УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


Эквидистанта и не только...

Эквидистанта

Рассмотрим гладкую кривую \mathbf K_{} на плоскости, в каждой ее точке A_{} проведем перпендикуляр и возьмем на этом перпендикуляре точки, находящиеся на некотором фиксированном расстоянии h_{} от точки A_{}. Полученные точки формируют две кривые, каждую из которых назовем эквидистантой1) кривой \mathbf K_{} и будем обозначать \mathbf K_{+h}^{} и \mathbf K_{-h}^{}. В литературе встречал также название: кривая, параллельная кривой \mathbf K_{}.

?

Доказать, что касательные к кривой \mathbf K_{} и ее эквидистанте в соответствующих точках параллельны.

§

Эквидистанты используются в машиностроении при проектировании профилей кулачковых механизмов [1].

Т

Теорема 1.[2] Если кривая \mathbf K_{} задана параметрически уравнениями

x= \zeta (t),\ y= \eta (t) \ npu \ t \in [a,b] ,

то уравнения эквидистант:

x=\zeta \pm \frac{h \eta' }{\sqrt{(\zeta')^2+(\eta')^2}},\ y=\eta \mp \frac{h \zeta' }{\sqrt{(\zeta')^2+(\eta')^2}} \ npu \ t \in [a,b] .

Знаки должны быть согласоваными.

Очевидно, эквидистантами окружности также являются окружности. Но для других кривых второго порядка (параболы или эллипса) аналогичное утверждение уже неверно.

П

Пример. Найти эквидистанты эллипса x^2/4+y^{2}=1.

Решение. Имеем

x= 2\, \cos \, t,\ y= \sin \, t \ npu \ t \in [0,2\pi] ,

следовательно уравнения эквидистант:

x=\left(2\pm \frac{h}{\sqrt{1+3\sin^2 t}} \right)\cos \, t,\quad y=\left(1\pm \frac{2\,h}{\sqrt{1+3\sin^2 t}} \right)\sin \, t \quad npu \ t \in [0,2\pi] .

На рисунке показана «внутренняя» эквидистанта эллипса для h_{}=3/4.

§

Этим рисунком хорошо иллюстрируется еще одно применение эквидистанты. Посмотрим на картинку как будто бы она является изображением не плоского, но пространственного объекта. Этот объект — тор, или, в просторечии, бублик (баранка). Если поворачивать плоскость бублика перед глазами, так, чтобы она из вертикальной становилась горизонтальной, то в одном из промежуточных положений мы увидим бублик именно так, как изображено на картинке — за исключением двух участков эквидистанты, именно, крайнего левого и правого «треугольничков» похожих на хвосты ласточки. В реальности они невидимы, так что в начертательной геометрии их иногда отображают пунктиром. В статье [4] очень наглядно описано это применение эквидистанты эллипса, а также приведен способ ее «механического» построения.

Параметрический способ представления эквидистанты эллипса не является единственно возможным, ее можно задать и алгебраическим уравнением. Но сначала приведем аналогичное представление для более простой кривой — параболы.

Т

Теорема 2. Эквидистанты кривой y=f_{}(x), где f_{}(x)полином с вещественными коэффициентами, задаются уравнением

\Phi_h(x,y)=0 \ npu \ \Phi_h(x,y)= {\mathcal D}_{X}\left(\left[X-x \right]^2 + \left[f(X)-y \right]^2-h^2 \right) \ .

Здесь {\mathcal D} означает дискриминант полинома, рассматриваемого относительно переменной X_{}, в то время как остальные переменные считаются параметрами.

П

Пример. Найти уравнение эквидистант параболы y=x^{2}.

Решение. После вычисления дискриминанта, отбросим общий множитель его коэффициентов и сгруппируем полученный полином по степеням h_{}:

\begin{array}{rcl} \Phi_h(x,y)&=&{\mathcal D}_{X}\left(X^4+(1-2y)X^2-2\ xX+x^2+y^2-h^2\right)= \\ &=&(16 y^2+16 x^2-8 y+1)(y-x^2)^2 + \\ &+&\left[8(-4y^2-8yx^2-y+1-8 x^4)(y-x^2)- (4 x^2+1)^3 \right]h^2+ \\ &+&8(2y^2+4 y+6 x^2-1)h^4-16 h^6 \ . \end{array}

Уравнение \Phi_h(x,y)_{}=0 и дает искомые эквидистанты \mathbf K_{+h}^{} и \mathbf K_{-h}^{} для параболы y=x^{2}. На рисунке показаны эквидистанты параболы для значения h_{}=1

Здесь так же, как и в предыдущем примере, у «внутренней» эквидистанты возникает «ласточкин хвост». К каждой точке этого хвоста можно найти точку параболы, расположенную на расстоянии, меньшем требуемого h_{}=1. Поэтому говорить об эквидистанте как о кривой, »расстояние от каждой точки которой до кривой \mathbf K_{} одно и то же» можно только имея в виду указанное обстоятельство: для получения «истинной эквидистанты» некоторые участки построенной кривой следует стирать.

