УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Для понимания материалов этого раздела желательно просмотреть разделы ПОЛИНОМ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ и РЕЗУЛЬТАНТ.

Страница — в разработке; начало работ — 20.08.2018, окончание — ??.??.????

Теория исключения

Так называется раздел классической высшей алгебры, посвященный решению систем уравнений

f_1(x_1,\dots,x_n)=0,\dots, f_n(x_1,\dots,x_n)=0 \ ,

где f_1,\dots,f_n — полиномы по x_1,\dots,x_n. Основной целью теории исключения ставится сведение задачи решения этой системы к одномерному случаю. Именно, с помощью элементарных преобразований систему как правило удается свести к эквивалентной ей (т.е. имеющей тот же набор решений) системе вида

{\mathcal X}(x_1)=0,\, x_2-\theta_2 (x_1)=0, \dots, x_n-\theta_n (x_1)=0 \ .

Здесь {\mathcal X}(x_1) — полином, а \theta_2 (x_1),\dots,\theta_n (x_1) — рациональные функции по x_1. Следовательно, в этом случае решение исходной системы сведется к решению уравнения от одной переменной; иными словами, все остальные переменные оказываются исключенными. Каждый корень полинома {\mathcal X}(x_1) задает первую компоненту (координату) решения системы, а соответствующие ему остальные компоненты выражаются рационально через первую с помощью оставшихся уравнений эквивалентной системы.

Система двух уравнений

Система трех уравнений

П

Пример. Найти значения коэффициентов \{{\color{RubineRed} c }_{jk} \}, при которых система

\left\{\begin{array}{l} f_1(x,y)=4\,x^2-7\,xy+y^2+13\,x-2\,y-3=0 \ ,\\ f_2(x,y)=9\,x^2-14\,xy+y^2+28\,x-4\,y-5=0 \ , \\ g(x,y)={\color{RubineRed} c }_{11}xy+{\color{RubineRed} c }_{10}x+{\color{RubineRed} c }_{01}y+{\color{RubineRed} c }_{00} \end{array}\right.

имеет решение.

Решение. Из двух первых уравнений можно выразить мономы x^2 и y^2 линейно через оставшиеся 1,x,y,xy (фактически решив эти уравнения как линейные относительно x^2, y^2)

\left\{\begin{array}{l} x^2=\frac{7}{5}xy-3x+\frac{2}{5}y+\frac{2}{5}\, ,\\ y^2=\frac{7}{5}xy-x+\frac{2}{5}y+\frac{7}{5}\, . \end{array}\right.

Умножим первое их получившихся соотношений на y, второе — на x:

\left\{\begin{array}{l} x^2y=\frac{7}{5}xy^2-3xy+\frac{2}{5}y^2+\frac{2}{5}y\, ,\\ xy^2=\frac{7}{5}x^2y-x^2+\frac{2}{5}xy+\frac{7}{5}x, \end{array}\right.

подставим сюда выражения для x^2 и y^2 из исходных же соотношений:

\left\{\begin{array}{l} -x^2y+\frac{7}{5}xy^2-\frac{61}{25}xy-\frac{2}{5}x+\frac{14}{25}y+\frac{14}{25}=0\, , \\ \frac{7}{5}x^2y-xy^2-xy+\frac{22}{5}x-\frac{2}{5}y-\frac{2}{5}=0 \end{array}\right.

Теперь разрешим эти уравнения — как линейные — относительно мономов x^2y и xy^2:

\left\{\begin{array}{l} x^2y = 4\,xy-6\,x \, , \\ xy^2=\frac{23}{5}xy-4x-\frac{2}{5}y-\frac{2}{5} \, . \end{array}\right.

Домножим первое соотношение на y и подставим в полученное равенство выражение для xy^2 из второй формулы:

x^2y^2 =\frac{62}{5}xy-16\,x-\frac{8}{5}y-\frac{8}{5} \, .

Итак, действуя только с двумя первыми уравнениями, мы получили формулы, линейно выражающие мономы высших степеней x^2,y^2,x^2y,xy^2, x^2y^2 через мономы 1,x,y,xy.

Теперь подключаем третье уравнение системы. Дожножим g(x,y)=0 на x и в получившемся уравнении выполним подстановки вместо x^2y и x^2:

\left(4\,c_{11}+\frac{7}{5}c_{10}+c_{01}\right)xy+(-6\,c_{11}-3\,c_{10}x+c_{00})x+\frac{2}{5}c_{10}y+\frac{2}{5}c_{10}=0 \, .

