УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу МАТРИЦА И ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ГРАМА


Задачи

1. Пусть \{X_{1},\dots,X_n, Y_1,\dots,Y_n \} — произвольная система векторов n_{}-мерного пространства \mathbb E_{}. Доказать, что

{\mathfrak G}(X_1,\dots,X_n){\mathfrak G}(Y_1,\dots,Y_n)= \left| \begin{array}{cccc} \langle X_1,Y_1 \rangle & \langle X_1,Y_2 \rangle & \dots & \langle X_1,Y_n \rangle \\ \langle X_2,Y_1 \rangle & \langle X_2,Y_2 \rangle & \dots & \langle X_2,Y_n \rangle \\ \dots & && \dots \\ \langle X_n,Y_1 \rangle & \langle X_n,Y_2 \rangle & \dots & \langle X_n,Y_n \rangle \end{array} \right|^2 \ .

2. Пусть \{X_{1},\dots,X_n \} и \{ {\mathfrak X}_{1},\dots, {\mathfrak X}_n \} — два базиса пространства \mathbb E_{}, а C_{}матрица перехода от одного базиса к другому. Доказать, что

G({\mathfrak X}_1,\dots, {\mathfrak X}_n )= C^{\top}G(X_1,\dots,X_n)C \ .

3. Пусть \{X_{1},\dots,X_n \} — произвольные векторы n_{}-мерного пространства \mathbb E_{}, а \mathcal A_{}линейный оператор, действующий в этом пространстве. Доказать, что

{\mathfrak G}(\mathcal A (X_1),\dots, \mathcal A (X_n))=\left( \det (\mathcal A) \right)^2 \cdot {\mathfrak G}(X_1,\dots, X_n) \ .

4. Доказать, что любая вещественная симметричная матрица A \in \mathbb R^{n\times n} с неотрицательными ведущими минорами (т.е. положительно полуопределенная ) является матрицей Грама некоторой системы столбцов \{X_1,\dots, X_n\} \subset \mathbb R^n; скалярное произведение задается стандартным способом. Иными словами, любую такую матрицу можно представить в виде произведения

A=C^{\top}C

при некоторой матрице C \in \mathbb R^{n\times n}.

5. [Пойа]. Доказать, что определитель

\det [(|X_1|^2+|X_2|^2+\dots+|X_m|^2)E-G(X_1,X_2,\dots,X_m)]=
=\left| \begin{array}{cccc} |X_2|^2+\dots+|X_m|^2 & -\langle X_1,X_2 \rangle & \dots & -\langle X_1,X_m \rangle \\ -\langle X_2,X_1 \rangle & |X_1|^2+|X_3|^2+\dots+|X_m|^2 & \dots & -\langle X_2,X_m \rangle \\ \dots & && \dots \\ -\langle X_m,X_1 \rangle & -\langle X_m,X_2 \rangle & \dots & |X_1|^2+\dots+|X_{m-1}|^2 \end{array} \right|

всегда неотрицателен и обращается в нуль тогда и только тогда, когда векторы \{X_1,\dots,X_m\} пропорциональны, т.е. \{X_j=c_j X \}_{j=1}^m при некоторых X \in \mathbb E и \{ c_j \}_{j=1}^ m \subset \mathbb R.


2019/05/31 23:54 редактировал au