УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к странице СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ


Неприводимость определителя

Т

Теорема. Определитель, рассматриваемый как полином относительно своих элементов, является неприводимым.

Доказательство. Пусть \det A_{} раскладывается в произведение двух множителей:

f_1(a_{11},a_{12},\dots,a_{nn}) f_2(a_{11},a_{12},\dots,a_{nn})

— полиномов с комплексными коэффициентами. Поскольку \det A_{} является линейной функцией от любого своего элемента, то в случае когда f_{1} зависит от a_{11}^{}, полином f_{2} не должен зависеть от a_{11}^{}. Поскольку в разложении определителя все члены, содержащие a_{11}^{}, не должны содержать ни какого другого элемента первой строки и первого столбца, то в разложении f_{2} не должно быть элементов, зависящих от a_{j1}^{} и от a_{1k}^{}. Пусть a_{jk}^{} — элемент определителя, содержащийся в f_2. По уже упомянутому выше свойству определителя, ни один элемент j_{}-й строки и k_{}-го столбца определителя не должен содержаться в f_{1}. Таким образом, a_{j1}^{} и a_{1k}^{} не содержатся ни в f_{1}, ни в f_{2}. Это противоречит тому, что \det A_{} зависит от всех своих элементов.

Источник

[1]. Turnbull H.W. The Theory of Determinants, Matrices and Invariants. Blackie & Sons Ltd. 1929, сс.33-34


2016/11/27 09:38 редактировал au