УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО


Матрица и определитель Грама

Пусть в евклидовом пространстве \mathbb E_{} известным образом задано скалярное произведение (X_{},Y). Матрицей Грама системы векторов \{X_{1},\dots,X_m \} называется квадратная матрица, состоящая из всевозможных скалярных произведений этих векторов:

G(X_1,\dots,X_m)= \left( \begin{array}{cccc} \langle X_1,X_1 \rangle & \langle X_1,X_2 \rangle & \dots & \langle X_1,X_m \rangle \\ \langle X_2,X_1 \rangle & \langle X_2,X_2 \rangle & \dots & \langle X_2,X_m \rangle \\ \dots & & & \dots \\ \langle X_m,X_1 \rangle & \langle X_m,X_2 \rangle & \dots & \langle X_m,X_m \rangle \end{array} \right) = \left[ \langle X_j,X_k \rangle \right]_{j,k=1}^m \ .

Матрица Грама является симметричной матрицей. Ее определитель называется определителем Грама (или грамианом) системы векторов \{X_{1},\dots,X_m \}:

{\mathfrak G}(X_1,\dots,X_m)=\left| \begin{array}{cccc} \langle X_1,X_1 \rangle & \langle X_1,X_2 \rangle & \dots & \langle X_1,X_m \rangle \\ \langle X_2,X_1 \rangle & \langle X_2,X_2 \rangle & \dots & \langle X_2,X_m \rangle \\ \dots & & & \dots \\ \langle X_m,X_1 \rangle & \langle X_m,X_2 \rangle & \dots & \langle X_m,X_m \rangle \end{array} \right| = \det \left[ \langle X_j,X_k \rangle \right]_{j,k=1}^m \ .
П

Пример. Если в пространстве \mathbb R^{ n } строк, состоящих из n_{} вещественных чисел, скалярное произведение определяется по правилу1)

\langle X,Y \rangle=x_1y_1+x_2y_2+\dots+x_ny_n \quad npu \quad X=(x_1,x_2,\dots,x_n), Y=(y_1,y_2,\dots,y_n) \ ,

то матрица Грама строк

X_1=\left(x_{11},x_{12},\dots, x_{1n}\right),\dots,X_m=\left(x_{m1},x_{m2},\dots, x_{mn}\right)

вычисляется перемножением матриц:

G(X_1,\dots,X_m)=X\cdot X^{\top} \quad npu \quad X= \left(\begin{array}{cccc} x_{11} & x_{12} &\dots & x_{1n} \\ \dots & & & \dots \\ x_{m1}& x_{m2} & \dots & x_{mn} \end{array} \right)

и при ^{\top}_{} означающем транспонирование. Из теоремы Бине-Коши сразу же следует, что при m>n_{} (числе строк превышающем размерность пространства) определитель Грама равен нулю. Этот результат обобщен НИЖЕ для произвольных евклидовых пространств.

П

Пример. Если в пространстве полиномов с вещественными коэффициентами скалярное произведение задано формулой

\langle p(x),q(x) \rangle =\int_0^1 p(t) q(t) d\,t \ ,

то

G(1,x,x^2)= \left( \begin{array}{ccc} \int_0^1 1 d\,t & \int_0^1 t d\,t & \int_0^1 t^2 d\,t \\ & & \\ \int_0^1 t d\,t & \int_0^1 t^2 d\,t & \int_0^1 t^3 d\,t \\ & & \\ \int_0^1 t^2 d\,t & \int_0^1 t^3 d\,t & \int_0^1 t^4 d\,t \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1/2 & 1/3 \\ 1/2 & 1/3 & 1/4 \\ 1/3 & 1/4 & 1/5 \end{array} \right) \ .

Обобщение получившейся матрицы известно как матрица Гильберта.

Если система векторов \{X_{1},\dots,X_n \} образует базис пространства \mathbb E_{} (т.е. пространство \mathbb E_{} является n_{}-мерным), то задание матрицы Грама G(X_{1},\dots,X_n) позволяет свести вычисление скалярного произведения произвольных векторов из \mathbb E_{} к действиям над их координатами:

X=x_1X_1+x_2X_2+\dots+x_nX_n,\ Y=y_1X_1+y_2X_2+\dots+y_nX_n \ \Rightarrow
\langle X,Y \rangle=\left(x_1,x_2,\dots,x_n \right) \left( \begin{array}{cccc} \langle X_1,X_1 \rangle & \langle X_1,X_2 \rangle & \dots & \langle X_1,X_n \rangle \\ \langle X_2,X_1 \rangle & \langle X_2,X_2 \rangle & \dots & \langle X_2,X_n \rangle \\ \dots & & & \dots \\ \langle X_n,X_1 \rangle & \langle X_n,X_2 \rangle & \dots & \langle X_n,X_n \rangle \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right) \ .

