УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО


Задачи

1. В пространстве \mathbb P_{n} полиномов степеней \le n с вещественными коэффициентами выделяется подпространство полиномов таких, что p(a)=p(b) при фиксированных a_{} и b_{}, a<b_{}. Можно ли в этом подпространстве определить скалярное произведение формулой

\langle p(x),q(x) \rangle = \int_{a}^b p(t)d\, q(t) \ ?

2. Может ли в пространстве \mathbb R^{3} скалярное произведение векторов X_1=(1,1,1),\ X_2=(1,0,-1),\ X_3=(2,1,1) задаваться так, чтобы матрица Грама имела вид

G(X_1,X_2,X_3)= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right) \ ?

Если да, то чему равно тогда скалярное произведение векторов (1,2,3) и (-3,-2,-1) ?

3. В пространстве полиномов \mathbb P_2 скалярное произведение задано формулой

\langle a_0x^2+a_1x+a_2,b_0x^2+b_1x+b_2 \rangle=a_0b_0+a_1b_1+a_2b_2 \ .

Ортогонализовать систему полиномов

\{ (x+1)(x+2),\ x(x+2),\ x(x+1) \} \ .

4. Найти множество точек пространства \mathbb R^{3} равноудаленных от плоскостей

x_1+2\, x_2+3\, x_3=0 \qquad и \qquad x_1+x_2+x_3=0 \, .

5. Доказать, что процесс ортогонализации векторов X_1,X_2,\dots может быть записан с помощью аппарата определителей в виде:

\mathfrak E_1= X_1, \ \mathfrak E_2=\frac{ \left|\begin{array}{cc} \langle X_1,X_1 \rangle & \langle X_1,X_2 \rangle \\ X_1 & X_2 \end{array} \right|}{\langle X_1,X_1 \rangle}, \ \mathfrak E_3=\frac{ \left|\begin{array}{ccc} \langle X_1,X_1 \rangle & \langle X_1,X_2 \rangle & \langle X_1,X_3 \rangle \\ \langle X_2,X_1 \rangle & \langle X_2,X_2 \rangle & \langle X_2,X_3 \rangle \\ X_1 & X_2 & X_3 \end{array} \right|}{ \left|\begin{array}{cc} \langle X_1,X_1 \rangle & \langle X_1,X_2 \rangle \\ \langle X_2,X_1 \rangle & \langle X_2,X_2 \rangle \end{array} \right|}, \dots

Здесь предполагается, что каждый определитель числителя формально раскладывается по элементам последней строки.

Подсказка. См. задачу 7 ЗДЕСЬ.

6. Ортогонализовать систему векторов в \mathbb R^n:

[-1,1,0,\dots,0],\ [-1,0,1,\dots,0],\dots, [-1,0,0,\dots,1] \, .

Скалярное произведение задано стандартным способом.


2018/01/24 10:23 редактировал au