УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу МАТРИЦА И ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ГРАМА


Задачи

1. Пусть \{X_{1},\dots,X_n, Y_1,\dots,Y_n \} — произвольная система векторов n_{}-мерного пространства \mathbb E_{}. Доказать, что

{\mathfrak G}(X_1,\dots,X_n){\mathfrak G}(Y_1,\dots,Y_n)= \left| \begin{array}{cccc} \langle X_1,Y_1 \rangle & \langle X_1,Y_2 \rangle & \dots & \langle X_1,Y_n \rangle \\ \langle X_2,Y_1 \rangle & \langle X_2,Y_2 \rangle & \dots & \langle X_2,Y_n \rangle \\ \dots & && \dots \\ \langle X_n,Y_1 \rangle & \langle X_n,Y_2 \rangle & \dots & \langle X_n,Y_n \rangle \end{array} \right|^2 \ .

2. Пусть \{X_{1},\dots,X_n \} и \{ {\mathfrak X}_{1},\dots, {\mathfrak X}_n \} — два базиса пространства \mathbb E_{}, а C_{}матрица перехода от одного базиса к другому. Доказать, что

G({\mathfrak X}_1,\dots, {\mathfrak X}_n )= C^{\top}G(X_1,\dots,X_n)C \ .

3. Пусть \{X_{1},\dots,X_n \} — произвольные векторы n_{}-мерного пространства \mathbb E_{}, а \mathcal A_{}линейный оператор, действующий в этом пространстве. Доказать, что

{\mathfrak G}(\mathcal A (X_1),\dots, \mathcal A (X_n))=\left( \det (\mathcal A) \right)^2 \cdot {\mathfrak G}(X_1,\dots, X_n) \ .

4. Доказать, что любая вещественная симметричная матрица A_{n\times n} с неотрицательными главными минорами является матрицей Грама некоторой системы столбцов \{X_1,\dots, X_n\} \subset \mathbb R^n; скалярное произведение задается стандартным способом. Иными словами, любую такую матрицу можно представить в виде произведения

A=C^{\top}C

при некоторой матрице C \in \mathbb R^{n\times n}.


2018/10/14 22:40 редактировал au