Линейная независимость векторов

Т

Теорема. {\mathfrak G}(X_{1},\dots,X_m)=0 тогда и только тогда, когда система векторов \{X_{1},\dots,X_m \} линейно зависима.

Доказательство ЗДЕСЬ.

=>

Ранг матрицы Грама совпадает с рангом системы порождающих ее векторов:

\operatorname{rank} G(X_1,\dots,X_m)= \operatorname{rank} \{X_1,\dots,X_m \} \ .

=>

Если какой-то главный минор матрицы Грама обращается в нуль, то и все главные миноры бóльших порядков обращаются в нуль.

Свойства определителя Грама

Т

Теорема. {\mathfrak G}(X_{1},\dots,X_m) \ge 0 для любой системы векторов \{X_{1},\dots,X_m \}.

Доказательство ЗДЕСЬ

=>

При m=2_{} получаем неравенство Коши-Буняковского:

\langle X_1,X_1 \rangle \cdot \langle X_2,X_2 \rangle \ge \langle X_1,X_2 \rangle^2 \ .

=>

Матрица Грама линейно независимой системы векторов является положительно определенной.

Т

Теорема. Пусть X_m^{^{\bot}} означает ортогональную составляющую вектора X_m относительно {\mathcal L}(X_1,\dots,X_{m-1}). Тогда

\mathfrak{G}(X_1,\dots,X_{m-1},X_m)=\mathfrak{G}(X_1,\dots,X_{m-1})\left|X_m^{^{\bot}} \right|^2 \ .

Доказательство ЗДЕСЬ

=>

Величина определителя Грама не превосходит его главного члена, т.е. произведения элементов его главной диагонали:

\mathfrak{G}(X_1,\dots,X_{m-1},X_m)\le \left|X_1 \right|^2 \times \dots \times \left|X_{m-1} \right|^2 \left|X_m \right|^2 \ .

=>

Для произвольной квадратной вещественной матрицы

A=\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right)

справедливо неравенство Адамара2):

\left| \det A \right| \le \sqrt{ \sum_{j=1}^n a_{1j}^2} \sqrt{ \sum_{j=1}^n a_{2j}^2} \times \dots \times \sqrt{ \sum_{j=1}^n a_{nj}^2} \ .

Иными словами: модуль определителя матрицы не превосходит произведения длин его строк. Аналогичное утверждение справедливо и относительно столбцов матрицы.

Доказательство. Обозначим j_{}-ю строку матрицы A_{} через A^{[j]}. Тогда, поскольку \det A= \det A^{\top} (см. свойство 1 ЗДЕСЬ ), имеем:

\left( \det A \right)^2= \det \left(A\cdot A^{\top} \right)= \det \left[ \begin{array}{cccc} \langle A^{[1]},A^{[1]} \rangle & \langle A^{[1]},A^{[2]} \rangle & \dots & \langle A^{[1]},A^{[n]} \rangle \\ \langle A^{[2]},A^{[1]} \rangle & \langle A^{[2]},A^{[2]} \rangle & \dots & \langle A^{[2]},A^{[n]} \rangle \\ \dots & & & \dots \\ \langle A^{[n]},A^{[1]} \rangle & \langle A^{[n]},A^{[2]} \rangle & \dots & \langle A^{[n]},A^{[n]} \rangle \end{array} \right]=\mathfrak{G}\left(A^{[1]},A^{[2]},\dots,A^{[n]} \right)

при задании скалярного произведения в \mathbb R^n стандартным способом. На основании предыдущего следствия, имеем:

\le \left|A^{[1]} \right|^2 \left|A^{[2]} \right|^2 \times \dots \times \left|A^{[n]} \right|^2 \ .

Равенство возможно тогда и только тогда, когда либо все строки попарно ортогональны, либо хотя бы одна строка — нулевая.

П

Пример.

\left|\det\left( \begin{array}{rrr} -47 & 40 & -81 \\ 91 & 68 & -10 \\ 31 & -51 & 77 \end{array} \right) \right| \le \left\{ \begin{array}{cl} \sqrt{(47^2+40^2+81^2)(91^2+68^2+10^2)(31^2+51^2+77^2)} &\le 1131360 \\ & \\ \sqrt{(47^2+91^2+31^2)(40^2+68^2+51^2)(81^2+10^2+77^2)} & \le 1127957 \end{array} \right.

при точной величине определителя 31867.

Т

Теорема. Величина определителя Грама не изменится, если к системе векторов применить алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта. В обозначениях этого алгоритма имеет место равенство:

{\mathfrak G}(X_{1},\dots,X_m) = {\mathfrak G}\left({\mathfrak E}_1,\dots, {\mathfrak E}_m \right)=|{\mathfrak E}_1|^2\times \dots \times |{\mathfrak E}_m|^2 \ .

