов вычетов \mathbb Z_{p} дает пример такого поля — и соответствует показателю m_{}=1. Можно доказать, что любое другое поле того же порядка будет изоморфно \mathbb Z_{p}.

Как построить поле порядка p^{m} при m_{}>1 ?

Классы вычетов уже не могут быть выбраны подходящими кандидатами — \mathbb Z_4 не является полем. Для ответа на этот вопрос проделаем сначала «шаг в сторону» — рассмотрим пример бесконечного поля.

Поле из полиномов

Множества полиномов \mathbb Z[x], \mathbb Q[x], \mathbb R[x], \mathbb C[x] от одной переменной x_{}, рассматриваемые относительно операция сложения и умножения, не образуют полей, поскольку не существует полинома s(x), удовлетворяющего тождеству f(x) s(x) \equiv 1 при \deg f(x)\ge 1. Попробуем всё-таки создать на основе множества \mathbb Q[x] новое, которое будет являться полем. Основная трудность — ввести подходящую операцию умножения. Будем решать ее исходя из аналогии, существующей между полиномами и целыми числами — попробуем сконструировать множество классов вычетов на основе \mathbb Q[x]. С этой целью выберем (пока произвольный) полином M(x) \in \mathbb Q[x], \deg M\ge 1. Будем называть полиномы f_{}(x) и g_{}(x) сравнимыми по модулю M(x) если они имеют одинаковые остатки при делении на M(x), или, что то же, если их разность f(x)-g_{}(x) делится на M(x), или, что то же, f_{}(x) можно представить в виде:

f(x)\equiv g(x) + M(x)q(x) \quad npu \quad q(x) \in \mathbb Q[x] \ .

Записывать этот факт будем так же как и для целых чисел:

f(x) \equiv g(x) \pmod{M(x)} \ .

Сложение и умножение будем также производить по модулю M(x), т.е. по вычислении суммы или произведения результаты будем «усекать» до остатков от деления на M(x). Рассмотрим теперь подмножество \mathbb Q_{m-1}[x] полиномов, степени которых строго меньше m=\deg M(x). Cумма полиномов f(x)+g(x) из этого множества будет снова полиномом этого множества, поэтому остаток от ее деления на M(x) совпадает с ней самой. Рассмотрим повнимательней операцию умножения по модулю:

f(x)\cdot g(x) \pmod{M(x)} \ .

Для нее выполняются аксиомы 4 7 из предыдущего пункта. В самом деле, остаток от деления произведения f(x)\cdot g(x) \cdot h(x) на M(x) не зависит от порядка вычисления7):

\left[f(x)\cdot g(x) \pmod{M(x)}\right] \cdot h(x) \pmod{M(x)} \equiv f(x)\cdot \left[g(x) \cdot h(x) \pmod{M(x)}\right] \pmod{M(x)} \ .

Полином тождественно равный 1_{} — именно тот, что обеспечивает выполнение аксиомы 7 . Сложности возникают с проверкой выполнимости аксиомы 8 . Для любого полинома f_{}(x), \deg f < m надо найти полином h_{}(x) с тем же ограничением на степень, для которого выполняется условие

f(x) h(x) \equiv 1 \pmod{M(x)} \ ,

или, эквивалентно, должен найтись еще один полином q(x) \in \mathbb Q[x] такой, что пара полиномов \{h(x), q(x)\} обеспечит выполнение тождества

f(x) h(x) +q(x) M(x) \equiv 1 \ .