Аналогично, дожножим g(x,y)=0 на y и в получившемся уравнении выполним подстановки вместо xy^2 и y^2:

\left(\frac{23}{5}c_{11}+\frac{7}{5}c_{01}+c_{10} \right)xy+(-4\,c_{11}-c_{01})x+\left(\frac{2}{5}c_{01}-\frac{2}{5}c_{11} +c_{00}\right)y-\frac{2}{5}c_{11}+\frac{7}{5}c_{01}=0 \, .

Наконец, домножим g(x,y)=0 на xy и в получившемся уравнении выполним подстановки вместо x^2y^2, x^2y и xy^2:

\left(\frac{62}{5}c_{11}+\frac{23}{5}c_{01}+4\,c_{10}+c_{00} \right)xy+
+(-16\,c_{11}-4\,c_{01}-6c_{10})x+\left(-\frac{2}{5}c_{01}y-\frac{8}{5}c_{11} \right)y-\frac{8}{5}c_{11}-\frac{2}{5}c_{01}=0 \, .

Получили 4 соотношения эквивалентные соотношениям

g(x,y)=0,\ xg(x,y)=0, yg(x,y)=0,\ xyg(x,y)=0 \, ,

которые должны быть выполнены на любом решении системы уравнений f_1(x,y)=0,\ f_2(x,y)=0. Но эти 4 уравения можно рассматривать как линейные относительно мономов xy, x, y, 1. Однородная система линейных уравнений имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ее определитель

\left|\begin{array}{cccc} c_{11} & c_{10} & c_{01} & c_{00} \\ 4\,c_{11}+\frac{7}{5}c_{10}+c_{01} & -6\,c_{11}-3\,c_{10}x+c_{00} & \frac{2}{5}c_{10} & \frac{2}{5}c_{10} \\ \frac{23}{5}c_{11}+\frac{7}{5}c_{01}+c_{10} & -4\,c_{11}-c_{01} & \frac{2}{5}c_{01}-\frac{2}{5}c_{11} +c_{00} & -\frac{2}{5}c_{11}+\frac{7}{5}c_{01} \\ \frac{62}{5}c_{11}+\frac{23}{5}c_{01}+4\,c_{10}+c_{00} & -16c_{11}-4c_{01}-6c_{10} & -\frac{2}{5}c_{01}-\frac{8}{5}c_{11} & -\frac{8}{5}c_{11}-\frac{2}{5}c_{01} \end{array} \right|

равен нулю. Этот определитель является полиномом относительно c_{11},c_{10},c_{01},c_{00}, который факторизуется в произведение линейных множителей:

(c_{01}-c_{00})(2\,c_{01}+c_{00}+c_{10}+2\,c_{11})(3\,c_{01}+c_{00}+2\,c_{10}+6\,c_{11})(c_{01}+c_{00}-2\,c_{10}-2c_{11}) \, .

Для того, чтобы исходная система была совместной необходимо, чтобы хотя бы один из этих линейных сомножителей обращался в нуль.

Проверка. Система уравений f_1(x,y)=0 и f_2(x,y)=0 имеет 4 решения: (0,-1); (1,2) ; (2,3) ; (-2,1). Легко проверить, что полученное выражение для определителя представляет собой произведение

-g(0,-1)g(1,2)g(2,3)g(-2,1) \, .

Очевидно, что предложенный в решении примера алгоритм будет работать и для случая произвольных квадратичных полиномов f_1 и f_2 — если только решаемая на каждом шаге система линейных уравнений будет однозначно разрешимой. Понятно, что, как правило, эти системы будут разрешимы, поскольку вероятность того, что соответствующие определители обратятся в нуль при случайном выборе коэффициентов полиномов — нулевая. Также очевидна возможность обобщения алгоритма на случай произвольного квадратичного полинома g(x,y) с ненулевыми коэффициентами при x^2 и y^2: после того как эти мономы выражены линейно через xy, x, y, 1, производится подстановка в g(x,y); задача тем самым сводится к уже решенной.

Резюмируя, можно сформулировать гипотезу о существовании некоторой полиномиальной функции коэффициентов полиномов f_1(x,y), f_2(x,y) и g(x,y), обращение которой в нуль дает необходимое условие существования решения системы уравнений

f_1(x,y)=0, f_2(x,y)=0, g(x,y)=0 \, .

Иными словами, мы получаем аналог результанта двух полиномов от одной переменной.

Источники

Netto E. Vorlesungen über Algebra. Teubner, Leipzig, Bd.1.1896, Bd.2.1900

Bikker P.,Uteshev A.Yu. On the Bézout Construction of the Resultant. J.Symbolic Computation, 1999, Vol.28, № 1. P.45-88. Текст ЗДЕСЬ (pdf)


2018/08/20 13:17 редактировал au