УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Для понимания материалов настоящего раздела крайне желательно просмотреть материалы раздела ПОЛИНОМ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.


Рациональные дроби

Будем обозначать через \mathbb A_{} какое-либо из множеств \mathbb Q, \mathbb R_{} или \mathbb C_{}.

Определения

Рациональной дробью или дробно-рациональной функцией над множеством \mathbb A_{} называется выражение вида

\frac{g(x)}{f(x)} \ npu \ \{f(x),g(x) \}\subset \mathbb A[x],\ f(x)\not\equiv 0 \ .

Для экономии места будем опускать слово «рациональный» и, по аналогии с числовыми дробями, записывать рациональную дробь в виде g_{}(x)/f(x). Полином g_{}(x) называется числителем дроби, а f_{}(x)знаменателем дроби.

Дроби g_1(x)/ f_1(x) и g_2(x)/f_2(x) называются равными если f_1(x)g_2(x)-f_2(x)g_1(x) \equiv 0; будем этот факт записывать:

\frac{g_1(x)}{f_1(x)}\equiv \frac{g_2(x)}{f_2(x)} \ .

В противном случае дроби называются неравными.

П

Пример.

\frac{x-1}{x^2-1} \equiv \frac{1}{x+1} \ ,

и, в общем случае,

\frac{h(x)g(x)}{h(x)f(x)} \equiv \frac{g(x)}{f(x)}\ npu \ h(x)\in \mathbb A[x],\, h(x)\not\equiv 0 \ .

§

Фактически, предыдущее определение допускает «сокращение» дроби на общий множитель числителя и знаменателя. С точки зрения математического анализа, такое сокращение корректно только в области определения дроби, т.е. для значений x_{}, не обращающих знаменатель в нуль. Но мы будем пренебрегать этим ограничением.

Дробь называется несократимой если ее числитель и знаменатель являются взаимно простыми полиномами.

Операции сложения и умножения дробей вводятся аксиоматически правилами

\frac{g_1(x)}{f_1(x)}+\frac{g_2(x)}{f_2(x)}= \frac{g_1(x)f_2(x)+g_2(x)f_1(x)}{f_1(x)f_2(x)} \ ; \ \frac{g_1(x)}{f_1(x)} \cdot \frac{g_2(x)}{f_2(x)}= \frac{g_1(x)g_2(x)}{f_1(x)f_2(x)} \ .
Т

Теорема 1. Операции сложения и умножения дробей подчиняются аксиомам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности.

Еще одна аксиома связывает между собой два множества — множество полиномов над \mathbb A_{} и множество дробей над \mathbb A_{}. Условимся отождествлять дробь вида g(x)/1 с полиномом g_{}(x). Тогда множество рациональных дробей будет включать в качестве подмножества множество \mathbb A[x].

=>

Обратной для дроби g_{}(x)/ f(x) относительно операции умножения будет дробь f_{}(x)/ g(x); предполагается, что f(x) \not\equiv 0, g(x) \not\equiv 0.

Дробь называется правильной если степень числителя меньше степени знаменателя.

Т

Теорема 2. Любую дробь можно представить в виде суммы полинома и правильной несократимой дроби.

Доказательство. Пусть \operatorname{HOD}(f,g)=d(x) и f(x)\equiv f_1(x)d(x),\, g(x)\equiv g_1(x)d(x). Тогда

\frac{g(x)}{f(x)}\equiv \frac{g_1(x)}{f_1(x)} \ npu \ \operatorname{HOD}(f_1,g_1)=1 \ .

Далее, если \deg g_1 < \deg f_1, то дробь уже правильная. В противном случае разделим g_1 на f_1: g_1(x)\equiv q(x)f_1(x)+r(x) при \deg r< \deg f_1. Тогда

\frac{g(x)}{f(x)}\equiv q(x)+\frac{r(x)}{f_1(x)} \ ,

и мы получили представление указанное в теореме.

Т

Теорема 3. Сумма и произведение правильных дробей являются правильными дробями.

Разложение дроби на простейшие...

Т

Теорема 4. Если дробь g_{}(x)/f(x) над \mathbb A_{} является правильной и ее знаменатель раскладывается в произведение взаимно простых множителей:

f(x)\equiv f_1(x)f_2(x)\quad npu \quad \{f_1(x),f_2(x) \}\subset \mathbb A[x], \ \operatorname{HOD}(f_1,f_2)=1 \ , \deg f_1 < \deg f, deg f_2 < \deg f ,

то

\frac{g(x)}{f(x)}\equiv \frac{g_1(x)}{f_1(x)}+\frac{g_2(x)}{f_2(x)} \ ,

где g_1(x)/ f_1(x) и g_2(x)/ f_2(x)правильные дроби. Такое представление единственно.

Доказательство. На основании теоремы из ПУНКТА условие \operatorname{HOD}(f_1(x),f_2(x))=1 эквивалентно существованию в \mathbb A_{} полиномов u_1(x) и u_2(x), удовлетворяющих тождеству Безу u_1(x)f_1(x)+u_2(x)f_2(x)\equiv 1. Тогда

\frac{g(x)}{f(x)}\equiv\frac{g(x)\left(u_1(x)f_1(x)+u_2(x)f_2(x) \right)}{f_1(x)f_2(x)} \equiv \frac{g(x)u_1(x)}{f_2(x)}+\frac{g(x)u_2(x)}{f_1(x)} \ .

Возьмем в качестве g_1(x) остаток от деления g(x)u_2(x) на f_1(x):

g(x)u_2(x) \equiv q(x)f_1(x)+ g_1(x) \ , \deg g_1 < \deg f_1 \ .

Тогда

\frac{g(x)}{f(x)}\equiv \frac{g(x)u_1(x)}{f_2(x)}+q(x)+ \frac{g_1(x)}{f_1(x)} \equiv \frac{g(x)u_1(x)+q(x)f_2(x)}{f_2(x)} + \frac{g_1(x)}{f_1(x)} \ .

Здесь {g(x)}/{f(x)} и {g_1(x)}/{f_1(x)} являются правильными дробями. Но тогда, на основании теоремы 3, и их разность, т.е. дробь {(g(x)u_1(x)+q(x)f_2(x))}/{f_2(x)} должна быть правильной. Обозначив g_2(x)= g(x)u_1(x)+q(x)f_2(x), получим требуемое в теореме представление.

Для доказательства единственности этого представления предположим, что имеется еще одно представление

\frac{g(x)}{f(x)}\equiv \frac{\widetilde{g}_1(x)}{f_1(x)} +\frac{\widetilde{g}_2(x)}{f_2(x)}

при обеих правильных дробях в правой части; пусть, для определенности, g_1(x)\not\equiv \widetilde{g}_1(x). Вычитая из одного представления другое, приходим к тождеству

\left(g_1(x)- \widetilde{g}_1(x) \right) f_2(x) \equiv \left(\widetilde{g}_2(x) - g_2(x) \right) f_1(x) \ .

Поскольку \operatorname{HOD}(f_1,f_2)=1, то, по теореме 2 из ПУНКТА, полином g_1(x)- \widetilde{g}_1(x) должен делиться на f_1(x). Последнее, однако, невозможно, поскольку \deg \left(g_1-\widetilde{g}_1 \right) < \deg f_1.

П

Пример. Разложить дробь

\frac{x^2+1}{x^5+x+1}

в сумму правильных дробей.

Решение. Знаменатель может быть разложен на множители, например, так: x^5+x+1\equiv (x^2+x+1)(x^3-x^2+1). Обозначив f_1(x)= x^2+x+1 , f_2(x) = x^3-x^2+1, ищем \operatorname{HOD}(f_1,f_2) по алгоритму Евклида:

\begin{array}{lcl} f_2(x) &\equiv& (x-2)f_1(x) + (x+3) \ , \\ f_1(x) &\equiv& (x-2)(x+3) + 7 \ ; \end{array}

очевидно \operatorname{HOD}(f_1,f_2)=1. Полиномы, удовлетворяющие тождеству Безу, можно получить с помощью континуант:

u_1(x)=1/7 (x^2 -4\,x+5),\, u_2(x)=1/7 (-x+2) .

