УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


Огибающая

Огибающая кривая

Рассмотрим семейство плоских кривых \left\{ \mathbf K(\lambda_{}) \right\}, зависящих от параметра \lambda_{}, принимающего значения из интервала [a,b] \in \mathbb R_{}. Если существует некоторая кривая \mathbf L_{}, которая в каждой своей точке касается некоторой кривой рассматриваемого семейства, но при этом не совпадает ни с одной из них на протяжении какого-либо своего участка, то эта кривая \mathbf L_{} называется огибающей семейства кривых \left\{ \mathbf K(\lambda) \right\}.

П

Пример. Для семейства окружностей (в зеленом цвете) каждая из прямых на левом рисунке считается огибающей, а составная кривая (красная) на правом — не считается:

Пусть кривые семейства \left\{ \mathbf K(\lambda_{}) \right\} заданы уравнением

\Psi(x,y,\lambda)=0 \ ,

где \Psi(x,y,\lambda_{}) — функция, непрерывно дифференцируемая по своим аргументам. Геометрическое место точек плоскости (x,y_{}), удовлетворяющих условиям

\Psi(x,y,\lambda)=0,\ \frac{\partial \Psi(x,y,\lambda)}{\partial \lambda} = 0

называется дискриминантной кривой семейства \left\{ \mathbf K(\lambda) \right\}.

Т

Теорема. Дискриминантная кривая семейства включает в себя огибающую этого семейства, а также, возможно, множество особых точек — таких точек, для которых выполняются условия

\frac{\partial \Psi(x,y,\lambda)}{\partial x} = 0,\ \frac{\partial \Psi(x,y,\lambda)}{\partial y} = 0 \ .

§

Откуда взялась дискриминантная кривая? Возьмем две кривые семейства \mathbf K_{} и \mathbf K_{1}:

\Psi(x,y,\lambda)=0 \quad u \quad \Psi(x,y,\lambda +\Delta \lambda )=0 \ ,

где \Delta \lambda_{} — бесконечно малая величина. Обе эти кривые должны касаться огибающей \mathbf L_{} в бесконечно близких точках V_{} и V_{1}. Рассмотрим точку P_{} пересечения этих кривых. Ее координаты должны удовлетворять обоим уравнениям, а, следовательно и уравнению

\frac{\Psi(x,y,\lambda + \Delta \lambda )-\Psi(x,y,\lambda)}{\Delta \lambda } = 0 \ .

Если устремить \Delta \lambda_{} к нулю, то, во-первых, последнее соотношение будет стремиться к

\frac{\partial \Psi(x,y,\lambda)}{\partial \lambda} = 0 \ ,

а, во-вторых, точки P_{} и V_{1} будут стремиться к точке V_{}, лежащей на кривой

\Psi(x,y,\lambda)=0 \ .

Таким образом, в точке V_{} должны быть выполнены оба условия теоремы. Покажем теперь, что в этой точке касательная к дискриминантной кривой совпадает с касательной к огибаемой кривой \mathbf K_{}. Для этого сделаем еще одно дополнительное предположение: будем считать, что в точке V_{}

\frac{\partial^2 \Psi(x,y,\lambda)}{\partial \lambda^2} \ne 0 \ .

Это условие гарантирует, что уравнение

\frac{\partial \Psi(x,y,\lambda)}{\partial \lambda} = 0

задает неявную функцию \lambda_{} — как функцию x_{} и y_{}:

\lambda = \Lambda (x,y)

причем эта функция будет диффренцируемой в окрестности точки V_{}. Тогда для получения уравнения дискриминантной кривой достаточно подставить эту функцию в уравнение \Psi(x,y,\lambda)_{}=0:

\Psi(x,y,\Lambda(x,y))=0 \ .

В точке V_{} ее дифференциал равен:

\frac{\partial \Psi(x,y,\lambda)}{\partial x}d\, x + \frac{\partial \Psi(x,y,\lambda)}{\partial y}d\, y + \frac{\partial \Psi(x,y,\lambda)}{\partial \lambda}d\, \Lambda \ .

Последнее слагаемое пропадает, поскольку по предположению, частная производная по \lambda_{} равна нулю. Таким образом, получившийся дифференциал функции, задающей дискриминантную кривую, совпадает в точке V_{} с дифференциалом функции \Psi(x,y,\lambda)_{}, задающей огибаемую кривую. Следовательно, совпадают и касательные к этим кривым — при дополнительном предположении, что точка V_{} неособенная.

§

Приведенные выше геометрические рассуждения могут быть подвергнуты суровой критике со стороны строгих математиков. Можно привести контрпримеры к приведенной схеме: например, для случая семейства \{ y =(x-\lambda)^{3} \} кубических парабол, мы не будем иметь точек пересечения близких огибаемых кривых… Со вздохом раскаяния, я сошлюсь только на правила пользования настоящим ресурсом.

П

Пример. Найти огибающую семейства эллипсов

\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{(1-a)^2}=1 \ npu \ a \in ]0,1[ \ .

