УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


Вспомогательная страница к разделу ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ


Геометрические приложения определителя

Уравнения кривых и поверхностей

Уравнение прямой, проходящей через точки плоскости с координатами (x_{1},y_1) и (x_{2},y_2):

\left| \begin{array}{lll} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \end{array} \right|=0 \qquad \iff \qquad \left| \begin{array}{ll} x-x_1 & y-y_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 \end{array} \right|=0 .

Уравнение окружности, проходящей через точки плоскости с координатами (x_{1},y_1) , (x_2,y_2) и (x_{3},y_3) (окружности, описанной вокруг треугольника):

\left| \begin{array}{llll} x^2+y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2& 1 \\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3& 1 \end{array} \right|=0 .

При условии, что все три точки коллинеарны (лежат на одной прямой; см. ЗДЕСЬ ):

\left| \begin{array}{lll} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right|=0

окружность вырождается в прямую

\left| \begin{array}{clll} 0 & x & y & 1 \\ x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2& 1 \\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3& 1 \end{array} \right|=0 .

Координаты центра окружности, проходящей через точки (x_{1},y_1) , (x_2,y_2) и (x_{3},y_3):

x_C=\frac{\left| \begin{array}{lll} x_1^2+y_1^2 & y_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2 & y_2& 1 \\ x_3^2+y_3^2 & y_3& 1 \end{array} \right|} {2\left| \begin{array}{lll} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right|},\quad y_C=-\frac{\left| \begin{array}{lll} x_1^2+y_1^2 & x_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2 & x_2& 1 \\ x_3^2+y_3^2 & x_3& 1 \end{array} \right|} {2\left| \begin{array}{lll} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right|} \ .
Т

Теорема [Птолемей]. Точки P_1=(x_{1},y_1) , P_2=(x_2,y_2), P_3 =(x_{3},y_3) и P_4=(x_{4},y_4) лежат на одной окружности или на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено равенство

\left| \begin{array}{cccc} 0 & |P_1P_2|^2 & |P_1P_3|^2 & |P_1P_4|^2 \\ |P_1P_2|^2 & 0 & |P_2P_3|^2 & |P_2P_4|^2 \\ |P_1P_3|^2 & |P_2P_3|^2 & 0 & |P_3P_4|^2 \\ |P_1P_4|^2 & |P_2P_4|^2 & |P_3P_4|^2 & 0 \end{array} \right|=0 .

Здесь |P_jP_k|^2=(x_j-x_k)^2+(y_j-y_k)^2.

Доказательство, альтернативная геометрическая формулировка, а также пространственный аналог теоремы ЗДЕСЬ.

Уравнение плоскости, проходящей через точки пространства с координатами (x_{1},y_1,z_1), (x_{2},y_2,z_2) и (x_{3},y_3,z_3):

\left| \begin{array}{llll} x & y & z & 1 \\ x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \end{array} \right|=0 .

Уравнение сферы, проходящей через точки (x_{1},y_1,z_1), (x_{2},y_2,z_2), (x_{3},y_3,z_3) и (x_{4},y_4,z_4):

\left| \begin{array}{cllll} x^2+y^2+z^2 & x & y & z & 1 \\ x_1^2+y_1^2+z_1^2 & x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2+z_2^2 & x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3^2+y_3^2+z_3^2 & x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4^2+y_4^2+z_4^2 & x_4 & y_4 & z_4 & 1 \end{array} \right|=0 .

При условии, что все четыре точки компланарны (лежат в одной плоскости; см. ЗДЕСЬ ):

\left| \begin{array}{llll} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \end{array} \right|=0

сфера вырождается в плоскость. Координаты центра сферы:

x_C=\frac{\left| \begin{array}{clll} x_1^2+y_1^2+z_1^2 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2+z_2^2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3^2+y_3^2+z_3^2 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4^2+y_4^2+z_4^2 & y_4 & z_4 & 1 \end{array} \right|}{2\,\left| \begin{array}{llll} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \end{array} \right|},\ y_C=-\frac{\left| \begin{array}{clll} x_1^2+y_1^2+z_1^2 & x_1 & z_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2+z_2^2 & x_2 & z_2 & 1 \\ x_3^2+y_3^2+z_3^2 & x_3 & z_3 & 1 \\ x_4^2+y_4^2+z_4^2 & x_4 & z_4 & 1 \end{array} \right|}{2\,\left| \begin{array}{llll} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \end{array} \right|},\ z_C=\frac{\left| \begin{array}{clll} x_1^2+y_1^2+z_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2+z_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2+y_3^2+z_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \\ x_4^2+y_4^2+z_4^2 & x_4 & y_4 & 1 \end{array} \right|}{2\,\left| \begin{array}{llll} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \end{array} \right|}
§

Сформулированные выше геометрические задачи являются частными случаями общей задачи об ИНТЕРПОЛЯЦИИ.