Последнее тождество имеет специальное название — в теории полиномов одной переменной оно известно как тождество Безу. Существование пары полиномов \{h(x), q(x)\} \subset \mathbb Q[x] гарантировано при условии взаимной простоты полиномов f_{}(x) и M(x): \operatorname{HOD} (f(x),M(x)) \equiv 1. Более того, при выполнении последнего условия существует единственный полином h(x) \in \mathbb Q[x] степени не выше m-1, удовлетворяющий этому тождеству. Конструктивные способы нахождения этого полинома можно найти ЗДЕСЬ. Итак, при условии \operatorname{HOD} (f(x),M(x)) \equiv 1 будет существовать решение сравнения f(x) h(x) \equiv 1 \pmod{M(x)} относительно h(x)\in \mathbb Q_{m-1}[x]. Однако, аксиома 8 требует существования решения сравнения для решительно всех полиномов f(x) \in \mathbb Q_{m-1}[x]. И для выполнения этого требования полином M(x) должен быть взят взаимно простым с любым полиномом f(x) \in \mathbb Q[x] степени \le m-1. Как этого добиться? — Противоположное свойство — нетривиальность \operatorname{HOD} (f(x),M(x))= d(x) — имеет следствием возможность разложения M(x) на множители

M(x)\equiv d(x) M_1(x) \quad npu \quad \{ d(x),M_1(x)\} \subset \mathbb Q[x] , \deg d(x) < m, \deg M_1(x) < m \ .

Иными словами, в этом случае полином M(x) является приводимым над множеством (полем) \mathbb Q_{}.

Вывод. Операция умножения полиномов из \mathbb Q_{m-1}[x] по модулю M(x) будет удовлетворять аксиомам поля при условии, что M(x) неприводим над множеством (полем) \mathbb Q_{}.

П

Пример. Пусть M(x)=x^3+3\,x+1. Этот полином неприводим над полем \mathbb Q_{}. Для любого полинома f_{}(x)\in \mathbb Q[x] степени не выше второй должен существовать обратный относительно умножения по модулю M(x). Найдем его выражение для полинома f(x)=a_0x+a_1 ,\ a_0\ne 0. Для нахождения полиномов h(x) и q_{}(x) из тождества Безу

h(x)(a_0x+a_1)+q(x)M(x) \equiv 1

можно было бы воспользоваться либо алгоритмом Евклида с вычислением континуанты, либо методом неопределенных коэффициентов (оба метода изложены ЗДЕСЬ ). Однако, поскольку коэффициенты a_0,a_1 — не числовые, а буквенные (символьные), применение упомянутых алгоритмов приведет к громоздким выражениям. Поэтому — из соображений не столько конструктивных, сколько наглядных — мы воспользуемся представлениями искомых полиномов h(x) и q_{}(x) в виде определителей. Подходящий для этой цели аппарат связан с понятием результанта полиномов f_{}(x) и M(x) и изложен ЗДЕСЬ. Собственно говоря, нас интересует только один полином — именно h(x) — и вот его выражение:

h(x)\equiv \frac{\left| \begin{array}{cccl} a_0 & a_1 & 0 & x^2 \\ 0 & a_0 & a_1 & x \\ 0 & 0 & a_0 & 1 \\ 1 & 0 & 3 & 0 \end{array}\right|} {\left| \begin{array}{cccc} a_0 & a_1 & 0 & 0 \\ 0 & a_0 & a_1 & 0 \\ 0 & 0 & a_0 & a_1 \\ 1 & 0 & 3 & 1 \end{array}\right|} \ .

В знаменателе дроби как раз и стоит представление Сильвестра для результанта \mathcal R(f,M) полиномов f_{}(x) и M(x) и этот определитель равен

\mathcal R(f,M) = a_0^3-3\,a_0^2a_1-a_1^3=a_0^3\left[1-3 \frac{a_1}{a_0}- \left(\frac{a_1}{a_0}\right)^3 \right]\equiv a_0^3 M(-a_1/a_0) \ .

Поскольку, по предположению, M(x) неприводим над \mathbb Q_{}, то M(-a_1/a_0)\ne 0 (полином M(x) не может иметь рациональных корней). Следовательно, выражение для h(x) в виде отношения определителей существует при любых \{a_0,a_1\} \in \mathbb Q[x]. Раскладываем определитель из числителя по последнему столбцу:

h(x)\equiv \frac{-x^2\left|\begin{array}{ccc} 0 & a_0 & a_1 \\ 0 & 0 & a_0 \\ 1 & 0 & 3 \end{array}\right|+x \left|\begin{array}{ccc} a_0 & a_1 & 0 \\ 0 & 0 & a_0 \\ 1 & 0 & 3 \end{array}\right|- \left|\begin{array}{ccc} a_0 & a_1 & 0 \\ 0 & a_0 & a_1 \\ 1 & 0 & 3 \end{array}\right|}{a_0^3-3\,a_0^2a_1-a_1^3}\equiv \frac{-a_0^2x^2+a_0a_1x-(3\,a_0^2+a_1^2)}{a_0^3-3\,a_0^2a_1-a_1^3} \ .