Решение. Здесь дискриминантная кривая

получается исключением параметра a_{} из системы

\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{(1-a)^2}=1,\ \frac{x^2}{a^3}-\frac{y^2}{(1-a)^3} = 0 \ .

Выражаем из второго уравнения a_{}:

a=\frac{x^{2/3}}{x^{2/3}+y^{2/3}} \ ,

(здесь существенно ограничение 0< a_{} < 1 из условия) подставляем в первое:

x^{2/3}+y^{2/3}=1 \ .

Получившаяся кривая называется астроидой.

Т

Теорема. Если функция \Psi(x,y,\lambda)_{} является полиномом относительно \lambda_{}, то дискриминантная кривая задается уравнением

{\mathcal D}_{\lambda} (\Psi(x,y,\lambda)) = 0 \ .

Здесь дискриминант берется по переменной \lambda_{}, в то время как остальные переменные считаются параметрами.

Пример. Если переписать уравнение семейства эллипсов из предыдущего примера в виде

(1-a)^2x^2+a^2y^2-a^2(1-a)^2=0 \quad \iff \quad -a^4+2\,a^3+(x^2+y^2-1)a^2-2\,x^2a+x^2 =0 \ ,

то применение теоремы даст представление дискриминантной кривой:

-16\,x^2y^2((x^2+y^2-1)^3+27\,x^2y^2)=0 \ .

Случаи x=0 или y=0 соответствуют значениям параметра a_{}, лежащим на границах рассматриваемого интервала. Тот факт, что оставшийся множитель определяет именно астроиду устанавливается с помощью замены переменных u=x^{2/3}, v=y^{2/3}.

§

Частным случаем огибающей является эквидистанта — кривая, «равноудаленная» от данной кривой \mathbf K_{}. Подробнее ☞ ЗДЕСЬ.

§

Фактически любая гладкая кривая является огибающей семейства своих касательных.

П

Пример. Семейство касательных к параболе y=x^2 задается уравнением

\frac{x-\alpha}{1}=\frac{y-\alpha^2}{2\alpha} \quad \iff
\alpha^2-2\,\alpha\, x+y=0 \ .

Здесь параметр \alpha_{} отвечает за абсциссу точки параболы. Дискриминант последнего квадратного уравнения относительно \alpha_{}, приравненный нулю, дает уравнение исходной параболы.

Каустика

Теория огибающих имеет важное приложение в оптике. Пусть точечный источник света расположен в точке \mathbf A_{} плоскости. Лучи света, исходящие из \mathbf A_{}, падают на кривую \mathbf Z_{}, которая является зеркалом, и, отражаются от нее по правилу равенства углов падения и отражения. Огибающую всех отраженных лучей называют катакаустикой1) или фокальной линией отражения.

Т

Теорема. Пусть точка \mathbf A_{} имеет координаты (x_{0},y_0). Тогда уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от точки (X,Y_{}) зеркала \mathbf Z_{} имеет вид:

T_0N+N_0T=0 \ ,

где

  • N=0_{}уравнение в декартовых координатах (x,y_{}) касательной к кривой \mathbf Z_{} в точке (X,Y);
  • T=0_{}уравнение в декартовых координатах (x,y_{}) нормали к кривой \mathbf Z_{} в точке (X,Y);
  • N_{0} и T_{0}результат подстановки x=x_0,y=y_{0} в выражения для N_{} и T_{}.

=>

Если зеркало \mathbf Z_{} задано параметрически уравнениями

X= \zeta (t),\ Y= \eta (t) \ npu \ t \in [a,b] ,

то уравнение

(x-\zeta)\left[2(x_0-\zeta)\zeta' \eta' + (y_0 -\eta)\{(\eta')^2- (\zeta')^2\} \right]-
-(y-\eta)\left[ 2(y_0-\eta)\zeta' \eta' -(x_0 -\zeta)\left\{(\eta')^2- (\zeta')^2\right\} \right]=0

определяет прямую, на которой лежит луч, отраженный от зеркала в точке (X,\ Y_{}).

Для получения огибающей этого семейства прямых нужно продифференцировать это уравнение по t_{}. Два получившихся уравнения крайне громоздки и исключить из них переменную t_{} в общем случае затруднительно. Тем не менее, можно сравнительно легко найти параметрическое представление дискриминантной кривой. Дело в том, что оба уравнения являются линейными по переменным x_{} и y_{}, и получившуюся систему можно разрешить — например, по формулам Крамера.

Пример. Найти катакаустику при отражении от параболы y=x^{2} и при источнике света, расположенном в точке x=0,y=2_{}.

На рисунке падающие лучи показаны желтым, отраженные — красным.

Решение. Имеем \zeta = t,\, \eta=t^{2} и уравнение семейства отраженных прямых

(4\,t^4-5\,t^2+2)x+7\,yt-4\,t^5-2\,t^3-2\,t=0 \ .