Результат теоремы 2 можно интерпретировать, воспользовавшись определением эквидистанты, как огибающей семейства окружностей радиуса h_{} с центрами на кривой \mathbf K_{}. Если считать точки кривой источниками излучения равной мощности, распространяющегося в изотропной среде, заполняющей плоскость, то эквидистанта образует фронт волны (см. принцип Гюйгенса).

A

Анимация процесса распространения волны от параболы ЗДЕСЬ (750 K, gif).

Т

Теорема 3. Эквидистанты эллипса

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

задаются уравнением \Phi_h(x,y)=0 при

\Phi_h(x,y)= {\mathcal D}_{\mu}\Bigg( \mu^3-\left\{a^2+b^2-x^2-y^2+h^2 \right\}\mu^2 + \left\{-a^2b^2\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} -1 \right)+h^2(a^2+b^2) \right\}\mu - h^2a^2b^2 \Bigg) \ .

Здесь {\mathcal D}_{\mu} означает дискриминант полинома, рассматриваемого относительно переменной \mu_{}, в то время как остальные переменные считаются параметрами.

Эта теорема является следствием общего результата, касающегося вычисления расстояния от точки до квадрики в {\mathbb R}^{n}. Покажем ее применение для примера, приведенного выше.

П

Пример. Найти эквидистанты эллипса x^{2}/4+y^2=1.

Решение. Имеем

\Phi_h(x,y)= {\mathcal D}_{\mu}(\mu^3-(5-x^2-y^2+h^2)\mu^2+(-x^2-4\,y^2+4+5\,h^2)\mu-4\,h^2)=
=9\,h^8-6(2\,x^2+7\,y^2+15)\,h^6+(-2\,x^4+73\,y^4+62\,x^2y^2-90\,x^2+270\,y^2+297)\,h^4+
+ (-56\,y^6-360\,y^2-62\,x^4-248\,y^4+4\,x^6+270\,x^2-90\,x^2y^4-30\,x^4y^2+140\,x^2y^2-360)\,h^2+
+4(x^4+2\,x^2y^2+y^4-6\,x^2+6\,y^2+9)(x^2/4+y^2-1)^2 \ .

Проверка. Я проверял эквивалентность этого представления параметрическому, полученному выше. Вычисления довольно громоздки: из параметрических уравнений возведением их в квадрат добился возможности подстановки u=\sin^{2} t; получились два уравнения, полиномиальные по x,y_{} но с радикалами (квадратными корнями) относительно u_{}; еще пара возведений в степень — и получились рациональные уравнения относительно x,y,u_{}; вычислил результант числителей этих дробей, рассматривая их как полиномы относительно u_{}, — результатом действительно оказался полином \Phi_h(x,y)_{} с некоторым посторонним (полиномиальным же) множителем.

Представление эквидистанты посредством алгебраического уравнения позволяет произвести анализ качественного поведения этой кривой в зависимости от изменения параметров, например, величины расстояния h_{}. Например: при каких значениях h_{} возникают «ласточкины хвосты» у эквидистанты? Для ответа достаточно проанализировать точки пересечения эквидистанты с осью абсцисс. Подставив y=0_{} в уравнение \Phi_{h}(x,y)= 0 получим:

((x-2)^2-h^2)((x+2)^2-h^2)(x^2+3\,h^2-3)^2=0 \ .

При возрастании h_{} от 0_{} корни этого полинома

\lambda_1=\pm(2-h) \quad u \quad \lambda_2=\pm \sqrt{3-3h^2}

будут сближаться до тех пор, пока не совпадут при значении h_{} = 1/2. Геометрически: при малой величине h_{} эквидистанта будет гладкой кривой похожей на эллипс, ее породивший:

При h_{}=1/2 произойдет возникновение угловых точек x_{}=\pm 3/2, y=0:

и при дальнейшем возрастании h_{} у эквидистанты появляются «хвосты»:

которые, все увеличиваясь в размерах:

фактически «съедают» истинную внутреннюю эквидистанту эллипса при значении h_{}=1:

Дальнейшее возрастание h_{} приводит к кривой

A

Анимация процесса ЗДЕСЬ (1300 Kb, gif).

Т

Теорема 4.[2]. Пусть кривая \mathbf K_{} задана параметрически уравнениями

x= \zeta (t),\ y= \eta (t) \ npu \ t \in [a,b] ,

и L(\mathbf K) - длина этой кривой, а L(\mathbf K_{\pm h})^{} - длина соответствующей эквидистанты. Обозначим \gamma_{} угол (в радианах), образованный нормалями к кривой \mathbf K_{} в точках, соответствующих t=a_{} и t=b_{}. Тогда имеет место соотношение:

L(\mathbf K_{\pm h}) =L(\mathbf K) \pm h \gamma \ .

?

