УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу РЕЗУЛЬТАНТ


Задачи

1. Определить все вещественные значения параметров {\color{RubineRed} \alpha } и {\color{RubineRed} \beta }, при которых полином z^5+{\color{RubineRed} \alpha }\,z^4+3\,z^3+{\color{RubineRed} \beta }\,z+7 имеет чисто мнимые корни (т.е. корни вида z={\mathbf i} y при y \in \mathbb R и {\mathbf i} — мнимой единице). Выразить в этом случае чисто мнимые корни в виде функций от {\color{RubineRed} \alpha } и {\color{RubineRed} \beta }.

2. На плоскости параметров ({\color{RubineRed} \alpha }, {\color{RubineRed} \beta }) построить область устойчивости полинома

x^6+11\,x^5+{\color{RubineRed} \alpha } x^4+204\,x^3+397\,x^2+{\color{RubineRed} \beta } x+231 \ .

3. Определить все вещественные значения параметра {\color{RubineRed} \alpha }, при которых система уравнений

\left\{\begin{array}{l} f(x,y)=3\,x^2+3\,xy+{\color{RubineRed} \alpha }\,y^2-3\,x-12\,y+10=0 \ ,\\ g(x,y)=x^3+y^3-x^2+xy-5\,y^2-5\,x+7\,y-3=0 \ , \end{array}\right.

рассматриваемая относительно x_{} и y_{}, не имеет вещественных решений.

4. Для полиномов f(x)= x^2+a_1x+a_2 и g(x)= x^2+b_1x+b_2 построить полином 4_{}-й степени, имеющий корнями всевозможные попарные произведения корней рассматриваемых полиномов, т.е. числа \{\lambda_j\mu_k\}_{j,k=1}^2, где \lambda_j — корень полинома f_{}(x), а \mu_k — корень полинома g_{}(x). Решить также задачу для полиномов f_{}(x) и g_{}(x) произвольных степеней.

5. Для полинома f(x), \deg f \ge 2 построить полином F(y), корнями которого являются попарные суммы корней полинома f(x). Именно, если \{\lambda_1,\dots,\lambda_n\} —система корней f(x), то система корней полинома F(y) должна совпадать с \{\lambda_j+ \lambda_k \} при 1\le j < k \le n.

6. Доказать, что характеристический полином матрицы g(A), где A\in \mathbb C^{n\times n} совпадает с преобразованием Чирнгауза характеристического полинома матрицы A.


2019/04/03 09:10 редактировал au