Проверка. Если умножить числитель последней дроби на a_0x+a_{1} и прибавить к полученному a_0^3 M(x), то получим как раз выражение из знаменателя.

П

Пример. Попробуем решить аналогичную задачу для полинома M(x)=x^{4}+4. Нахождение полинома обратного полиному первой степени f(x)=a_0x+a_1 \in \mathbb Q[x] ,\ a_0\ne 0 относительно умножения по модулю M(x) полностью аналогично предыдущему примеру, и мы просто приведем ответ:

h(x)\equiv \frac{-a_0^3x^3+a_0^2a_1x^2-a_0a_1^2x+a_1^3}{4\,a_0^4+a_1^4} \ .

Знаменатель не обращается в нуль ни при каких \{a_0,a_1\} \subset \mathbb Q.

Рассмотрим теперь полином второй степени f(x)=a_0x^2+a_1x+a_2 \in \mathbb Q[x], a_0\ne 0.

h(x)\equiv \left|\begin{array}{cccccl} a_0 & a_1 & a_2 & 0 & 0 & x^3 \\ 0 & a_0 & a_1 & a_2 & 0 & x^2 \\ 0 & 0 & a_0 & a_1 & a_2 & x \\ 0 & 0 & 0 & a_0 & a_1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \end{array} \right| \Bigg/ \left|\begin{array}{cccccc} a_0 & a_1 & a_2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_0 & a_1 & a_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_0 & a_1 & a_2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a_0 & a_1 & a_2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \end{array} \right| \equiv
\equiv \frac{(-a_1^3+2\,a_0a_1a_2)\,x^3-(4\,a_0^3-a_1^2a_2+a_0a_2^2)\,x^2+(4\,a_0^2a_1-a_1a_2^2)x-(4\,a_0a_1^2-4\,a_0^2a_2-a_2^3)}{\mathcal R(f,M)}

при

\mathcal R(f,M)=16\,a_0^4+8\,a_0^2a_2^2-16\,a_0a_1^2a_2+a_2^4+4\,a_1^4 \ .

Вопрос об обращении знаменателя в нуль при рациональных наборах a_0,a_1,a_2 становится нетривиальным. Зная ответ, дадим подсказку: \mathcal R(f,M)=0, например, при a_0=t, a_1=2\,t,\ a_3=2\,t при \forall t\in \mathbb Q. Для таких наборов коэффициентов полином f_{}(x) имеет нетривиальный делитель с M(x), и, следовательно, обратного относительно умножения по модулю M(x) для f_{}(x) не существует. Объяснение этой неудачи кроется в факте приводимости полинома M(x) над \mathbb Q_{}:

x^4+4\equiv (x^2+2\,x+2)(x^2-2\,x+2) \ .

Теперь очевидно, что все полиномы вида

f(x)=tx^2\pm 2\,t+2\, t \quad npu \quad t \in \mathbb Q

не будут иметь обратных относительно умножения по модулю M(x). За исключением этого подмножества, все остальные полиномы второй степени обратимы относительно указанной операции. Очевидно, что и среди полиномов третьей степени можно найти необратимые.


§

Возвращаясь теперь к вопросу, поставленному в конце предыдущего пункта, теперь можем сформулировать ответ: конечное поле порядка p^m будем строить комбинацией двух объектов — поля \mathbb Z_p классов вычетов по простому модулю p_{} и полиномов одной переменной степени не выше m_{}-1 с операцией умножения по модулю некоторого неприводимого полинома M(x) степени m_{}. Подробнее ПОЛЯ ГАЛУА.