[5] Доказать, что если кривые, заданные уравнениями \Phi_{}(x,y)=C при постоянных C \in \mathbb R_{}, являются эквидистантными, то

\left(\frac{\partial \Phi}{\partial x} \right)^2 + \left(\frac{\partial \Phi}{\partial y} \right)^2 \equiv F(\Phi) \ ,

где F_{} — некоторая функция.

Кривая зеркального изображения

Рассмотрим снова гладкую плоскую кривую \mathbf K_{}, которую, в отличие от предыдущего пункта, будем считать не источником излучения, а зеркалом. Рассмотрим на этой же плоскости точку \mathbf A_{} с координатами (x_0,y_0) , не лежащую на этой кривой. Кривой зеркального изображения точки \mathbf A_{} относительно \mathbf K_{} назовем геометрическое место точек плоскости, являющихся зеркальными изображениями источника излучения, расположенного в точке \mathbf A_{}, относительно касательных к точкам кривой \mathbf K_{}.

Т

Теорема. Если кривая \mathbf K_{} задана параметрически уравнениями

x= \zeta (t),\ y= \eta (t) \ npu \ t \in [a,b] ,

то уравнения кривой зеркального изображения относительно \mathbf K_{} :

x=\frac{[(\zeta')^2-(\eta')^2]x_0+2\,\zeta'\eta'y_0-2\,\eta'[\eta \zeta'-\eta' \zeta] }{(\zeta')^2+(\eta')^2},
y=\frac{-[(\zeta')^2-(\eta')^2]y_0+2\,\zeta'\eta'x_0+2\,\zeta'[\eta \zeta'-\eta' \zeta]}{(\zeta')^2+(\eta')^2}

при t_{} \in [a,b].

Т

Теорема. Если кривая \mathbf K_{} задана уравнением y=f_{}(x) где f_{}(x)полином с вещественными коэффициентами, \deg f>1, то кривая зеркального изображения определяется уравнением \Phi_{}(x,y)=0, где

\Phi(x,y)= {\mathcal D}_{X}\left(2\,X(x-x_0)+2\,f(X)(y-y_0) -(x^2-x_0^2)-(y^2-y_0^2) \right) \ .

Здесь {\mathcal D}_{} означает дискриминант полинома, рассматриваемого относительно переменной X_{}, в то время как остальные переменные считаются параметрами.

П

Пример. Найти кривые зеркального изображения относительно параболы y=x^{2}.

Решение. Уравнение кривой зеркального изображения точки (x_0,y_{0}) в неявном виде:

8(y-y_0)(x^2+y^2-x_0^2-y_0^2)+4(x-x_0)^2= 0

или в параметрическом:

x=\frac{(1-4\,t^2)x_0+4\,ty_0+4\,t^3}{1+4\,t^2}, \ y=\frac{-(1-4\,t^2)y_0+4\,tx_0-2\,t^2}{1+4\,t^2} \ .

Вид кривых для случая x_{0}=0,y_0=1 и x_{0}=0,y_0=-1:

и для случая x_{0}=1,y_0=2 и x_{0}=2,y_0=1:

Кривая, равноудаленная от двух других кривых

П

Пример. Кривая, состоящая из точек равноудаленных от эллипса x^{2}/4+y^2 =1 и точки x=1/2,y_{}=1/2:

задается алгебраическим уравнением:

-3840\,x^6+512\,x^5y-2688\,x^4y^2+256\,x^3y^3-624\,x^2y^4+32\,xy^5-48\,y^6+7552\,x^5+6784\,x^4y-
-544\,x^3y^2+416\,x^2y^3-80\,xy^4-272\,y^5+1168\,x^4-9792\,x^3y+7280\,x^2y^2+288\,xy^3-1340\,y^4-
-7200\,x^3-4896\,x^2y-216\,xy^2-2520\,y^3-120\,x^2+5616\,xy-4164\,y^2+2016\,x+2016\,y+441=0

или в параметрической форме:

x=(2+\tau)\cos t,\ y=(1+2\,\tau)\sin t \quad npu \quad \tau= \frac{(2\cos(t)-1/2)^2+(\sin(t)-1/2)^2}{\cos(t)+2\,\sin(t)-2} \quad u \quad t\in [0,\,2\pi] \ .

«Истинно равноудаленная» кривая выделена красным.

Источники

[1]. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. с.539

[2]. Дингельдэй Фр. Сборникъ задачъ по приложенiю дифференцiальнаго и интегральнаго исчисленiй. С.-Петербург. 1912. Типография Суворина

[3]. Дингельдей Ф. Сборник упражнений и практических задач по интегральному исчислению. М.-Л.ГТТИ. 1933

[4]. Семиков С. Бублик - тоже человек! «Инженер» N 8, 2005.

[5]. Бертранъ Ж. Дифференцiальное исчисленiе. СПб. Изд-во «Наука и жизнь», 1911

1) æquidistans (лат.) - равноудалённый

2017/12/07 18:04 редактировал au