Расстояние до линейного многообразия

Т

Теорема. Расстояние d_{} от точки X_{0} \in {\mathbb E} до линейного многообразия в \mathbb E_{}

Y_0+\mathcal L(Y_1,\dots,Y_k)= \{ Y_0+\lambda_1 Y_1+\dots+\lambda_k Y_k \ \mid \ \{\lambda_1,\dots,\lambda_k\} \subset {\mathbb R} \}

и при фиксированных линейно независимых \{Y_{0},Y_1,\dots,Y_k \}\subset {\mathbb E}, вычисляется по формуле

d=\sqrt{\frac{{\mathfrak G}(Y_1,\dots,Y_k, X_0-Y_0)}{{\mathfrak G}(Y_1,\dots,Y_k)}} \ .

Доказательство для случая Y_0=\mathbb O_{} ЗДЕСЬ. Случай Y_{0}\ne \mathbb O сводится к предыдущему сдвигом пространства на вектор (- Y_{0}): см. комментарии к теореме 3_{} ЗДЕСЬ.

§

Другие применения определителя Грама в задачах вычисления расстояний между поверхностями в {\mathbb R}^{n} ЗДЕСЬ.

Объемы параллелепипедов

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. Если параллелограмм построен на векторах X_{1} и X_2 из \mathbb R^2, то за основание можно принять длину вектора X_{1}, а за высоту — длину перпендикуляра, опущенного из конца вектора X_2 на ось вектора X_{1}.

Аналогично, объем параллелепипеда, построенного на векторах X_1,X_2,X_3 из \mathbb R^{3}, равен произведению площади основания на высоту; площадь основания — это площадь параллелограмма, построенного на векторах X_1,X_2, а высота — длина перпендикуляра, опущенного из конца вектора X_3 на плоскость векторов X_1,X_2.

Объем k_{}-мерного параллелепипеда в евклидовом пространстве \mathbb E_{} определим по индукции. Если этот параллелепипед построен на векторах X_1,X_2,\dots,X_{k-1},X_k, то за его объем примем произведение объема (k-1)-мерного параллелепипеда, построенного на векторах X_1,X_2,\dots,X_{k-1} на длину перпендикуляра, опущенного из точки X_{k} на линейную оболочку векторов X_1,X_2,\dots,X_{k-1} (т.е. на длину ортогональной составляющей X_k относительно \mathcal L ( X_1,X_2,\dots,X_{k-1})):

\mathbf V(X_1,X_2,\dots,X_{k-1},X_k)=\left|X_k^{\bot} \right| \mathbf V(X_1,X_2,\dots,X_{k-1}) \ .
Т

Теорема. Квадрат объема параллелепипеда, построенного на векторах X_1,X_2,\dots,X_k, совпадает с величиной определителя Грама от той же системы векторов:

[V(X_1,X_2,\dots,X_k)]^2= \mathfrak G (X_1,X_2,\dots,X_k) \ .

Доказательство следует из представления длины ортогональной составляющей X_k^{^{\bot}} через определители Грама (см. теорему 2_{} и следствие к ней ЗДЕСЬ ).

=>

Модуль определителя вещественной матрицы

A= \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right)

равен объему параллелепипеда в пространстве \mathbb R^{n}_{}, построенного на вершинах с координатами

(0,0,\dots, 0), (a_{11},a_{12}, \dots , a_{1n}),(a_{21},a_{22}, \dots , a_{2n}), \dots, (a_{n1},a_{n2}, \dots, a_{nn})

(т.е. «построенного на строках матрицы») и равен объему параллелепипеда построенного на вершинах с координатами

(0,0,\dots, 0), (a_{11},a_{21}, \dots , a_{n1}),(a_{12},a_{22}, \dots , a_{n2}), \dots, (a_{1n},a_{2n}, \dots, a_{nn})

(т.е. «построенного на столбцах матрицы»).

Доказательство фактически совпадает с доказательством неравенства Адамара:

\left(\det A \right)^2 = \left\{ \begin{array}{cc} \det \left(A \cdot A^{\top}\right)=\mathfrak G (A^{[1]},A^{[2]},\dots,A^{[n]}) &= \left[\mathbf V(A^{[1]},A^{[2]},\dots,A^{[n]})\right]^2 \\ & \\ \det \left(A^{\top} \cdot A \right) = \mathfrak G (A_{[1]},A_{[2]},\dots,A_{[n]}) & = \left[\mathbf V(A_{[1]},A_{[2]},\dots,A_{[n]})\right]^2 \end{array} \right.

Задачи

ЗДЕСЬ.

1) Будем называть этот способ стандартным.
2) Адамар Жак Саломон (Hadamard Jacques Salomon, 1865-1963) — французский математик.

2018/02/02 10:07 редактировал au