УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО


Т

Теорема. Расстояние от точки X_{} до линейного подпространства, базисом которого является система \{ X_1,\dots,X_{k} \}, вычисляется по формуле:

d=\sqrt{\frac{{\mathfrak G}(X_1,\dots,X_k, X)}{{\mathfrak G}(X_1,\dots,X_k)}} \ .

Здесь {\mathfrak G}определитель Грама соответствующей системы векторов.

Доказательство основано на алгоритме нахождения ортогональной составляющей вектора относительно линейного подпространства, образованного векторами X_1,\dots,X_k, т.е. до \mathcal L(X_1,\dots,X_k). Если X=X^{\bot} + X^{^{\parallel}} при X^{\bot} — ортогональной составляющей вектора X_{ } и при X^{^{\parallel}} — принадлежащем подпространству (т.е. X^{^{\parallel}} \in \mathcal L (X_1,\dots,X_k)), то

X^{^{\parallel}}=\alpha_1 X_1 + \dots + \alpha_k X_k

при некоторых вещественных скалярах \alpha_1,\dots,\alpha_k. Для нахождения скаляров \alpha_1,\dots , \alpha_k используем тот факт, что вектор X^{^{\bot}}=X-X^{^{\parallel}} должен быть ортогонален \mathcal L (X_1,\dots,X_k), а значит, ортогонален каждому X_j:

(X-X^{^{\parallel}}, X_j)=0 \ \iff \ (X^{^{\parallel}}, X_j)=(X,X_j) \ .

Получаем систему линейных уравнений:

\left\{ \begin{array}{ccccc} \alpha_1 (X_1,X_1) &+ \alpha_2 (X_1,X_2) &+ \dots &+ \alpha_k (X_1,X_k) &= (X,X_1), \\ \alpha_1 (X_2,X_1) & + \alpha_2 (X_2,X_2) &+ \dots &+ \alpha_k (X_2,X_k) &= (X,X_2), \\ \dots & & & & \dots \\ \alpha_1 (X_k,X_1) & + \alpha_2 (X_k,X_2) &+ \dots &+ \alpha_k (X_k,X_k) &= (X,X_k). \end{array} \right.

Матрица этой системы является матрицей Грама G(X_1,\dots,X_k), и (как доказывается ЗДЕСЬ ) она является неособенной поскольку система векторов \{ X_1,\dots,X_k \} линейно независима. Решение системы уравнений получается с помощью обращения матрицы Грама:

\left( \begin{array}{c} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_k \end{array} \right)= G^{-1} \left( \begin{array}{c} (X,X_1) \\ (X,X_2)\\ \vdots \\ (X,X_k) \end{array} \right) \ .

Теперь вычисляем длину ортогональной составляющей:

\left|X^{\bot} \right|^2 =\left(X- X^{^{\parallel}},\ X- X^{^{\parallel}}\right)=\left(X- \alpha_1 X_1 - \dots - \alpha_k X_k,\ X- \alpha_1 X_1 - \dots - \alpha_k X_k\right) =
=\left(X,X\right)-2(\alpha_1 X_1 + \dots + \alpha_k X_k,X)+(\alpha_1,\dots,\alpha_k) \cdot G(X_1,\dots,X_k) \cdot \left( \begin{array}{c} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_k \end{array} \right)=
= (X,X)-2\left[(X,X_1),\dots,(X,X_k) \right]\left( \begin{array}{c} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_k \end{array} \right) +(\alpha_1,\dots,\alpha_k) G(X_1,\dots,X_k)\left( \begin{array}{c} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_k \end{array} \right)=

подставляем сюда найденые значения скаляров \alpha_1,\dots,\alpha_k:

=(X,X)-\left[(X,X_1),\dots,(X,X_k) \right]G^{-1} \left[ \begin{array}{c} (X,X_1) \\ \vdots \\ (X,X_k) \end{array} \right]=

Воспользуемся формулой вычисления окаймленного определителя:

=\left| \begin{array}{ccccc} (X_1,X_1) & (X_1,X_2) & \dots & (X_1,X_k) & (X_1,X) \\ (X_2,X_1) & (X_2,X_2) & \dots & (X_2,X_k) & (X_2,X) \\ \dots & && & \dots \\ (X_k,X_1) & (X_k,X_2) & \dots & (X_k,X_k) & (X_k,X) \\ (X,X_1) & (X,X_2) & \dots & (X,X_k) & (X,X) \end{array} \right| \bigg/ \det (G(X_1,\dots,X_k))=\frac{{\mathfrak G}(X_1,\dots,X_k, X)}{{\mathfrak G}(X_1,\dots,X_k)} \ ,

что и завершает доказательство.


2017/03/19 10:06 редактировал au