Далее, следуя схеме доказательства предыдущей теоремы, делим g(x)u_2(x) на f_1(x):

g_1(x)=-1/7(3\,x+1) \ , q(x)=1/7(-x+3) \Rightarrow
\Rightarrow \ g_2(x)= g(x)u_1(x)+q(x)f_2(x)=1/7(3\,x^2-5\,x+8) \ .

Ответ.

\frac{x^2+1}{x^5+x+1} \equiv \frac{-1/7(3\,x+1)}{x^2+x+1}+ \frac{1/7(3\,x^2-5\,x+8)}{x^3-x^2+1} \ .
=>

Если знаменатель правильной дроби g(x)/f(x) представляет собой произведение f(x)\equiv f_1(x)\times \dots \times f_K(x) попарно взаимно простых полиномов из \mathbb A_{}[x], то дробь может быть разложена на сумму правильных дробей над \mathbb A_{}:

\frac{g(x)}{f(x)}\equiv \frac{g_1(x)}{f_1(x)} + \dots + \frac{g_K(x)}{f_K(x)} \ .

Такое разложение единственно.

=>

Пусть каноническое разложение полинома f_{}(x) над \mathbb A_{} задается формулой

f(x)\equiv \Phi_1^{{\mathfrak m}_1}(x) \Phi_2^{{\mathfrak m}_2} (x) \times \dots \times \Phi_K^{{\mathfrak m}_K}(x) .

Тогда правильная дробь g_{}(x)/f(x) может быть разложена на сумму правильных дробей:

\frac{g(x)}{f(x)}\equiv \frac{g_{1}(x)}{\Phi_1^{{\mathfrak m}_1}(x)}+\dots+ \frac{g_{K}(x)}{\Phi_K^{{\mathfrak m}_K}(x)} \ ;

при этом полиномы g_{1}(x),\dots,g_{K}(x) определяются однозначно.

Правильная дробь вида G(x)/\Phi^{\mathfrak m}(x), где \Phi(x) является неприводимым полиномом над \mathbb A_{} , называется примарной дробью над \mathbb A_{}. Примарная дробь называется простейшей дробью над \mathbb A_{}, если \deg G < \deg \Phi.

Задача. Разложить данную правильную дробь на сумму простейших.

Т

Теорема 5. Любая примарная дробь над \mathbb A_{} может быть представлена в виде суммы простейших над \mathbb A_{} и такое представление единственно.

Доказательство. Пусть G(x)/\Phi^{{\mathfrak m}}(x) — примарная. Если \deg G < \deg \Phi, то теорема доказана. Пусть \deg G \ge \deg \Phi, тогда разделим G(x) на \Phi(x): G(x)\equiv Q(x)\Phi(x)+G_1(x),\, \deg G_1 < \deg \Phi. Тогда

\frac{G(x)}{\Phi^{{\mathfrak m}}(x)}\equiv \frac{Q(x)}{\Phi^{{\mathfrak m}-1}(x)} +\frac{G_1(x)}{\Phi^{{\mathfrak m}}(x)} \ ,

и вторая дробь справа, очевидно, простейшая. Если \deg Q < \deg \Phi, то теорема доказана; в противном случае поделим Q(x) на \Phi(x). Продолжаем процесс, на каждом этапе степень числителя уменьшается по сравнению с предыдущим этапом. За конечное число шагов мы добьемся того, чтобы эта степень стала меньшей \deg \Phi. Окончательное разложение на простейшие будет иметь вид:

\frac{G(x)}{\Phi^{{\mathfrak m}}(x)}\equiv \frac{G_1(x)}{\Phi^{{\mathfrak m}}(x)}+\frac{G_2(x)}{\Phi^{{\mathfrak m}-1}(x)} + \dots + \frac{G_{\mathfrak m}(x)}{\Phi(x)} \ ;

здесь, возможно, некоторые числители могут оказаться тождественно равными нулю, а для остальных же будет выполняться условие \deg G_j < \deg \Phi.

Т

Теорема 6. Любая правильная дробь над \mathbb A_{} может быть представлена в виде суммы простейших над \mathbb A_{} и такое представление единственно.

Доказательство следует из следствия к теореме 4 и теоремы 5.

П

Пример. Разложить дробь

\frac{x^5+2\,x^4-x+1}{x^9+x^7+3\,x^6-x^5+2\,x^4+2\,x^3-x^2+x+1}

на простейшие над \mathbb Q_{}.

Решение. Сначала выписываем каноническое разложение знаменателя1):

x^9+x^7+3\,x^6-x^5+2\,x^4+2\,x^3-x^2+x+1\equiv (x^3-x+1)(x^3+x+1)^2 \ .

Теперь следуем рассуждениям доказательства теоремы 5. Обозначив f_1 = x^3-x+1,\, f_2 = (x^3+x+1)^2, находим полиномы u_{1}(x) и u_{2}(x), удовлетворяющие тождеству Безу u_1(x)f_1(x)+u_2(x)f_2(x)\equiv 1. Алгоритм Евклида даст нам выражения для частных

\begin{array}{lcl} f_2(x) &\equiv& (x^3+3\,x+1)f_1(x) + 4\,x^2 \ , \\ f_1(x) &\equiv& 1/4\,x(4\,x^2) + (1-x) \ , \\ 4x^2 &\equiv & (-4\,x-4)(1-x)+ 4 \ , \end{array}

которые мы используем для вычисления континуант

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline j & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline q_j & - & x^3+3\,x+1 & 1/4\,x & -4\,x-4 \\ \hline K_j(q_1,q_2,\dots,q_j) & 1 & x^3+3\,x+1 & 1/4\,x^4+3/4\,x^2+ & -x^5-x^4-2\,x^3- \\ &&& +1/4\,x+1 & -4\,x^2-2\,x-3 \\ \hline K_{j-1}(q_2,\dots,q_j) & - & 1 & 1/4\,x & -x^2-x +1 \\ \hline \end{array}

Учитывая знаки, получаем полиномы, удовлетворяющие тождеству

f_1(x) \left(x^5+x^4+2\,x^3+4\,x^2 +2\,x+3\right) +f_2(x) \left(-x^2-x+1 \right) \equiv 4 \ ,

откуда и получаются искомые полиномы:

u_1(x)= 1/4 \left(x^5+x^4+2\,x^3+4\,x^2 +2\,x+3\right),\ u_2(x)= 1/4 \left(-x^2-x+1\right) \ .

Исходная дробь, следовательно, может быть представлена в виде

(x^5+2\,x^4-x+1)\left(\frac{u_2(x)}{x^3-x+1} +\frac{u_1(x)}{(x^3+x+1)^2} \right) \equiv
\equiv \frac{1/2x^2-1/4}{x^3-x+1} +\frac{-1/2x^5-5/4x^3+1/2x^2+3/4x+5/4}{(x^3+x+1)^2} \ ,

из которых первая является простейшей над \mathbb Q_{}, а вторая — не является. Делим ее числитель на x^3+x+1.

Ответ.

\frac{\frac{1}{2}x^2 -\frac{1}{4}}{x^3-x+1} +\frac{-\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{4}}{x^3+x+1} +\frac{x^2+\frac{3}{2}x+2}{(x^3+x+1)^2} \ .

Еще один способ нахождения числителей простейших дробей при разложении на них правильной дроби состоит в подборе их коэффициентов; этот метод мы проиллюстрируем в следующих пунктах.

...над множеством комплексных чисел

Согласно основной теоремы высшей алгебры, любой полином f_{}(x) с комплексными коэффициентами может быть разложен на линейные множители:

f(x)\equiv a_0(x-\lambda_1)^{{\mathfrak m}_{1}}\times \dots \times (x-\lambda_{\mathfrak r})^{{\mathfrak m}_{{\mathfrak r}}} , \quad npu \quad {\mathfrak m}_{1}+{\mathfrak m}_{2}+\dots+{\mathfrak m}_{\mathfrak r}=n= \deg f

и всех различных числах \{ \lambda_1,\dots,\lambda_{\mathfrak r } \} \subset \mathbb C. Следовательно, простейшими над \mathbb C_{} могут быть только дроби вида

\frac{A}{(x-\lambda)^k} \quad npu \ k\in \mathbb N \ .

