УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу РЕЗУЛЬТАНТ. Здесь поясняется идейная основа понятия результанта.


Результант в форме Сильвестра: откуда он взялся?

Система линейных уравнений

П

Пример. Найти условие, при котором полиномы

f(x)=a_0x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+a_5 \ u \ g(x)=b_0x^3+b_1x^2+b_2x+b_3

(a_0\ne0,b_0\ne0) имеют общий корень.

Решение. Пусть f и g имеют общий (в общем случае комплексный) корень x=\lambda \in {\mathbb C}: f(\lambda )=0,g(\lambda )=0. Сгенерируем из этих равенств еще несколько:

\begin{array}{rrrrrrrrrr} \lambda^2 f(\lambda)=&a_0\lambda^7&+a_1\lambda^6&+a_2\lambda^5&+a_3\lambda^4&+a_4\lambda^3&+a_5\lambda^2&&&=0 ,\\ \lambda f(\lambda)=&&a_0\lambda^6&+a_1\lambda^5&+a_2\lambda^4&+a_3\lambda^3&+a_4\lambda^2&+a_5\lambda&&=0, \\ f(\lambda)=&&&a_0\lambda^5&+a_1\lambda^4&+a_2\lambda^3&+a_3\lambda^2&+a_4\lambda&+a_5&=0,\\ g(\lambda)=&&&&&b_0\lambda^3&+b_1\lambda^2&+b_2\lambda&+b_3&=0, \\ \lambda g(\lambda)=&&&&b_0\lambda^4&+b_1\lambda^3&+b_2\lambda^2&+b_3\lambda&&=0,\\ \lambda^2g(\lambda)=&&&b_0\lambda^5&+b_1\lambda^4&+b_2\lambda^3&+b_3\lambda^2&&&=0, \\ \lambda^3g(\lambda)=&&b_0\lambda^6&+b_1\lambda^5&+b_2\lambda^4&+b_3\lambda^3&&&&=0,\\ \lambda^4g(\lambda)=&b_0\lambda^7&+b_1\lambda^6&+b_2\lambda^5&+b_3\lambda^4&&&&&=0 . \end{array}

Запишем эти равенства как систему линейных уравнений в матричном виде:

\begin{array}{r} 3\left\{\begin{array}{r} \\ \\ \\ \end{array}\right. \\ 5\left\{\begin{array}{r} \\ \\ \\ \\ \\ \end{array}\right. \end{array} \underbrace{\left(\begin{array}{cccccccc} a_0&a_1&a_2&a_3&a_4&a_5&&\\ &a_0&a_1&a_2&a_3&a_4&a_5&\\ &&a_0&a_1&a_2&a_3&a_4&a_5\\ &&&&b_0&b_1&b_2&b_3\\ &&&b_0&b_1&b_2&b_3&\\ &&b_0&b_1&b_2&b_3&&\\ &b_0&b_1&b_2&b_3&&&\\ b_0&b_1&b_2&b_3&&&& \end{array}\right)}_{\textstyle M_{8\times8}} \underbrace{\left(\begin{array}{c} \lambda^7 \\ \lambda^6 \\ \lambda^5 \\ \lambda^4 \\ \lambda^3 \\ \lambda^2 \\ \lambda \\ 1 \end{array}\right)}_{X} ={\mathbb O}_{8\times 1}

относительно столбца неизвестных

X=\left[\lambda^7,\lambda^6,\lambda^5,\lambda^4,\ldots,1 \right]^{\top}

(неуказанные элементы матрицы M считаются равными нулю). Эта система однородная и имеет нетривиальное решение (последняя компонента вектора X равна единице). Следовательно, на основании теоремы Кронекера-Капелли, определитель ее матрицы равен нулю: \det M=0. Но этот определитель, с точностью до знака, совпадает с результантом \mathcal R (f,g) полиномов f(x) и g(x). Таким образом, условие \mathcal R (f,g) является, по крайней мере, необходимым для существования общего корня полиномов f и g.

Результант и наибольший общий делитель полиномов

К результанту в форме Сильвестра можно придти и с другой стороны — поставив задачу поиска наибольшего общего делителя полиномов f_{}(x) и g_{}(x): см. ЗДЕСЬ.

Т

Теорема. Полиномы f_{}(x) и g_{}(x) будут взаимно просты тогда и только тогда, когда найдутся два полинома \{u(x),v(x)\} \subset \mathbb C[x] такие, что будет выполнено тождество Безу:

f(x)v(x)+g(x)u(x) \equiv 1 \ .