Площади

Площадь треугольника с вершинами P_1=(x_{1},y_1) , P_2=(x_{2},y_2) и P_3=(x_{3},y_3) равна абсолютной величине (модулю) выражения

\frac{1}{2} \left| \begin{array}{lll} 1 & x_1 & y_1 \\ 1 & x_2 & y_2 \\ 1 & x_3 & y_3 \end{array} \right| .

Доказательство ЗДЕСЬ.

Квадрат площади треугольника P_{1}P_2P_3 выражается через квадраты длин его сторон по формуле

S^2=-\frac{1}{16} \left| \begin{array}{cccc} 0 & |P_1P_2|^2 & |P_1P_3|^2 & 1 \\ |P_1P_2|^2 & 0 & |P_2P_3|^2 & 1 \\ |P_1P_3|^2 & |P_2P_3|^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right| \ ,

которая в развернутом виде

=\frac{1}{16}\left(|P_1P_2|+|P_1P_3|+|P_2P_3| \right)\left(|P_1P_2|+|P_1P_3|-|P_2P_3| \right)\left(|P_1P_2|-|P_1P_3|+|P_2P_3| \right) \left(-|P_1P_2|+|P_1P_3|+|P_2P_3| \right)

представляет собой формулу Герона.

Площадь треугольника с вершинами P_1=(x_{1},y_1,z_1) , P_2=(x_{2},y_2,z_2) и P_3=(x_{3},y_3,z_3) в \mathbb R^{3} равна

\frac{1}{2} \sqrt{ \left| \begin{array}{lll} 1 & x_1 & y_1 \\ 1 & x_2 & y_2 \\ 1 & x_3 & y_3 \end{array} \right|^2 + \left| \begin{array}{lll} 1 & x_1 & z_1 \\ 1 & x_2 & z_2 \\ 1 & x_3 & z_3 \end{array} \right|^2+ \left| \begin{array}{lll} 1 & y_1 & z_1 \\ 1 & y_2 & z_2 \\ 1 & y_3 & z_3 \end{array} \right|^2 } \ .

Выражение под радикалом можно преобразовать к виду

\det\left[\left( \begin{array}{lll} x_2-x_1 & y_2-y_1 &z_2- z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3- z_1 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{ll} x_2-x_1 & x_3-x_1 \\ y_2-y_1 & y_3-y_1 \\ z_2-z_1 & z_3-z_1 \end{array} \right)\right]

с помощью теоремы Бине-Коши. Таким образом, площадь треугольника также равна

\frac{1}{2} \sqrt{ \left| \begin{array}{cc} \langle P_2P_1,P_2P_1 \rangle & \langle P_2P_1,P_3P_1 \rangle \\ \langle P_2P_1,P_3P_1 \rangle & \langle P_3P_1,P_3P_1 \rangle \end{array} \right|} \ ,

где скобками \langle \ , \ \rangle обозначено скалярное произведение.

Площадь n_{}-угольника P_{0}P_1\dots P_{n-1} P_0 с вершинами P_0 = (x_{0},y_0) ,\dots, P_{n-1} = (x_{n-1},y_{n-1}) равна абсолютной величине (модулю) выражения

\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n-2} \left| \begin{array}{lll} 1 & x_0 & y_0 \\ 1 & x_k & y_k \\ 1 & x_{k+1} & y_{k+1} \end{array} \right|

при условии, что стороны не пересекаются.

П

Пример. Найти площадь пятиугольника, изображенного на рисунке.

Решение. Имеем: P_{0} =(1,2),P_1= (3,4),P_2=(4,1), P_3=(6,5) , P_4=(2,6).

S=\frac{1}{2}\Bigg( \left| \begin{array}{ccc} 1& 1 & 2 \\ 1& 3 & 4 \\ 1& 4 & 1 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} 1& 1 & 2 \\ 1& 4 & 1 \\ 1& 6 & 5 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} 1& 1 & 2 \\ 1& 6 & 5 \\ 1 & 2 & 6 \end{array} \right| \Bigg) =
=\frac{1}{2}(-8+14+17)=\frac{23}{2} \ .