Из теоремы 6 тогда следует, что разложение дроби g_{}(x)/f(x) на простейшие над \mathbb C_{} имеет вид

\begin{array}{lcll} \displaystyle \frac{g(x)}{f(x)} &=& \displaystyle \frac{A_{1,1}}{(x-\lambda_1)}+\frac{A_{1,2}}{(x-\lambda_1)^2}+ \dots+ \frac{A_{1,{\mathfrak m}_1}}{(x-\lambda_1)^{{\mathfrak m}_1}}+ & \\ &+& \displaystyle \frac{A_{2,1}}{(x-\lambda_2)}+\frac{A_{2,2}}{(x-\lambda_2)^2}+ \dots+ \frac{A_{2,{\mathfrak m}_2}}{(x-\lambda_2)^{{\mathfrak m}_2}}+ & \\ &+&\dots + & \\ &+& \displaystyle \frac{A_{{\mathfrak r},1}}{(x-\lambda_{\mathfrak r})}+\frac{A_{{\mathfrak r},2}}{(x-\lambda_{\mathfrak r})^2}+ \dots+ \frac{A_{{\mathfrak r},{\mathfrak m}_{\mathfrak r}}}{(x-\lambda_{\mathfrak r})^{{\mathfrak m}_{\mathfrak r}}} &= \\ && & \displaystyle = \sum_{j=1}^{\mathfrak r} \sum_{\ell=1}^{{\mathfrak m}_j} \frac{A_{j,\ell}}{ (x-\lambda_j)^{\ell}} \ . \end{array}
П

Пример. Разложить дробь

\frac{-(2+3\, \mathbf i )x+(1-10\, \mathbf i)}{x^3+3 \mathbf i\, x^2-3(1+2 \mathbf i )x+10-5 \mathbf i}

на простейшие над \mathbb C_{}.

Решение. Разложение знаменателя на линейные множители:

x^3+3 \mathbf i \, x^2-3(1+2 \mathbf i )x+10-5 \mathbf i \equiv (x+1+2 \mathbf i )^2(x -2 - \mathbf i) \ .

Следовательно, разложение на простейшие:

\frac{A_1}{x+1+2 \mathbf i }+\frac{A_2}{(x+1+2 \mathbf i )^2 }+\frac{A_3}{x-2- \mathbf i } \ .

Величины A_1,A_2,A_3 находим методом неопределенных коэффициентов. После приведения к общему знаменателю, в числителе получаем полином

A_1(x+1+2 \mathbf i)(x-2- \mathbf i)+A_2(x-2- \mathbf i )+A_3(x+1+2 \mathbf i )^2 =
=(A_1+A_3)x^2+\left((-1+ \mathbf i)\, A_1+A_2+(2+4 \mathbf i)A_3 \right)x-5 \mathbf i\,A_1 -(2+ \mathbf i ) \,A_2 +(-3+4 \mathbf i )A_3 \ ,

который должен быть тождественно равен числителю исходной дроби, т.е. -(2+3\, \mathbf i )x+(1-10\, \mathbf i). Отсюда получаем систему линейных уравнений

\left\{ \begin{array}{rrrl} A_1+& &A_3= & 0, \\ (-1+ \mathbf i)\, A_1+&A_2+& (2+4 \mathbf i)A_3= & -(2+3\, \mathbf i ), \\ -5 \mathbf i\, A_1 - & (2 + \mathbf i) A_2 +& (-3+4 \mathbf i)A_3= & 1-10\, \mathbf i \end{array} \right.

имеющую единственное решение: A_1=1,\, A_2=1,\, A_3=-1.

Ответ.

\frac{1}{x+1+2 \mathbf i }+\frac{1}{(x+1+2 \mathbf i)^2 }+\frac{-1}{x-2- \mathbf i } \ .

В частном случае, когда корень полинома f_{}(x) оказываются простым, структура соответствующей ему простейшей дроби вычисляется особенно просто.

Т

Теорема 7. Если \lambda_1простой корень полинома f_{}(x), то в разложении дроби g_{}(x)/f(x) на простейшие входит не более одной дроби, содержащей в знаменателе (x- \lambda_1); эта дробь имеет вид

\frac{g(\lambda_1)}{f^{\prime}(\lambda_1)(x-\lambda_1)} \ .

Доказательство. Пусть \lambda_1 — корень полинома f_{}(x), тогда f(x)\equiv (x-\lambda_1)f_2(x), где f_2(x) \in \mathbb C[x], \deg f_2 = \deg f -1; если при этом корень \lambda_1 — простой, то f_2(\lambda_1) \ne 0. На основании теоремы 4 имеет место разложение

\frac{g(x)}{f(x)} \equiv \frac{A_1}{x-\lambda_1}+ \frac{g_2(x)}{f_2(x)} \ .

Это равенство имеет место тогда и только тогда, когда

g(x)\equiv A_1f_2(x)+g_2(x)(x-\lambda_1) \ .

Если подставить в него \lambda_1, то получим g(\lambda_1)=A_1f_2(\lambda_1). Продифференцируем тождество f(x)\equiv (x-\lambda_1)f_2(x) по x_{} и подставим x=\lambda_1, получим: f^{\prime}(\lambda_1)=f_2(\lambda_1).

=>

Если все корни \lambda_{1},\dots,\lambda_n полинома f_{}(x) являются простыми, то имеет место следующая формула Лагранжа:

\frac{g(x)}{f(x)}=\sum_{j=1}^n \frac{g(\lambda_j)}{f^{\prime}(\lambda_j)(x-\lambda_j)} \ .

=>

Если все корни \lambda_{1},\dots,\lambda_n полинома f_{}(x) являются простыми, то

\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\sum_{j=1}^n \frac{1}{x-\lambda_j} \ .

П

Пример. Разложить дробь

\frac{3\,x^3-x+7}{4\,x^4-8\,x^3+4\,x^2-9}

на простейшие над \mathbb C_{}.

Решение. Разложение знаменателя на линейные множители:

4\,x^4-8\,x^3+4\,x^2-9 \equiv 4\, \left(x- \frac{1+ \mathbf i \sqrt{5}}{2}\right)\left(x- \frac{1- \mathbf i \sqrt{5}}{2}\right)\left(x-\frac{1+ \sqrt{7}}{2}\right)\left(x-\frac{1- \sqrt{7}}{2}\right) \ .

Поскольку все корни знаменателя простые, можно использовать формулу Лагранжа. Вычисляем значение дроби g(x)/f^{\prime}(x) на корнях:

\frac{g(x)}{f^{\prime}(x)}\bigg|_{x=(1 \pm \mathbf i \sqrt{5})/2}=\frac{\sqrt{5}}{48} (\sqrt{5} \pm \mathbf i); \quad \frac{g(x)}{f^{\prime}(x)}\bigg|_{x=(1 \pm \sqrt{7})/2}=\frac{\sqrt{7}}{336}(13\,\sqrt{7} \pm 59 ) \ .

Ответ.

\frac{\frac{\sqrt{5}}{48} (\sqrt{5} + \mathbf i)}{x- \frac{1+ \mathbf i \sqrt{5}}{2}} +\frac{\frac{\sqrt{5}}{48} (\sqrt{5} - \mathbf i)}{x- \frac{1- \mathbf i \sqrt{5}}{2}} +\frac{\frac{\sqrt{7}}{336}(13\,\sqrt{7} + 59 )}{x-\frac{1+ \sqrt{7}}{2}} +\frac{\frac{\sqrt{7}}{336}(13\,\sqrt{7} - 59 )}{x-\frac{1- \sqrt{7}}{2}} \ .

