УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


Вронскиан и его применения

Вронскианом системы функций \{u_1(x),\dots,u_n(x)\} называется определитель

W(u_1(x),\dots,u_n(x))= \left| \begin{array}{llll} u_1(x) & u_2(x) & \dots & u_n(x) \\ u_1^{\prime}(x) & u_2^{\prime}(x) & \dots & u_n^{\prime}(x) \\ u_1^{\prime \prime}(x) & u_2^{\prime \prime}(x)&\dots& u_n^{\prime \prime}(x)\\ \dots & & & \dots \\ u_1^{(n-1)}(x) &u_2^{(n-1)}(x) &\dots & u_n^{(n-1)}(x) \end{array} \right| \ ;

(функции предполагаются (n-1) раз дифференцируемыми при в точке x_{}).

Т

Теорема. Аналитические на интервале ]a,b[ функции u_1(x),\dots,u_n(x) будут линейно зависимыми на ]a,b[ тогда и только тогда, когда W(u_1(x),\dots,u_n(x))\equiv 0 на ]a,b[.

?

Являются ли системы функций

a) \{ 1,\cos^2 x,\cos^4 x,\cos (4\,x) \}; б) \{ 1,\sin^2 x,\sin^4 x,\sin (4\,x) \}; в) \{ \sin x,\sin^3 x,\sin (3\,x) \}

линейно зависимыми на \mathbb R?

Решение (частичное) ☞ ЗДЕСЬ.

§

Условие аналитичности функций является существенным для необходимости и достаточности условия теоремы. Так, функции

u_1(x)=x^2 \quad u \quad u_2(x)=\left\{ \begin{array}{rl} -x^2 & npu \ x<0 \\ x^2 & npu \ x\ge 0 \end{array} \right.

являются линейно независимыми, но их вронскиан тождественно равен нулю при x\in \mathbb R. Однако, поскольку практически все встречавшиеся мне на практике функции были аналитическими, то я обычно не заморачиваю себе голову дополнительными проверками…

=>

Если W(u_1,u_2,\dots,u_n) \equiv 0 при \forall x\in ]a,b[, а W(u_2,\dots,u_n) \ne 0 при \forall x\in ]a,b[, то существуют такие постоянные c_2,\dots,c_n, что

u_1 \equiv c_2u_2+\dots+c_n u_n \quad npu \quad x \in ]a,b[ \ .

Т

Теорема. При любых постоянных \{c_{jk}\}_{j,k=1}^n выполяется равенство

W(c_{11}u_1+c_{12}u_2+\dots+c_{1n}u_n,c_{21}u_1+c_{22}u_2+\dots+c_{2n}u_n,\dots, c_{n1}u_1+c_{n2}u_2+\dots+c_{nn}u_n)=\det \left[ c_{jk}\right]_{j,k=1}^n W(u_1,u_2,\dots,u_n) \ .

Т

Теорема.

W(u_1(\phi(x)),u_2(\phi(x)),\dots,u_n(\phi(x))) \equiv \left( \phi(x) \right)^n W(u_1(y),u_2(y),\dots,u_n(y)) \ ,

здесь после вычисления вронскиана в правой части тождества, в него производится подстановка y= \phi(x).

Т

Теорема [Кристофель]. Если \{u(x),u_1(x),\dots,u_n(x)\}функции (n-1) раз дифференцируемые на ]a,b[, то

W(u(x)u_1(x),\dots,u(x)u_n(x))\equiv (u(x))^n W(u_1(x),\dots,u_n(x)) на ]a,b[ \ .

Т

Теорема. Если функции \{u_1(x),\dots,u_n(x)\} дифференцируемы n_{} раз, то дифференцирование вронскиана сводится к дифференцированию его последней строки:

\frac{d\, }{d\, x} \left| \begin{array}{llll} u_1(x) & u_2(x) & \dots & u_n(x) \\ u_1^{\prime}(x) & u_2^{\prime}(x) & \dots & u_n^{\prime}(x) \\ u_1^{\prime \prime}(x) & u_2^{\prime \prime}(x)&\dots& u_n^{\prime \prime}(x)\\ \dots & & & \dots \\ u_1^{(n-2)}(x) &u_2^{(n-2)}(x) &\dots & u_n^{(n-2)}(x) \\ u_1^{(n-1)}(x) &u_2^{(n-1)}(x) &\dots & u_n^{(n-1)}(x) \end{array} \right| \equiv \left| \begin{array}{llll} u_1(x) & u_2(x) & \dots & u_n(x) \\ u_1^{\prime}(x) & u_2^{\prime}(x) & \dots & u_n^{\prime}(x) \\ u_1^{\prime \prime}(x) & u_2^{\prime \prime}(x)&\dots& u_n^{\prime \prime}(x)\\ \dots & & & \dots \\ u_1^{(n-2)}(x) &u_2^{(n-2)}(x) &\dots & u_n^{(n-2)}(x) \\ u_1^{(n)}(x) &u_2^{(n)}(x) &\dots & u_n^{(n)}(x) \end{array} \right|

Доказательство следует из правила дифференцирования определителя и свойства 3 определителя (см. ☞ ЗДЕСЬ ).

Задача. По заданной системе функций \{u_1(x),\dots,u_n(x)\} построить дифференциальное уравнение, которому они удовлетворяют.

Т

Теорема. Если вронскиан W(u_1(x),\dots,u_n(x)) не равен тождественно нулю, то набор \{u_1(x),\dots,u_n(x)\} образует фундаментальную систему решений для дифференциального уравнения n-го порядка

\frac{W(u_1(x),\dots,u_n(x),y(x))}{W(u_1(x),\dots,u_n(x))}=0 \ ,

(коэффициент при y^{(n)}(x) равен 1).


2018/09/02 10:26 редактировал au