УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА


Доказательство факта, что для произвольного полинома p_{}(x), не равного тождественно нулю, выполнено:

\int_{a}^b p^2(t) d\,t > 0 \ ,

т.е. для скалярного произведения, введенного формулой

\langle p(x),q(x) \rangle =\int_{a}^b p(t)q(t) d\,t

выполняется аксиома 4.

Прежде всего заметим, что для любого полинома p_{}(x) будет выполнено \int_{a}^b p^2(t) d\,t \ge 0 (интегрирование неотрицательной функции). Предположим, что существует p(x)\not\equiv 0 такой, что \int_{a}^b p^2(t) d\,t = 0. По основной теореме высшей алгебры, число корней полинома p(x), расположенных на [a,b], конечно, и, следовательно, можно подобрать такой интервал [a_1,b_1] \subset [a,b], на котором корней вовсе нет. На основании свойства аддитивности интеграла:

0=\int_{a}^b p^2(t) d\,t =\int_{a}^{a_1} p^2(t) d\,t +\int_{a_1}^{b_1} p^2(t) d\,t +\int_{b_1}^{b} p^2(t) d\,t \ .

Из того, что каждое слагаемое неотрицательно следует, что все они должны обращаться в нуль. C другой стороны, по теореме о среднем имеем

0=\int_{a_1}^{b_1} p^2(t) d\,t =p^2(\xi)(b_1-a_1) \ , \ npu \ \xi\in [a_1,b_1] \ .

Следовательно, p(\xi)=0, т.е. полином p(x) имеет корень на [a_1,b_1], что противоречит предположению.


2019/03/21 09:09 редактировал au