Рассмотрим еще один частный случай знаменателя: f(x)\equiv (x-\lambda_1)^n при n>1. В этом случае для нахождения коэффициентов разложения правильной дроби g_{}(x)/f(x) на простейшие

\frac{g(x)}{f(x)} \equiv \frac{A_{1,1}}{x-\lambda_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-\lambda_1)^2}+\dots+\frac{A_{1,n}}{(x-\lambda_1)^n}

достаточно разложить полином g_{}(x) по степеням x-\lambda_1, т.е. воспользоваться формулой Тейлора:

\begin{matrix} g(x) &\equiv & A_0+A_1(x-\lambda_1)+A_2(x-\lambda_1)^2+\dots+A_n(x-\lambda_1)^n \\ &\equiv & g(\lambda_1) + g^{\prime}(\lambda_1) (x-\lambda_1)+\frac{g^{\prime \prime}(\lambda_1)}{2!} (x-\lambda_1)^2+\dots +\frac{g^{(n)}(\lambda_1)}{n!} (x-\lambda_1)^n \ . \end{matrix}

Коэффициенты разложения можно вычислить по схеме Хорнера.

П

Пример. Разложить на простейшие дробь

\frac{x^4+(2-\mathbf i)\,x^3+3(1-\mathbf i)\,x^2+3(1-\mathbf i)\,x-4\,\mathbf i}{(x-\mathbf i)^5} \ .

Решение. Раскладываем числитель по степеням x-\mathbf i с использованием схемы Хорнера:

\begin{array}{c|rrrrrr} & 1 & 2-\mathbf i & 3(1-\mathbf i) & 3(1-\mathbf i) & -4\,\mathbf i \\ \hline \mathbf i & 1 & 2& 3-\mathbf i & 4 & \underline{0} \\ \mathbf i & 1 &2+ \mathbf i& 2+ \mathbf i& \underline{3+2\, \mathbf i} \\ \mathbf i & 1 & 2+ 2\,\mathbf i & \underline{3\, \mathbf i} \\ \mathbf i & 1 & \underline{2+3\, \mathbf i} \\ \mathbf i & \underline{1} \\ \end{array}
\Rightarrow x^4+(2-\mathbf i)\,x^3+3(1-\mathbf i)\,x^2+3(1-\mathbf i)\,x-4\,\mathbf i \equiv (x-\mathbf i)^4+(2+3\,\mathbf i)(x-\mathbf i)^3+3\mathbf i\,(x-\mathbf i)^2+(3+2\,\mathbf i)(x-\mathbf i)

и разложение дроби на простейшие имеет вид

\frac{1}{x-\mathbf i}+ \frac{2+3\,\mathbf i}{(x-\mathbf i)^2} + \frac{3\mathbf i}{(x-\mathbf i)^3}+ \frac{3+2\,\mathbf i}{(x-\mathbf i)^4} \ .

Как искать простейшие дроби в случае, когда знаменатель f_{}(x) имеет не менее двух корней, причем один из них — кратный? — Существует общий метод решения этой задачи, основанный на представлении полинома g_{}(x) числителя дроби в виде так называемого интерполяционного полинома Эрмита (Лагранжа-Сильвестра). Для практических же расчетов можно предложить определить сначала с помощью теоремы 7 простейшие дроби, соответствующие простым корням полинома, а коэффициенты числителей оставшихся простейших дробей искать по методу неопределенных коэффициентов. В одном из следующих пунктов будет указано универсальное представление этих коэффициентов — с помощью теории определителей.

?

Пусть разложение полинома f_{}(x) на линейные множители имеет вид:

f(x)\equiv a_0(x-\lambda_1)^{{\mathfrak m}_{1}}\times \dots \times (x-\lambda_{\mathfrak r})^{{\mathfrak m}_{{\mathfrak r}}} , \quad npu \quad {\mathfrak m}_{1}+{\mathfrak m}_{2}+\dots+{\mathfrak m}_{\mathfrak r}=n= \deg f

и всех различных числах \{ \lambda_1,\dots,\lambda_{\mathfrak r } \} \subset \mathbb C. Доказать, что

\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} \equiv \frac{{\mathfrak m}_{1}}{x-\lambda_1}+\frac{{\mathfrak m}_{2}}{x-\lambda_2} + \dots + \frac{{\mathfrak m}_{{\mathfrak r}}}{x-\lambda_{\mathfrak r}} \ .

...над множеством вещественных чисел

§

Материал этого пункта существенно используется в задаче интегрирования рациональных дробей.

Согласно теореме, приведенной в ПУНКТЕ, любой полином f_{}(x) с вещественными коэффициентами степени \ge 1 может быть разложен над множеством \mathbb R^{} на множители двух видов:

(x-\lambda)^{\mathfrak m} \ u \ (x^2+p\,x+q)^{\mathfrak M} \quad npu \ \{\lambda,p,q\} \subset \mathbb R,\, p^2-4\,q<0 \ u \ \{{\mathfrak m},{\mathfrak M}\}\subset \mathbb N \ .

Из этого следует, что простейшими над \mathbb R_{} дробями могут быть только дроби вида

\frac{A}{(x-\lambda)^{k}} \quad u \quad \frac{Bx+C}{(x^2+p\,x+q)^{\ell}} \quad npu \ \{k,\ell \} \subset \mathbb N \ .

Практические способы разложения дроби g_{}(x)/f(x) на простейшие над \mathbb R_{} могут быть получены развитием способов, разработанных для разложения на простейшие над \mathbb C_{}. Так, нетрудно проверить, что если в разложение дроби над \mathbb C_{} входит слагаемое A/(x-\lambda), то в это же разложение обязательно входит и \overline{A}/(x-\overline{\lambda}), где ¯ означает комплексное сопряжение. Если при этом \lambda_{} — мнимый корень полинома f_{}(x), то эти две простейшие дроби различны и их сумма

\frac{A}{x-\lambda}+\frac{\overline{A}}{x-\overline{\lambda}}=\frac{(A+\overline{A})x-(A\overline{\lambda}+\overline{A}\lambda)}{x^2-(\lambda+\overline{\lambda})x+ \lambda \overline{\lambda}} = \frac{ 2\, \mathfrak{Re}(A)\,x-2\, \mathfrak{Re}(A\overline{\lambda})}{x^2-2\,\mathfrak{Re}(\lambda)x+ |\lambda|^2}

будет вещественной дробью — простейшей над \mathbb R_{}.

П

Пример. Разложить дробь

\frac{3\,x^3-x+7}{4\,x^4-8\,x^3+4\,x^2-9}

на простейшие над \mathbb R_{}.

Решение. В предыдущем пункте было получено следующее разложение этой дроби над \mathbb C_{}:

\frac{\frac{\sqrt{5}}{48} (\sqrt{5} + \mathbf i)}{x- \frac{1+ \mathbf i \sqrt{5}}{2}} +\frac{\frac{\sqrt{5}}{48} (\sqrt{5} - \mathbf i)}{x- \frac{1- \mathbf i \sqrt{5}}{2}} +\frac{\frac{\sqrt{7}}{336}(13\,\sqrt{7} + 59 )}{x-\frac{1+ \sqrt{7}}{2}} +\frac{\frac{\sqrt{7}}{336}(13\,\sqrt{7} - 59 )}{x-\frac{1- \sqrt{7}}{2}} \ .

Если объединить первые две дроби, то получим искомое разложение на простейшие над \mathbb R_{}:

\frac{\frac{5}{24}(x-1)}{x^2-x+\frac{3}{2}} +\frac{\frac{\sqrt{7}}{336}(13\,\sqrt{7} + 59 )}{x-\frac{1+ \sqrt{7}}{2}} +\frac{\frac{\sqrt{7}}{336}(13\,\sqrt{7} - 59 )}{x-\frac{1- \sqrt{7}}{2}} \ .

П

Пример. Разложить дробь

\frac{x^2+1}{x^5-2\,x^3-2\,\sqrt{2}\, x^2+4\,\sqrt{2}}

на простейшие над \mathbb R_{}.

Решение. Выписываем каноническое разложение знаменателя:

x^5-2\,x^3-2\,\sqrt{2}\, x^2+4\,\sqrt{2}\equiv (x-\sqrt{2})^2(x+\sqrt{2})(x^2+\sqrt{2}\,x+2) \ .

Разложение на простейшие имеет вид

\frac{A_1}{x-\sqrt{2}} + \frac{A_2}{(x-\sqrt{2})^2}+ \frac{A_3}{x+\sqrt{2}} +\frac{Bx+C}{x^2+\sqrt{2}\,x+2} \ .