=>

Если для \{f(x),g(x)\} \subset \mathbb C[x] существует хотя бы одна пара полиномов, удовлетворяющая тождеству Безу, то таких пар существует бесконечно много. Однако при дополнительном ограничении на степени \deg v < \deg g, \ \deg u < \deg f такая пара полиномов будет единственна.

Будем искать полиномы u(x) и v(x) из последнего следствия методом неопределенных коэффициентов. Поскольку известны ограничения на степени полиномов, то их можно представить в каноническом виде

u(x)=U_0x^{n-1} + U_1x^{n-2}+\dots + U_{n-1}, \quad v(x)=V_0x^{m-1} + V_1x^{m-2}+\dots + V_{m-1}

при m = \deg g(x), n = \deg f(x) и коэффициентах U_0,\dots,U_{n-1}, V_0,\dots,V_{m-1}, которые и требуется определить. Для их нахождения используется тождество Безу, в левой части которого после приведения подобных образуется полином (n+m-1)-й степени. Поскольку этот полином должен тождественно равняться 1, то все его коэффициенты должны быть равными нулю, кроме свободного члена, равного 1. Полученная система из n+m уравнений будет линейной относительно коэффициентов U_0,\dots, U_{n-1},V_0,\dots, V_{m-1}. Следствие к теореме гарантирует единственность решения этой системы в случае \operatorname{HOD}(f(x),g(x)) \equiv 1.

П

Пример. Построить систему линейных уравнений для определения коэффициентов полиномов u_{}(x) и v_{}(x) для случая n_{}=5,m=3.

Решение. В этом примере полиномы u(x) и v(x) следует искать в виде

v(x) = V_0x^2+V_1x+V_2,\ u(x)= U_0x^4+U_1x^3+U_2x^2+U_3x+U_4 \ .

Подставим эти выражения в тождество Безу

(V_0a_0+U_0b_0)x^7+(V_0a_1+V_1a_0+U_0b_1+U_1b_0)x^6+\dots+(V_2a_5+U_4b_3) \equiv 1 \ .

Имеем:

\left\{ \begin{array}{rrrrrrrrr} V_0a_0& & &+U_0b_0& & && &=0 \\ V_0a_1&+V_1a_0& &+U_0b_1&+U_1b_0& && &=0 \\ V_0a_2&+V_1a_1&+V_2a_0&+U_0b_2&+U_1b_1& +U_2b_0&& &=0 \\ &&\dots&&&\dots&&& \dots \\ &&V_2a_5& &&&&+U_4b_3&=1 \end{array} \right.

Получим систему из восьми линейных уравнений для определения восьми коэффициентов V_0,V_1,V_2, U_0,U_1,U_2,U_3,U_4. Определитель этой системы

\left| \begin{array}{rrrrrrrr} a_0 & 0 & 0 & b_0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ a_1 & a_0 & 0 & b_1 & b_0 & 0 & 0 & 0 \\ a_2 & a_1 & a_0 & b_2 & b_1 & b_0 & 0 & 0 \\ a_3 & a_2 & a_1 & b_3 & b_2 & b_1 & b_0 & 0 \\ a_4 & a_3 & a_2 & 0 & b_3 & b_2 & b_1 & b_0 \\ a_5 & a_4 & a_3 & 0 & 0 & b_3 & b_2 & b_1 \\ 0 & a_5 & a_4 & 0 & 0 & 0 & b_3 & b_2 \\ 0 & 0 & a_5 & 0 & 0 & 0 & 0 & b_3 \end{array} \right|

с точностью до транспонирования и перестановки столбцов совпадает с результантом. По предположению, система должна иметь единственное решение. Следовательно (см. формулы Крамера ) ее определитель не равен нулю. Верно и обратное, если определитель отличен от нуля, то решение у системы единственно, т.е. полиномы f_{}(x) и g_{}(x) — взаимно просты. Таким образом, мы получили еще один вывод основного свойства результанта: обращение в нуль \mathcal R(f,g) является необходимым и достаточным условием существования нетривиального \operatorname{HOD} (f,g).

§

Этот вывод, кстати, не предполагает возможности представления \mathcal R(f,g) через корни полиномов f_{}(x) или g_{}(x). Сама такая возможность может быть использована для доказательства основной теоремы высшей алгебры и я когда-нибудь этот материал выложу…

Сами полиномы u_{}(x) и v_{}(x) из тождества Безу можно изящно выразить опять-таки в форме сильвестроподобных определителей.