Алгебра

Алгеброй \mathbb A_{} над полем \mathbb F называется такое кольцо, в котором определено умножение \star элементов на элементы из \mathbb F, удовлетворяющее аксиомам:

9. ({\mathbf A}\oplus {\mathbf B})\star {\mathfrak a}={\mathbf A}\star {\mathfrak a}\oplus {\mathbf B}\star {\mathfrak a}, \quad {\mathbf A}\star {\mathfrak e}={\mathbf A};

10. ({\mathbf A} \ast {\mathbf B})\star {\mathfrak a}=({\mathbf A} \star {\mathfrak a})\ast {\mathbf B}= {\mathbf A}\ast ({\mathbf B}\star {\mathfrak a})

при любых \{{\mathbf A},{\mathbf B}\} \subset \mathbb A_{} и {\mathfrak a} \in \mathbb F.

Первым примером алгебр над полем \mathbb R_{} явились гиперкомплексные числа. В 1843 г. У.Гамильтон придумал теорию кватернионов, т.е. чисел, являющихся n_{}-мерными (при n>2) аналогами комплексных чисел. Произвольный кватернион записывается в виде линейной комбинации

X=x_01+x_1 \mathbf i+x_2 \mathbf j+x_3 \mathbf k, \quad npu \quad \{x_0,x_1,x_2,x_3 \} \subset \mathbb R

элементов базиса 1, \mathbf i, \mathbf j, \mathbf k. Здесь 1_{} — обычная (вещественная) единица, а умножение остальных элементов базиса задается таблицей

\times \mathbf i {}_{} \quad \mathbf j \mathbf k
\mathbf i -1 {}_{} \quad \mathbf k -\mathbf j
\mathbf j -\mathbf k -1 {}_{} \ \ \mathbf i
\mathbf k {}_{} \ \ \mathbf j -\mathbf i -1

Часто в записи кватерниона 1_{} опускается:

X=x_0+\underbrace{x_1 \mathbf i+x_2 \mathbf j+x_3 \mathbf k}_{\mathbf V}

здесь x_{0} называется скалярной, а {\mathbf V}векторной частями кватерниона; при x_0=0 кватернион называется вектором и может быть отождествлен с обычным вектором из \mathbb R^{3}. Произведение двух таких векторов {\mathbf V}_1 и {\mathbf V}_2 (в соответствии с приведенной выше таблицей) выражается через скалярное и векторное произведения векторов:

{\mathbf V}_1 \cdot {\mathbf V}_2=-\left({\mathbf V}_1,{\mathbf V}_2\right)+\left[{\mathbf V}_1,{\mathbf V}_2 \right]

что показывает тесную связь кватернионов с векторным исчислением (последнее и возникло из теории кватернионов).

Кватернионы обладают всеми свойствами поля, кроме коммутативности умножения, и включают в себя комплексные числа.

Задачи

ЗДЕСЬ.

Источники

[1]. Гроссман И., Магнус В. Группы и их графы. М.Мир. 1971.

[2]. Реньи А. Трилогия о математике. М.Мир.1980.

[3]. Задача из W.L.Putnam mathematical competition. American Mathematical Monthly, V.80, N 2, 1973. P.172-173

[4]. Задача E2300. American Mathematical Monthly, V.79, N 5, 1972.

1) ganze lineare (нем.) — полная линейная
2) Абель Нильс Хенрик (Abel Niels Henrik, 1802–1829) — норвежский математик. Доказал неразрешимость в радикалах общего алгебраического уравнения пятой степени. При изучении алгебраических уравнений широко использовал понятие коммутативной группы. Создал теорию эллиптических функций.
3) На языке мат.анализа это называется сложной функцией.
4) cardinalis (лат.) — 1) количественный; 2) главный, основной; 3) кардинал.
5) Произвольное кольцо принято обозначать буквой R_{} — от немецкого Ring, однако в случае настоящего ресурса получится коллизия с полем вещественных чисел \mathbb R_{}.
6) field (англ.)
7) Здесь \equiv_{} означает тождественное равенство.

2016/11/17 12:48 редактировал au