Коэффициенты A_1,A_2,A_3,B и C_{} находим методом неопределенных коэффициентов. После приведения к общему знаменателю, в числителе получаем полином

(A_1+A_3+B)\,x^4+(\sqrt{2}A_1+A_2-\sqrt{2}A_3 -\sqrt{2}B+C)\,x^3 +
+(2\,\sqrt{2}\,A_2-2\,B-\sqrt{2}C)\,x^2 +(-2\sqrt{2}\, A_1+4\,A_2-2 \sqrt{2}\,A_3+2\,\sqrt{2}\, B-2\,C)\,x -
-4\,A_1+2 \sqrt{2}A_2+4\,A_3+2\sqrt{2}C \ ,

который должен быть тождественно равен x^{2}+1. Отсюда получаем систему линейных уравнений

\left\{ \begin{array}{rrrrrl} A_1+& &A_3+&B& = & 0, \\ A_1+&A_2 - &\sqrt{2}A_3 -&\sqrt{2}B+ &C= & 0, \\ &2\,\sqrt{2}\,A_2-&& 2\,B-&\sqrt{2}C =& 1, \\ -2\sqrt{2}\, A_1+&4\,A_2-&2 \sqrt{2}\,A_3+&2\,\sqrt{2}\, B-&2\,C=&0, \\ -4\,A_1+&2 \sqrt{2}A_2+&4\,A_3+& &2\sqrt{2}C=&1 , \end{array} \right.

имеющую единственное решение:

A_1 = {\scriptstyle 1}/{\scriptstyle 48},\ A_2={\scriptstyle \sqrt{2}}/{\scriptstyle 8},\ A_3={\scriptstyle 3}/{\scriptstyle 16},\ B = -{\scriptstyle 1}/{\scriptstyle 6},\ C = -{\scriptstyle \sqrt{2}}/{\scriptstyle 12 } \ .

Ответ.

-\frac{{\scriptstyle 1}/{\scriptstyle 48}}{x-\sqrt{2}} +\frac{{\scriptstyle \sqrt{2}}/{\scriptstyle 8}}{(x-\sqrt{2})^2} +\frac{{\scriptstyle 3}/{\scriptstyle 16}}{x+\sqrt{2}} -\frac{{\scriptstyle 1}/{\scriptstyle 6}\,x +{\scriptstyle \sqrt{2}}/{\scriptstyle 12 }}{x^2+\sqrt{2}x+2} \ .

Интерполяция

Задача. Для таблицы значений

\begin{array}{c|ccccc} x & x_1 & x_2 & \dots & x_N \\ \hline y & y_1 & y_2 &\dots & y_N \end{array}

построить рациональную функцию в виде F(x)=g(x)/f(x) при g_{}(x) — полиноме степени \le n, f_{}(x) — полиноме степени \le m, так, чтобы \{ F(x_j)=y_j \}_{j=1}^N. При этом N,n,m связаны соотношением:

N=m+n+1 \, .
§

Решение задачи см. ЗДЕСЬ.

Производные

§

В настоящем пункте существенно используются результаты из раздела ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ.

Формулы для производных дробной функции становятся громоздкими с ростом порядков:

\left[ \frac{g(x)}{f(x)} \right]^{\prime} = \frac{g^{\prime}(x)f(x)-g(x)f^{\prime}(x)}{\left[f(x)\right]^2} ;
\left[ \frac{g(x)}{f(x)} \right]^{\prime \prime} = \frac{g^{\prime \prime}(x)[f(x)]^2-g(x)f(x)f^{\prime \prime}(x)-2\,f(x)f^{\prime}(x)g^{\prime}(x)+2\,g(x)[f^{\prime}(x)]^2}{\left[f(x)\right]^3} .

Однако эту громоздкость удается слегка упорядочить с использованием формализма определителей.

Т

Теорема 8. Имеет место равенство:

\left[ \frac{g(x)}{f(x)} \right]^{[k]} =
=\frac{1}{\left[f(x)\right]^{k+1}} \left|\begin{array}{cccccc} f(x) & 0 & 0 & \dots & 0 & g(x) \\ f^{\prime}(x) & f(x) & 0 & \dots & 0 & g^{\prime}(x) \\ f^{\prime \prime}(x) & 2 f^{\prime}(x) & f(x) & \dots & 0 & g^{\prime \prime}(x) \\ \dots & & & & & \dots \\ f^{[k-1]}(x) & C_{k-1}^1 f^{[k-2]}(x) & C_{k-1}^2 f^{[k-3]}(x) & \dots & f(x) & g^{[k-1]}(x) \\ f^{[k]}(x) & C_{k}^1 f^{[k-1]}(x) & C_{k}^2 f^{[k-2]}(x) & \dots & C_k^{k-1} f^{\prime}(x) & g^{[k]}(x) \end{array} \right|_{(k+1)\times (k+1)} \ ;

здесь C_N^Mбиномиальный коэффициент.

Доказательство. Если R(x)=g(x)/f(x), то R(x)f(x) \equiv g(x). Последовательно дифференцируем произведение:

\begin{array}{ccccccc} f(x) R(x) &=g(x) & & & & & \\ f^{\prime}(x) R(x) & +f(x)R^{\prime}(x) &= g^{\prime}(x) & & & & \\ f^{\prime \prime}(x) R(x) &+ 2 f^{\prime}(x) R^{\prime}(x) & +f(x) R^{\prime \prime}(x) & = g^{\prime \prime}(x) & & & \\ \dots & & & & \dots & & \\ f^{[k]}(x) R(x) &+ C_{k}^1 f^{[k-1]}(x) R^{\prime}(x) & + C_{k}^2 f^{[k-2]}(x) R^{\prime \prime}(x) & + \dots + & \\ & & +C_k^{k-1} f^{\prime}(x) R^{[k-1]}(x) & +f(x)R^{[k]}(x) & = g^{[k]}(x) ; \\ \end{array}

последняя формула — это формула Лейбница. Эти равенства составляют систему линейных уравнений относительно величин R(x),R^{\prime}(x),R^{\prime \prime}(x),\dots, R^{[k]}(x). Эту систему можно решить по формулам Крамера; нас, собственно, интересует лишь одна компонента этого решения — последняя.

§

Результат теоремы не предполагает рациональности дроби: числитель и знаменатель могут быть и неполиномиальны; лишь бы только требуемые производные от них были вычислимы.

Т

Теорема 9. Пусть \lambda является корнем полинома f_{}(x) кратности \mathfrak m. Обозначим f_{\lambda}(x)=f(x)/(x-\lambda)^{\mathfrak m}частное от деления f_{}(x) на (x-\lambda)^{\mathfrak m}. В разложение дроби g_{}(x)/f(x) на простейшие, слагаемые, содержащие в знаменателе (x-\lambda), войдут в составе определителя:

-\frac{1}{\left[f_{\lambda}(\lambda)\right]^{\mathfrak m}} \left|\begin{array}{cccccc} f_{\lambda}(\lambda) & 0 & 0 & \dots & 0 & g(\lambda) \\ f_{\lambda}^{\prime}(\lambda) & f_{\lambda}(\lambda) & 0 & \dots & 0 & g^{\prime}(\lambda) \\ f_{\lambda}^{\prime \prime}(\lambda) & 2 f_{\lambda}^{\prime}(\lambda) & f_{\lambda}(\lambda) & \dots & 0 & g^{\prime \prime}(\lambda) \\ \dots & & & & & \dots \\ f_{\lambda}^{[\mathfrak m-1]}(\lambda) & C_{\mathfrak m-1}^1 f_{\lambda}^{[\mathfrak m-2]}(\lambda) & C_{\mathfrak m-1}^2 f_{\lambda}^{[\mathfrak m-3]}(\lambda) & \dots & f_{\lambda}(\lambda) & g^{[\mathfrak m-1]}(\lambda) \\ \displaystyle \frac{1}{(x-\lambda)^{\mathfrak m}} & \displaystyle \frac{1}{(x-\lambda)^{\mathfrak m-1}} & \displaystyle \frac{1}{(x-\lambda)^{\mathfrak m-2}} & \dots & \displaystyle \frac{1}{(x-\lambda)} & 0 \end{array} \right|_{(\mathfrak m+1)\times (\mathfrak m+1)} \ .