Т

Теорема. Существуют полиномы \tilde u(x) и \tilde v (x) из \mathbb A[x] cтепеней \deg \tilde u \le (\deg f)-1,\ \deg \tilde v \le (\deg g) -1, удовлетворяющие тождеству

{\mathcal R}(f,g)\equiv f(x) \tilde v(x)+g(x) \tilde u(x) \ .

Если, вдобавок, полиномы f_{}(x) и g_{}(x) взаимно просты, то полиномы \tilde u(x) и \tilde v(x) определяются единственным образом.

Доказательство проведем снова для случая n_{}=5 и m_{}=3. Прибавим к последнему столбцу определителя матрицы M_{}

\left|\begin{array}{cccccccccc} a_0&a_1&a_2&\ldots&\ldots&a_n&0&\dots &0 &0\\ 0&a_0&a_1&\ldots&\ldots&a_{n-1}&a_n&\dots&0 &0\\ \vdots&&\ddots&&&&&&\ddots\\ 0&0&\ldots&a_0&\ldots&\ldots & & \ldots &a_{n-1} &a_n\\ 0&0&\ldots&&b_0&b_1&\ldots& \ldots &b_{m-1}&b_m\\ 0&0&\ldots&b_0&b_1&\ldots &&\ldots &b_m&0\\ \vdots&&&\ldots&&&& &&\vdots\\ 0&b_0&\ldots&\ldots&&b_m&\ldots&&\ldots&0\\ b_0&\ldots&\ldots&&b_m&0&\ldots&&&0 \end{array}\right|

его первый столбец, домноженный на x^{7}, второй, домноженный на x^{6}, и т.д., предпоследний, домноженный на x_{}. Величина определителя не изменится (cм. свойство 6 ЗДЕСЬ ). С другой стороны1),

{\mathcal R}(f,g)=\left|\begin{array}{cccccccr} a_0&a_1&a_2&a_3&a_4&a_5&0&x^2f(x)\\ 0&a_0&a_1&a_2&a_3&a_4&a_5&xf(x)\\ 0&0&a_0&a_1&a_2&a_3&a_4&f(x)\\ 0&0&0&0&b_0&b_1&b_2&g(x)\\ 0&0&0&b_0&b_1&b_2&b_3&xg(x)\\ 0&0&b_0&b_1&b_2&b_3&0&x^2g(x)\\ 0&b_0&b_1&b_2&b_3&0&0&x^3g(x)\\ b_0&b_1&b_2&b_3&0&0&0&x^4g(x) \end{array}\right| .

Представим последний столбец определителя в виде суммы двух:

[f(x)x^2,f(x)x,f(x),0,0,0,0,0]^{\top} \ u \ [0,0,0,g(x),xg(x),x^2g(x),x^3g(x), x^4g(x)]^{\top} \ ;

тогда определитель можно также расщепить (cм. свойство 5 ЗДЕСЬ ) в сумму двух. Следовательно, полином \tilde v(x) равен определителю, получающемуся из результанта в форме Сильвестра заменой в нем последнего столбца на [x^2,x,1,0,0,0,0,0]^{\top}, а \tilde u(x) — заменой последнего столбца на [0,0,0,1,x,x^2,x^3,x^4]^{\top}.

П

Пример. Найти полиномы u_{}(x) и v_{}(x), удовлетворяющие тождеству Безу для f(x)=x^{5}-4\,x-2,\ g(x)=x^3-1.

Решение. Имеем2):

{\mathcal R}(f,g)=\left|\begin{array}{rrrrrrrr} 1&0&0&0&-4&-2&0&0\\ 0&1&0&0&0&-4&-2&0\\ 0&0&1&0&0&0&-4&-2\\ 0&0&0&0&1&0&0&-1\\ 0&0&0&1&0&0&-1&0\\ 0&0&1&0&0&-1&0&0\\ 0&1&0&0&-1&0&0&0\\ 1&0&0&-1&0&0&0&0 \end{array}\right|=95 \ .

Разложим по последнему столбцу определитель

\tilde v(x)=\left|\begin{array}{rrrrrrrr} 1&0&0&0&-4&-2&0&x^2\\ 0&1&0&0&0&-4&-2&x\\ 0&0&1&0&0&0&-4&1\\ 0&0&0&0&1&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&0&-1&0\\ 0&0&1&0&0&-1&0&0\\ 0&1&0&0&-1&0&0&0\\ 1&0&0&-1&0&0&0&0 \end{array}\right|= -18\,x^2+7\,x-8\ .