Геометрический смысл суммирования будет более понятен, если перенумеровать точки, сделав стартовой P_{1}: слагаемые в сумме

\frac{1}{2}\Bigg( \left| \begin{array}{ccc} 1& 3 & 4 \\ 1& 4 & 1 \\ 1& 6 & 5 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} 1& 3 & 4 \\ 1& 6 & 5 \\ 1& 2 & 6 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} 1& 3 & 4 \\ 1& 2 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \end{array} \right| \Bigg) = \frac{1}{2}(10+7+6)

теперь отвечают за площади треугольников, на которые разбит пятиугольник точечными линиями.

Площадь параллелограмма в {\mathbb R}^{2} с вершинами (0,0), (x_{1},y_1) , (x_2,y_2), (x_1+x_2,y_1+y_2) равна абсолютной величине (модулю) определителя

\left| \begin{array}{ll} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ \end{array} \right| .
П

Пример. Для x_{1} =3,y_1=1,x_2=1,y_2=2 имеем: S_{}=3\cdot 2 - 1 \cdot 1 = 5.

Площадь параллелограмма в {\mathbb R}^{3} с вершинами (0,0,0), (x_{1},y_1,z_1) , (x_2,y_2,z_2), (x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2) равна

\sqrt{\det\left[\left( \begin{array}{lll} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{ll} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \\ z_1 & z_2 \end{array} \right)\right] }=\sqrt{\left| \begin{array}{cc} x_1^2+y_1^2 + z_1^2 & x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2 \\ x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2 & x_2^2+y_2^2 + z_2^2 \\ \end{array} \right| } .

Если применить к определителю произведения матриц теорему Бине-Коши, то получим следующее равенство

\det\left[\left( \begin{array}{lll} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{ll} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \\ z_1 & z_2 \end{array} \right)\right]= \left| \begin{array}{ll} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ \end{array} \right|^2+\left| \begin{array}{ll} x_1 & z_1 \\ x_2 & z_2 \\ \end{array} \right|^2 + \left| \begin{array}{ll} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \\ \end{array} \right|^2 \ ,

которое интерпретируется следующим образом: квадрат площади параллелограмма в \mathbb R^{3} равен сумме квадратов площадей его проекций на координатные плоскости. Можно считать этот результат обобщением теоремы Пифагора.

Площадь четырехуголника с вершинами (x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3), (x_4,y_4), занумерованными против часовой стрелки, равна

S=\frac{1}{2} \left| \begin{array}{ll} x_1-x_3 & y_1-y_3 \\ x_2-x_4 & y_2-y_4 \end{array} \right|=\frac{1}{2} \left((x_1-x_3)(y_2-y_4)-(x_2-x_4)(y_1-y_3)\right)\ .

Объемы

тетраэдра

Объем тетраэдра в \mathbb R^{3} с вершинами P_1= (x_{1},y_1,z_1) ,P_2=(x_2,y_2,z_2) , P_3=(x_3,y_3,z_3) , P_4=(x_4,y_4,z_4) равен абсолютной величине (модулю) выражения

\frac{1}{6} \left| \begin{array}{llll} 1 & x_1 & y_1 & z_1 \\ 1 & x_2 & y_2 & z_2 \\ 1 & x_3 & y_3 & z_3 \\ 1 & x_4 & y_4 & z_4 \end{array} \right| .

Формула Тартальи (Кэли-Менгера) для квадрата объема тетраэдра через длины его ребер:

V^2=\frac{1}{288} \left| \begin{array}{ccccc} 0 & |P_1P_2|^2 & |P_1P_3|^2 & |P_1P_4|^2 & 1 \\ |P_1P_2|^2 & 0 & |P_2P_3|^2 & |P_2P_4|^2 & 1 \\ |P_1P_3|^2 & |P_2P_3|^2 & 0 & |P_3P_4|^2 & 1 \\ |P_1P_4|^2 & |P_2P_4|^2 & |P_3P_4|^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right| \ .

Доказательство ЗДЕСЬ.