П

Пример. Разложить на простейшие дробь

\frac{3\,x^6-11\,x^5+19\,x^4-22\,x^3+15\,x^2-6\,x+1}{x^3(x-1)^4} \ .

Решение. Если взять сначала \lambda_{}=0, то для этого корня имеем: \mathfrak m =3, f_{0}(x)=(x-1)^4 и все простейшие дроби, имеющие в знаменателе степени x_{}, содержатся в выражении

-\frac{1}{[f_0(0)]^3} \left|\begin{array}{cccc} f_0(0) & 0 & 0 & g(0) \\ f^{\prime}_0(0) & f_0(0) & 0 & g^{\prime}(0) \\ f^{\prime \prime}_0(0) & 2\,f^{\prime}_0(0) & f_0(0) & g^{\prime \prime}(0) \\ 1/x^3 & 1/x^2 & 1/x & 0 \end{array} \right|= - \left|\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 1 \\ -4 & 1 & 0 & -6 \\ 12 & -8 & 1 & 30 \\ 1/x^3 & 1/x^2 & 1/x & 0 \end{array} \right| =\frac{1}{x^3}-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x} \ .

Аналогично, для случая \lambda_{}=1 имеем: \mathfrak m =4, f_{1}(x)=x^3, и соответствующие простейшие дроби входят в состав выражения

-\frac{1}{[f_1(1)]^4} \left|\begin{array}{ccccc} f_1(1) & 0 & 0 & 0 & g(1) \\ f^{\prime}_1(1) & f_1(1) & 0 & 0 & g^{\prime}(1) \\ f^{\prime \prime}_1(1) & 2\,f^{\prime}_1(1) & f_1(1) & 0 & g^{\prime \prime}(1) \\ f^{\prime \prime \prime}_1(1) & 3\,f^{\prime \prime}_1(1) & 3\,f^{\prime}_1(1) & f_1(1) & g^{\prime \prime \prime}(1) \\ \displaystyle{\frac{1}{(x-1)^4}} & \displaystyle{\frac{1}{(x-1)^3}} & \displaystyle{\frac{1}{(x-1)^2}} & \displaystyle{\frac{1}{(x-1)}} & 0 \end{array} \right|=
=- \left|\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & 0 & 0 & -3 \\ 6 & 6 & 1 & 0 & -4 \\ 6 & 18 & 9 & 1 & 24 \\ \displaystyle{\frac{1}{(x-1)^4}} & \displaystyle{\frac{1}{(x-1)^3}} & \displaystyle{\frac{1}{(x-1)^2}} & \displaystyle{\frac{1}{(x-1)}} & 0 \end{array} \right| =
=\frac{2}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^2}-\frac{1}{(x-1)^4} \ .

Ответ.

\frac{1}{x^3}-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x}+\frac{2}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^2}-\frac{1}{(x-1)^4} \ .

Уничтожение иррациональности в знаменателе

Пусть f(x), g(x), g_1(x) — полиномы с рациональными коэффициентами, \deg f=n. Обозначим \lambda_{1},\dots,\lambda_n корни f_{}(x).

Задача. Для рациональной дроби g_1(x)/g(x) найти полином G_{}(x) c рациональными коэффициентами и такой, чтобы

G(\lambda_1)=g_1(\lambda_1)/g(\lambda_1),\ \dots ,\ G(\lambda_n)=g_1(\lambda_n)/g(\lambda_n) \ .

Понятно, что эта постановка имеет смысл, если \{g(\lambda_j) \ne 0\}_{j=1}^n, т.е. полиномы f_{}(x) и g_{}(x) взаимно просты.

П

Пример. Уничтожить иррациональность в знаменателе выражения

\frac{\sqrt[3]{4}+5\sqrt[3]{2}+7}{\sqrt{2+\sqrt[3]{2}}+\sqrt[3]{2}+3} \ .

Хотя эта задача и выглядит иначе, чем сформулированная в начале пункта, но она является именно частным случаем первой. В самом деле, обозначим

\lambda=\sqrt{2+\sqrt[3]{2}} \quad \Rightarrow \quad \lambda^2=2+\sqrt[3]{2} \quad \Rightarrow \quad (\lambda^2-2)^3=2 \ ,

т.е. \lambda_{} является корнем полинома 6_{}-й степени с целочисленными коэффициентами. С другой стороны, все иррациональности рассматриваемой дроби выражаются в полиномиальном виде от \lambda_{}:

\frac{\sqrt[3]{4}+5\sqrt[3]{2}+7}{\sqrt{2+\sqrt[3]{2}}+\sqrt[3]{2}+3} = \frac{(\lambda^2-2)^2+5(\lambda^2-2)+7}{\lambda+\lambda^2-2+3}=\frac{\lambda^4+\lambda^2+1}{\lambda^2+\lambda+1} \ .
§

Общая схема решения подобных задач ЗДЕСЬ.

Разложения в ряды...

Задача 1. Разложить дробь g_{}(x)/f(x) в ряд Тейлора по степеням переменной x_{}.

Универсальная формула разложения произвольной функции G(x):

G(0)+\frac{G^{\prime}(0)}{1!}x+\frac{G^{\prime \prime}(0)}{2!}x^2+\dots+ \frac{G^{[j]}(0)}{j!}x^j+ \dots ;

лишь бы только можно было вычислить значения функции G(x) и ее производных в точке 0_{}. Материалы предыдущего пункта позволяют вычислить значения производных дроби g_{}(x)/f(x); однако нас интересуют менее громоздкие способы — и их можно будет получить, воспользовавшись свойством полиномиальности g_{} (x) и f_{} (x).

Задача 2. Разложить дробь g_{}(x)/f(x) в ряд по отрицательным степеням переменной x_{}; будем говорить о таком ряде, как о ряде Лорана.

... Тейлора

П

Разложить дробь

\frac{x^2+x+1}{x^4+3\,x^3+2\,x-1}

в ряд Тейлора по степеням x_{}.

Решение. Будем делить числитель на знаменатель «в столбик», но, в отличие от аналогичного алгоритма, использованного в пункте ДЕЛИМОСТЬ ПОЛИНОМОВ, располагать действия будем по возрастанию степеней x_{}:

\begin{array}{rrrrrrrrrr|l} 1&+ x & +x^2 & & & && & & & -1+2\,x+3\,x^3+x^4 \\ 1&-2\,x& &-3\,x^3&-x^4& & & & && \overline{ -1-3\,x -7\,x^2-17\,x^3-44\,x^4 -112\,x^5+\dots \quad } \\ \hline & 3\,x&+x^2 &+3\,x^3&+x^4& \\ & 3\,x&-6\,x^2 & &-9\,x^4 &-3\,x^5 \\ \hline &&7\,x^{2}&+3\,x^3&+10\,x^4&+3\,x^5 & \\ &&7\,x^{2}&-14\,x^3&&-21\,x^5 & -7\,x^6 & \\ \hline &&& 17\,x^{3}&+10\,x^4&+24\,x^5 &+7\,x^6 & \\ &&& 17\,x^{3}&-34\,x^4& &-51\,x^6 &-17\, x^7 \\ \hline &&&& 44\,x^4 & +24\,x^5 & +58\,x^6 &+17\,x^7 \\ &&&& 44\,x^4 & -88\,x^5 & & -132\,x^7 & -44\, x^8 \\ \hline &&&&& 112\,x^5 & + \dots \end{array}

Процесс деления можно продолжать сколь угодно долго. Ответом задачи является ряд

-1-3\,x -7\,x^2-17\,x^3-44\,x^4 -112\,x^5+\dots \ .