Аналогично находим \tilde u(x)= 18\,x^{4}-7\,x^3+8\,x^2+18\,x-79.

Ответ. u(x) =1/95 (18\,x^4-7\,x^3+8\,x^2+18\,x-79 ),\ v(x)=1/95 (-18\,x^2+7\,x-8).

§

В настоящем пункте мы рассматривали случай полиномов f_{}(x) и g_{} (x) с комплексными коэффициентами. Легко проверить, что все результаты будут справедливы и для полиномов с коэффициентам рациональными — с соответствующей коррекцией всех выводов.

Откуда берутся субрезультанты?

Рассмотрим снова пример, с которого начинается настоящий раздел.

П

Пример. Пусть полиномы

f(x)=a_0x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+a_5 \ u \ g(x)=b_0x^3+b_1x^2+b_2x+b_3

(a_{0}\ne0,b_0\ne0) имеют общий корень. Выразить этот общий корень через коэффициенты полинома.

Решение. Если обозначить общий корень полиномов f_{} и g_{} через \lambda_{}, то можно выписать систему линейных уравнений, которую мы привели ВЫШЕ для вывода условия на результант. Выбросим из этой системы первое и последнее равенства:

\begin{array}{cccccccr} a_0\lambda^6+&a_1\lambda^5+&a_2\lambda^4+&a_3\lambda^3+&a_4\lambda^2+&a_5\lambda&&=0\ ,\\ &a_0\lambda^5+&a_1\lambda^4+&a_2\lambda^3+&a_3\lambda^2+&a_4\lambda+&a_5&=0\ ,\\ &&&b_0\lambda^3+&b_1\lambda^2+&b_2\lambda+&b_3&=0\ ,\\ &&b_0\lambda^4+&b_1\lambda^3+&b_2\lambda^2+&b_3\lambda&&=0\ ,\\ &b_0\lambda^5+&b_1\lambda^4+&b_2\lambda^3+&b_3\lambda^2&&&=0\ ,\\ b_0\lambda^6+&b_1\lambda^5+&b_2\lambda^4+&b_3\lambda^3&&&&=0\ . \end{array}

Перепишем в матричном виде

\underbrace{\left(\begin{array}{cccccc} a_0&a_1&a_2&a_3&a_4&a_5\\ 0&a_0&a_1&a_2&a_3&a_4\\ 0&0&0&b_0&b_1&b_2\\ 0&0&b_0&b_1&b_2&b_3\\ 0&b_0&b_1&b_2&b_3&0\\ b_0&b_1&b_2&b_3&0&0 \end{array} \right)}_{\textstyle M_1} \left(\begin{array}{l} \lambda^6\\ \lambda^5\\ \lambda^4\\ \lambda^3\\ \lambda^2\\ \lambda \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\ -a_5\\ -b_3\\ 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right)\ .

Пусть \det M_1\ne 0. Тогда, по теореме Крамера, существует единственное решение системы относительно столбца неизвестных

Y=\left[\lambda^6,\lambda^5,\lambda^4,\ldots,\lambda \right]^{\top} \ ,

и последняя компонента этого решения — т.е. искомый корень \lambda_{} — может быть представлена в виде

\lambda=- \underbrace{\left| \begin{array}{cccccc} a_0&a_1&a_2&a_3&a_4&0\\ 0&a_0&a_1&a_2&a_3&a_5\\ 0&0&0&b_0&b_1&b_3\\ 0&0&b_0&b_1&b_2&0\\ 0&b_0&b_1&b_2&b_3&0\\ b_0&b_1&b_2&b_3&0&0 \end{array}\right|}_{\det M_1^{(1)}} / \det M_1\ .

Таким образом, при выполнении равенства \mathcal R(f,g)=0 условие \det M_1 \ne 0 является необходимым для единственности общего корня полиномов f(x) и g(x).

Определитель матрицы M_1, получаемой из матрицы Сильвестра вычеркиванием первого и последнего столбцов, первой и последней строк, называется первым субрезультантом полиномов f_{} и g_{}; будем обозначать его {\mathcal R}^{(1)}(f,g).

Источники

[1]. Бохер М. Введение в высшую алгебру. М.-Л. ГТТИ, 1933

[2]. Калинина Е.А., Утешев А.Ю. Теория исключения. Учеб. пособие. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2002. 72 с.

1) , 2) Пренебрегаем знаком из определения результанта.

2016/11/25 22:25 редактировал au