§

Интересно было бы посмотреть, как эта формула выглядела в оригинале у Тартальи, если аппарат определителей был придуман лет на 250 позже…

=>

Если точки P_1,P_2,P_3,P_4 компланарны, т.е. тетраэдр вырождается в плоский четырехугольник, то формула Тартальи дает связь между сторонами четырехугольника и его диагоналями:

\left| \begin{array}{ccccc} 0 & |P_1P_2|^2 & |P_1P_3|^2 & |P_1P_4|^2 & 1 \\ |P_1P_2|^2 & 0 & |P_2P_3|^2 & |P_2P_4|^2 & 1 \\ |P_1P_3|^2 & |P_2P_3|^2 & 0 & |P_3P_4|^2 & 1 \\ |P_1P_4|^2 & |P_2P_4|^2 & |P_3P_4|^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right|=0 \, .

Применение тождества Сильвестра дает (в обозначениях правого рисунка):

\left| \begin{array}{cccc} 0 & |P_2P_3|^2 & d_2^2 & 1 \\ |P_2P_3|^2 & 0 & |P_3P_4|^2 & 1 \\ d_2^2 & |P_3P_4|^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right| \cdot \left| \begin{array}{cccc} 0 & |P_1P_2|^2 & |P_1P_4|^2 & 1 \\ |P_1P_2|^2 & 0 & d_2^2 & 1 \\ |P_1P_4|^2 & d_2^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{cccc} |P_1P_2|^2 & 0 & d_2^2 & 1 \\ d_1^2 & |P_2P_3|^2 & |P_3P_4|^2 & 1 \\ |P_1P_4|^2 & d_2^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right|^2 \, .

Откуда получаем формулу

2\, d_1^2 d_2^2=(|P_1P_2|^2+|P_2P_3|^2+|P_3P_4|^2+|P_1P_4|^2-d_2^2) d_2^2+ (|P_3P_4|^2-|P_2P_3|^2)(|P_1P_2|^2-|P_1P_4|^2)+
+\left\{ \left| \begin{array}{cccc} 0 & |P_2P_3|^2 & d_2^2 & 1 \\ |P_2P_3|^2 & 0 & |P_3P_4|^2 & 1 \\ d_2^2 & |P_3P_4|^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right| \cdot \left| \begin{array}{cccc} 0 & |P_1P_2|^2 & |P_1P_4|^2 & 1 \\ |P_1P_2|^2 & 0 & d_2^2 & 1 \\ |P_1P_4|^2 & d_2^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right|\right\}^{1/2} \, ,

позволяющую определить длину диагонали d_1 четырехугольника P_1P_2P_3P_4 через длину его второй диагонали и длины сторон. Из формулы Герона далее следует:

2\,d_1^2 d_2^2=(|P_1P_2|^2+|P_2P_3|^2+|P_3P_4|^2+|P_1P_4|^2-d_2^2) d_2^2+ (|P_2P_3|^2-|P_3P_4|^2)(|P_1P_2|^2-|P_1P_4|^2)+
+16\, S_{\triangle P_1P_2P_3} S_{\triangle P_1P_3P_4} \, .

Объем симплекса в \mathbb R_{}^{n} с вершинами в

P_1=(x_{11},x_{12},\dots,x_{1n}) ,P_2=(x_{21},x_{22},\dots,x_{2n}) , \dots ,P_n=(x_{n1},x_{n2},\dots,x_{nn}),P_{n+1}=(x_{n+1,1},x_{n+1,2},\dots,x_{n+1,n}) \ ,

т.е. тела, заданного уравнениями

\left\{ X=\sum_{j=1}^{n+1} \alpha_j P_j \ \big| \ , \alpha_1\ge 0,\dots \alpha_{n+1} \ge 0, \sum_{j=1}^{n+1} \alpha_j =1 \right\}

равен абсолютной величине (модулю) выражения

\frac{1}{n!}\left| \begin{array}{cllll} 1 & x_{11}& x_{12} &\dots & x_{1n} \\ 1 & x_{21}& x_{22} & \dots & x_{2n} \\ \vdots & & & & \vdots \\ 1 & x_{n1}& x_{n2}& \dots & x_{nn} \\ 1 & x_{n+1,1} & x_{n+1,2} & \dots & x_{n+1,n} \end{array} \right| \ .