Если мы обрываем ряд на каком-то шаге, как оценить остаточный член? — Ответ на этот вопрос достаточно очевиден: имеем цепочку тождеств

\frac{x^2+x+1}{x^4+3\,x^3+2\,x-1} \equiv -1 + x \frac{3+x+3\,x^2+x^3}{-1+2\,x+3\,x^3+x^4} \equiv
\equiv -1-3\,x+x^2 \frac{7+3\,x+10\,x^2+3\,x^3}{-1+2\,x+3\,x^3+x^4}\equiv
\equiv -1-3\,x -7\,x^2 +x^3 \frac{17+10\,x+24\,x^2+7\,x^3 }{-1+2\,x+3\,x^3+x^4} \equiv \dots

Выявим теперь закономерность в формировании последовательности коэффициентов ряда. Выпишем эту последовательность и умножим последовательные 5_{} членов этой последовательности на коэффициенты полинома знаменателя x^4+3\,x^3+2\,x-1, записанные по убыванию степеней x_{}:

\begin{array}{crrrrrrr} &-1 &-3 & -7 &-17 &-44 &-112 & \dots \\ \times & 1 & 3 & 0 & 2 & -1 & \\ \hline & -1 & -9 & 0 & - 34 & 44 \end{array} \qquad \begin{array}{crrrrrrr} &-1 &-3 & -7 &-17 &-44 &-112 & \dots \\ \times & & 1 & 3 & 0 & 2 & -1 & \\ \hline & & -3 & -21 & 0 & -88 & 112 \end{array}

Сумма элементов получившихся строк оказывается равной 0_{}. Подмеченная закономерность оказывается универсальной.

Т

Теорема 10. Пусть f(x)=a_0x^n+\dots+a_n, n\ge 1, a_0\ne 0 и2) a_n\ne 0. Пусть \deg g(x) < \deg f. В разложении дроби g_{}(x)/f(x) в ряд Тейлора по степеням x_{}:

\frac{g(x)}{f(x)} = t_0+t_1x+t_2x^2+\dots = \sum_{j=0}^{\infty} t_jx^{j}

коэффициенты разложения будут удовлетворять соотношению

t_{K}a_0+t_{K+1}a_{1}+\dots+t_{K+n}a_n = 0 \quad npu \quad \forall K \in \{0,1,2,\dots \} \ .

Доказательство. Домножим разложение на f_{}(x) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x_{} в тождестве

g(x) \equiv f(x) \sum_{j=0}^{\infty} t_jx^{j} = a_nt_0+(a_nt_1+a_{n-1}t_0)x+ (a_nt_2+a_{n-1}t_1+a_{n-2}t_0)x^2+\dots+
+(a_nt_{n-1}+a_{n-1}t_{n-2}+\dots+a_{1}t_0)x^{n-1}+
+(a_nt_{n}+a_{n-1}t_{n-1}+\dots+a_{0}t_0)x^{n}+(a_nt_{n+1}+a_{n-1}t_{n}+\dots+a_{0}t_1)x^{n+1}+\dots

По предположению, \deg g < n, поэтому все коэффициенты при x^{n},x^{n+1},\dots должны быть равны нулю. Получаем бесконечную цепочку однотипных равенств, которые эквивалентны записанному в формулировке теоремы соотношению. Это соотношение позволяет линейно выразить каждый коэффициент ряда, начиная с t_n, через n_{} предшествующих; при этом закономерность вычисления не меняется с возрастанием номера коэффициента:

t_{K+n}= - \frac{1}{a_n} (t_{K}a_0+t_{K+1}a_{1}+\dots+t_{K+n-1}a_{n-1}) \ .

Для определения первых n_{} коэффициентов ряда имеем уравнения

\begin{array}{ll} t_0a_n &=b_{n-1}, \\ t_1a_n+t_0a_{n-1} & = b_{n-2}, \\ t_2a_n+t_1a_{n-1}+t_0a_{n-2} & = b_{n-3}, \\ \dots & \dots \\ t_{n-1}a_n+t_{n-2}a_{n-1}+\dots+t_0a_{1} & = b_{0}, \end{array}

в правых частях которых стоят коэффициенты полинома g(x)=b_0x^{n-1}+b_1x^{n-2}+\dots+b_{n-1}. Оказывается, что эти коэффициенты непосредственно влияют только на первые n_{} членов разложения в ряд Тейлора; как только они определены, оставшиеся будут задаваться соотношением, в котором коэффициенты b_0,b_1,\dots,b_{n-1} не участвуют. Иными словами, у двух правильных дробей g_{}(x)/f(x) и \tilde g_{}(x)/f(x) с одинаковыми знаменателями формирование коэффициентов разложения в ряд Тейлора происходит единообразно, начиная с коэффициента при степени x^{n}; и различия между этими рядами формируется в коэффициентах при x^0,x^1,\dots,x^{n-1}.

Последовательность \{y_j\}_{j=0}^{\infty}, формируемая по правилу: первые n_{} членов заданы произвольно, а каждый следующий определяется через n_{} предыдущих с помощью линейного соотношения

y_{K+n} = A_1y_{K+n-1}+\dots+A_{n}y_{K} \quad npu \quad \forall K \in \{0,1,2,\dots \}

и при фиксированных числах A_1,\dots,A_n, A_n\ne 0, называется линейной рекуррентной последовательностью n_{}-го порядка; само уравнение вида

A_0y_{K+n}+A_1y_{K+n-1}+\dots+A_{n}y_{K}=0 \quad npu \quad A_0\ne 0, A_n \ne 0

относительно неизвестной последовательности \{y_j\}_{j=0}^{\infty} называется линейным однородным разностным уравнением n_{}-го порядка.

§

Подробное исследование этих объектов ЗДЕСЬ.

=>

Коэффициенты ряда Тейлора разложения правильной дроби, знаменатель которой является полиномом степени n_{} с отличным от нуля свободным членом, формируют линейную рекуррентную последовательность n_{}-го порядка; при этом разностное уравнение, которое формирует эту последовательность, не зависит от коэффициентов числителя разлагаемой дроби.

П

Пример. Вычислить первые 7_{} членов разложения дроби

\frac{x^4-3\,x^3+1}{3\,x^5+x^3+2\,x^2-x+4}

в ряд Тейлора по степеням x_{}.

Решение.

\begin{array}{lrcl} 4\,t_0 &=1 & \Rightarrow & t_0=1/4, \\ 4\,t_1-t_0 & = 0 & \Rightarrow & t_1=1/16, \\ 4\,t_2-t_1+2\,t_0 & = 0 & \Rightarrow & t_2=-7/64, \\ 4\,t_3-t_2+2\,t_1+t_0 & =-3 & \Rightarrow & c_3=-223/256, \\ 4\,t_4-t_3+2\,t_2+t_1 & = 1 & \Rightarrow & c_4=73/1024,\\ \hline 4\,t_5-t_4+2\,t_3+t_2+3\,t_0 & = 0 & \Rightarrow & c_5=1201/4096, \\ 4\,t_6-t_5+2\,t_4+t_3+3\,t_1 & = 0 & \Rightarrow & c_6=3417/16384. \end{array}

Ответ.

\frac{1}{4}+\frac{1}{16}x-\frac{7}{64}x^2-\frac{223}{256}x^3+\frac{73}{1024}x^4+\frac{1201}{4096}x^5+\frac{3417}{16384}x^6 \ .
§

Справедливо и обратное утверждение: любая последовательность \{c_j\}_{j=0}^{\infty}, элементы которой, начиная с какого-то номера K_0+n, удовлетворяют разностному уравнению

A_0t_{K+n}+A_1t_{K+n-1}+\dots+A_{n}t_{K}=0 \quad npu \quad n \in \mathbb N, \quad A_0\ne 0, A_n \ne 0, K\in \{K_0,K_0+1,\dots \}

представляет собой коэффициенты ряда Тейлора разложения рациональной дроби (не обязательно правильной!), в знаменателе которой стоит полином A_0x^n+A_1x^{n-1}+\dots+A_n. Подробнее ЗДЕСЬ.

