УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу МАТРИЦА И ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ГРАМА


Т

Теорема. {\mathfrak G}(X_{1},\dots,X_m) \ge 0 для любой системы векторов \{X_{1},\dots,X_m \}.

Доказательство. Если система \{X_1,\dots,X_m \} линейно зависима, то \mathfrak{G}(X_1,\dots,X_m)= 0 по теореме, доказанной ЗДЕСЬ. Пусть система \{X_1,\dots,X_m \} линейно независима. Это означает, что при любом ненулевом наборе скаляров \alpha_1,\dots,\alpha_m вектор Y=\alpha_1 X_1+\dots+\alpha_m X_m будет ненулевым: Y \ne \mathbb O. Следовательно

0<\langle Y,Y \rangle=\underbrace{(\alpha_1,\dots, \alpha_m) \left( \begin{array}{ccc} \langle X_1,X_1 \rangle & \dots & \langle X_1,X_m \rangle \\ \dots & & \dots \\ \langle X_m,X_1 \rangle & \dots & \langle X_m,X_m \rangle \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_m \end{array} \right)}_{=F(\alpha_{_1},\dots,\alpha_{_m}) }

при любых (\alpha_1, \dots , \alpha_m) \ne \mathbb O. Это означает положительную определенность квадратичной формы F(\alpha_1,\dots,\alpha_m). По критерию Сильвестра все главные миноры ее матрицы — т.е. матрицы Грама — дожны быть положительными:

\mathfrak{G}(X_1)> 0,\mathfrak{G}(X_1,X_2)>0,\dots,\mathfrak{G}(X_1,X_2,\dots,X_m)>0 \, .


2018/05/10 08:32 редактировал au