Формула Кэли-Менгера для квадрата объема симплекса через длины его ребер:

V^2=\frac{(-1)^{n-1}}{2^n(n!)^2} \left| \begin{array}{cccccc} 0 & |P_1P_2|^2 & |P_1P_3|^2 & \dots & |P_1P_{n+1}|^2 & 1 \\ |P_1P_2|^2 & 0 & |P_2P_3|^2 & \dots & |P_2P_{n+1}|^2 & 1 \\ |P_1P_3|^2 & |P_2P_3|^2 & 0 & \dots & |P_3P_{n+1}|^2 & 1 \\ \dots & & & & & \dots \\ |P_1P_{n+1}|^2 & |P_2P_{n+1}|^2 & |P_3P_{n+1}|^2 & \dots & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 0 \end{array} \right| \ .

В частном случае: объем пирамиды

\left\{ X=(x_1,\dots,x_n) \in \mathbb R^n \ \Big| \ \sum_{j=1}^n\frac{x_j}{a_j} \le 1, x_1 \ge 0,\dots, x_n \ge 0 \right\} \quad npu \quad a_1>0,\dots,a_n>0

равен

\frac{1}{n!}\prod_{j=1}^n a_j \ .

параллелепипеда

Объем n_{}-мерного параллелепипеда в {\mathbb R}^{n}, построенного на вершинах

(0,0,\dots,0), (x_{11},x_{12},\dots,x_{1n}) ,(x_{21},x_{22},\dots,x_{2n}) , \dots ,(x_{n1},x_{n2},\dots,x_{nn}),

равен абсолютной величине (модулю) определителя

\left| \begin{array}{cccc} x_{11}& x_{12} &\dots & x_{1n} \\ x_{21}& x_{22} & \dots & x_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ x_{n1}& x_{n2}& \dots & x_{nn} \end{array} \right| \ .

Доказательство ЗДЕСЬ.

Объем m_{}-мерного параллелепипеда в {\mathbb R}^{n}, построенного на вершинах

(0,0,\dots,0), (x_{11},x_{12},\dots,x_{1n}) ,(x_{21},x_{22},\dots,x_{2n}) , \dots , (x_{m1},x_{m2},\dots,x_{mn}),

равен

\sqrt{\det(X\cdot X^{\top}}) \ npu \ X= \left( \begin{array}{cccc} x_{11}& x_{12} &\dots & x_{1n} \\ x_{21}& x_{22} & \dots & x_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ x_{m1}& x_{m2}& \dots & x_{mn} \end{array} \right) \ .

Здесь {}^{\top} означает транспонирование.

§

Неотрицательность определителя под знаком квадратного корня следует из теоремы Бине-Коши или же из свойств определителя Грама.

Объем n_{}-мерного параллелепипеда, ограниченного плоскостями

a_{j1}x_1+a_{j2}x_2+\dots+a_{jn}x_n= \pm h_j \ npu \ j \in \{1,\dots, n \}

равен

\frac{2^n \displaystyle \prod_{j=1}^n h_j}{\det[a_{jk}]_{j,k=1}^n} \ .

эллипсоида

Объем n_{}-мерного эллипсоида, ограниченного поверхностью

(x_1,x_2,\dots ,x_n)\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{nn} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) =1

(квадратичная форма, стоящая в левой части, положительно определена) равен

\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)} \frac{1}{\sqrt{\det [a_{jk}]_{j,k=1}^n}} \ .

Здесь \Gamma_{} обозначает гамма-функцию, при вычислениях значений которой в последней формуле достаточно пользоваться следующими ее свойствами:

\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi},\ \Gamma(1)=\Gamma(2)=1, \ \Gamma(x+1)=x\Gamma(x) \ npu \ \forall x >0,\ \Gamma(n+1)=n! \ npu \ \forall n \in {\mathbb N} \ .
П

Пример. Площадь, ограниченная эллипсом a_{11}x_{1}^2+2a_{12}x_1x_2 + a_{22}x_2^2=1, вычисляется по формуле

\frac{\pi}{\sqrt{a_{11}a_{22}-a_{12}^2}} \ .

Объем фигуры, ограниченной эллипсоидом

(x_1,x_2,x_3)\left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) =1

равен

\frac{4}{3} \frac{\pi}{\sqrt{\left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{array} \right| }} \ .

Объем фигуры, ограниченной четырехмерным эллипсоидом (в записи, аналогичной предыдущей) –

\frac{\pi^2}{2\sqrt{\det(A)}} \ .

Классификация алгебраических кривых и поверхностей

Источники

[1]. Uspensky J.V. Theory of Equations. New York. McGraw-Hill. 1948


2018/03/01 14:21 редактировал au