Во всех предыдущих рассуждениях настоящего пункта мы старательно обходили вопрос о сходимости ряда Тейлора, ограничиваясь лишь формальным построением этого ряда. Самое время заполнить этот пробел. Очевидно, достаточно будет решить этот вопрос для случая разложения функции 1/f(x). Воспользуемся возможностью разложения полинома f_{}(x) на линейные множители над множеством \mathbb C_{}:

\frac{1}{a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n} \equiv \frac{1/a_0}{(x-\lambda_1)\times\dots \times (x-\lambda_n)}

где \{\lambda_{1},\dots,\lambda_n \} \subset \mathbb C — корни полинома f_{}(x) (с учетом их кратностей). Разложение дроби в ряд Тейлора может быть получено как с помощью алгоритмов, разобранных выше, так и как произведение разложений дробей вида

\frac{1}{x-\lambda_j} \ .

Имеем:

\frac{1}{x-\lambda_j}=-\frac{1}{\lambda_j}\cdot \frac{1}{1-x/\lambda_j}=-\frac{1}{\lambda_j}\left(1+\frac{x}{\lambda_j}+\frac{x^2}{\lambda_j^2}+\dots+ \frac{x^k}{\lambda_j^k}+\dots \right)

и ряд в правой части сходится абсолютно при |x/\lambda_j|<1.

Т

Теорема 11. Пусть g_{}(x)/f(x)правильная, несократимая дробь и f(0) \ne 0. Тогда ряд Тейлора этой дроби по степеням переменной x_{} сходится абсолютно в круге комплексной плоскости, определяемом условием

|x| < \min_{j} |\lambda_j| \ ,

где \lambda_{j} означает корень полинома f_{}(x).

Доказательство проводится средствами теории функции комплексной переменной и использует (привычную для курса математического анализа вещественной переменной) возможность перемножения абсолютно сходящихся рядов.

П

Пример. Оценить радиус сходимости ряда из предыдущего примера.

Решение. Корни полинома 3\,x^5+x^3+2\,x^2-x+4:

\lambda_1 \approx -1.159580,\ \lambda_{2,3} \approx \underbrace{-0.158205 \pm 1.033065 \mathbf i}_{| \ |\approx 1.045109}, \ \lambda_{4,5} \approx \underbrace{0.737995\pm 0.712803 \mathbf i}_{| \ |\approx 1.026023} \ .

Ответ. Ряд сходится при |x| < 1.026.

... Лорана

Задачу разложения дроби g_{}(x)/f(x) в ряд Лорана по степеням 1/x_{} можно свести к рассмотренной в предыдущем пункте задаче о разложении в ряд Тейлора. Если f(x)=a_0x^n+\dots+a_n, n\ge 1, a_0\ne 0, g(x)=b_0x^{n-1}+b_{1}x^{n-2}+\dots+b_{n-1}, то

\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{x^{n-1}\left(b_0+b_1\cdot 1/x + \dots + b_{n-1} \cdot 1/x^{n-1} \right)}{x^n\left(a_0+a_1\cdot 1/x+a_2 \cdot 1/x^2+\dots+ a_n \cdot 1/x^n\right)}= z \frac{b_0+b_1z + \dots + b_{n-1}z^{n-1}}{a_0+a_1z+a_2z^2+\dots+ a_nz^n}

при z=1/x. Дальше раскладываем дробь по положительным степеням z_{}. Приведенные ниже результаты являются аналогами соответствующих результатов из предыдущего пункта.

Т

Теорема 12. Пусть f(x)=a_0x^n+\dots+a_n, n\ge 1, a_0\ne 0. Пусть \deg g(x) < \deg f. В разложении дроби g_{}(x)/f(x) в ряд Лорана по степеням 1/x_{}:

\frac{g(x)}{f(x)} = \frac{c_0}{x}+\frac{c_1}{x^2}+\dots = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{c_j}{x^{j+1}}

коэффициенты разложения будут удовлетворять соотношению

c_{K+n}a_0+c_{K+n-1}a_{1}+\dots+c_{K}a_n = 0 \quad npu \quad \forall K \in \{0,1,2,\dots \} \ .

§

Обратим внимание на отличие этого соотношения от полученного при разложении g_{}(x)/f(x) в ряд Тейлора по положительным степеням x_{}; в теореме 10 оно имело вид

t_{K}a_0+t_{K+1}a_{1}+\dots+t_{K+n}a_n = 0

Два соотношения отличаются порядком следования коэффициентов при соответствующих элементах рекуррентных последовательностей: (a_0,a_1,\dots,a_n) и (a_n,a_{n-1},\dots,a_0).

Т

Теорема 13. Если все корни \lambda_1,\dots,\lambda_{n} полинома f_{}(x) простые и \deg g(x) < \deg f то имеет место равенство

c_k=\sum_{j=1}^n \frac{\lambda_j^k g(\lambda_j)}{f^{\prime}(\lambda_j)} \quad npu \quad \forall k \in \{0,1,2,\dots \} \ .

Доказательство. Воспользуемся формулой Лагранжа:

\frac{g(x)}{f(x)}=\sum_{j=1}^{n}\frac{g(\lambda_j)}{f'(\lambda_j)(x-\lambda_j)} \ .

Разложим теперь каждую дробь 1/(x-\lambda_{j}) в ряд Лорана по степеням 1/x_{}

\frac{1}{x-\lambda_j}= \frac{1}{x(1-\lambda_j/x)}= \frac{1}{x}\left(1+ \frac{\lambda_j}{x}+\frac{\lambda_j^2} {x^2}+\dots \right)

и подставим в предыдущее равенство. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x_{} в полученном ряду и в ряду \sum_{j=0}^{\infty} c_jx^{-j-1}, получаем требуемый результат.

=>

Имеют место следующие формулы Ньютона, выражающие суммы степеней корней полинома ( суммы Ньютона) s_k=\lambda_1^{k}+\dots+\lambda_n^k (при k\in \mathbb N) через его коэффициенты:

s_k=\left\{\begin{array}{lr} -(a_1s_{k-1}+a_2s_{k-2}+\dots+a_{k-1}s_1+a_kk)/a_0, &npu \ k\le n ;\\ -(a_1s_{k-1}+a_2s_{k-2}+\dots+a_ns_{k-n})/a_0, & npu \ k > n. \end{array} \right.

Дополнительно полагают также s_{0}=n при любом наборе корней3).

Доказательство утверждения для случая простоты всех корней полинома следует из предыдущей теоремы — суммы Ньютона будут коэффициентами разложения в ряд Лорана дроби f^{\prime}(x)/f(x). Пусть теперь полином имеет кратные корни и его разложение на линейные множители имеет вид:

f(x)\equiv a_0(x-\lambda_1)^{{\mathfrak m}_{1}}\times \dots \times (x-\lambda_{\mathfrak r})^{{\mathfrak m}_{{\mathfrak r}}} , \quad npu \quad {\mathfrak m}_{1}+{\mathfrak m}_{2}+\dots+{\mathfrak m}_{\mathfrak r}=n= \deg f

и всех различных числах \{ \lambda_1,\dots,\lambda_{\mathfrak r } \} \subset \mathbb C. Имеем (см. упражнение в конце ПУНКТА ):

\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} \equiv \frac{{\mathfrak m}_{1}}{x-\lambda_1}+\frac{{\mathfrak m}_{2}}{x-\lambda_2} + \dots + \frac{{\mathfrak m}_{{\mathfrak r}}}{x-\lambda_{\mathfrak r}} \ ,

и дальнейшие рассуждения аналогичны предыдущему случаю.

Т

Теорема 14. Пусть g_{}(x)/f(x)правильная, несократимая дробь. Тогда ряд Лорана этой дроби по степеням 1/x_{} сходится абсолютно в области комплексной плоскости, определяемой условием

|x| > \max_{j} |\lambda_j| \ ,

где \lambda_{j} означает корень полинома f_{}(x).

Задачи

Источники

[1]. Журавский А.М. Сборник задач по высшей алгебре. М.-Л. ГТТИ. 1933

1) Эта задача, вообще говоря, нетривиальна в связи с тем, что мы не указали в разделе ПРИВОДИМОСТЬ ПОЛИНОМОВ С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ конструктивного способа факторизации полинома в \mathbb Q_{}[x]. Для данного примера удачу принесет попытка выделения кратных множителей.
2) Следующее условие существенно!
3) Даже в случае, когда один из корней полинома равен нулю.

2017/01/16 09:24 редактировал au