Для нахождения уравнения огибающей данного семейства, вычисляем дискриминант этого полинома, рассматриваемого относительно переменной t_{}:

\Phi(x,y) =784\,(16\,x^2+(4\,y-1)^2) \times
\times \left\{8\,x^6-(1323\,y^2-1932\,y+876)x^4+ 24(637\,y^2-868\,y+340)x^2-64(7\,y-2)^3\right\}=0 \ .

Это уравнение определяет одну изолированную точку x=0_{}, y=1/4 (фокус параболы) и некоторую кривую, симметричную относительно оси {\mathbf O}y_{}. Мы выделим только ее кусок, лежащий внутри параболы:

Теперь проиллюстрируем другой способ представления каустики — в параметрическом виде. Продифференцируем уравнение семейства по параметру t_{}:

(16\,t^3-10\,t)x+7\,y-20\,t^4-6\,t^2-2 = 0

и разрешим получившуюся систему относительно x_{} и y_{}:

x= \frac{4\,t^3}{3\,t^2-2},\quad y =\frac{2(9\,t^4-2\,t^6-3\,t^2-2)}{7(3\,t^2-2)} \ .

Заметим, что если бы мы двигали источник света по оси {\mathbf O}y по направлению к фокусу параболы, то отраженные от нее лучи пересекались бы все дальше и дальше, пока не стали бы параллельными этой оси. На этом факте основано применение параболы: отражающая поверхность прожектора делается в виде параболоида вращения, в фокус которого помещается источник света.

Можно и «обратить» процесс, заставив лучи, приходящие «из бесконечности» собираться в фокусе — тогда мы получаем параболическую антенну спутникового телевидения, или же боевое оружие античности, первое появление которого принято связывать с именем Архимеда.

И

Исторический обзор. Греческий историк Полибий описывает эпизод II Пунической войны (218-202 до н.э.) — осаду Сиракуз Марцеллом:

Архимед самым невероятым образом сжег римский флот. Направив особое зеркало на Солнце, он собрал пучки его лучей и, благодаря толщине и гладкости зеркала, сумел зажечь солнечным светом воздух так, что возникло колоссальное пламя. Он направил лучи на стоявшие на якоре корабли, и они сгорели дотла.

Согласно другому описанию хрониста Иоаннеса Цеци (конец XII века), ссылавшегося на греческого историка Диодора Сицилийского (I в. до н.э.):

когда Марцелл убрал корабли на расстояние, превышающее полет стрелы, старец соорудил особое шестиугольное зеркало; на расстоянии, пропорциональном размеру зеркала, он расположил похожие четырехугольные зеркала, которые можно было перемещать с помощью специальных рычагов и шарниров. Зеркало он обратил к полуденному солнцу и, когда пучки лучей отразились в нем, огромное пламя вспыхнуло на кораблях и с расстояния полета стрелы обратило их в пепел.

По сведению греческого писателя Лукиана (II в. н.э.), Архимед построил шестиугольное зеркало, набранное из небольших шестиугольных зеркал. Каждое из них было закреплено на шарнирах и приводилось в движение цепным приводом. Благодаря этому углы поворота зеркал можно было подобрать таким образом, чтобы отраженные солнечные лучи сфокусировались в точке, находящейся на расстоянии 300 локтей (150 метров).

Во втором века до н.э. Диокл в работе «О зажигательных зеркалах» отмечал, что поверхность, являющаяся параболоидом вращения, отражает солнечные лучи в одну точку.

Эти свидетельства производили на потомков глубокие впечатления: практически все естествоиспытатели упоминали о них ( Кардано, да Винчи), или же пытались их воспроизвести. Противником легенды выступил Декарт: на основании строгого анализа, основанного на том, что Солнце нельзя считать точечным источником света, он заключил:

Только люди, не слишком сведущие в оптике, убеждены в реальности многих небылиц; эти зеркала, с помощью которых Архимед якобы сжег издали корабли, либо были чрезвычайно велики, либо, что вероятнее, вовсе не существовали.

Авторитет Декарта был настолько высок, что зеркала Архимеда стали считаться вымыслом. Однако на защиту легенды встали ученые-практики. Первым был Чирнгауз, проводивший исследования cвойств катакаустик, образуемых параллельными лучами, отраженными от сферических вогнутых зеркал и от зеркал с меридиональным сечением в виде циклоиды. Он также изготовлял вогнутые зеркала большого диаметра и большой зажигательной силы. Самое большое вогнутое зеркало (из меди), им устроенное, имело 3 лейпцигских локтя (\approx 170 см.) в диаметре и 2 фута (\approx 57 см. (?)2)) фокусного расстояния; оно описано в статье

Источник.

Relatio de insignibus novi cujusdam speculi ustorii effectibus3) («Acta Eruditorum», 1687 и 1688).

Бюффон в 1747 г. опубликовал работу «Изобретение зеркал для воспламенения предметов на больших расстояниях». Он соединил 150 отдельных отражательных зеркал и сфокусировал их в одну зону. В полдень 10 апреля 1747 года он зажег сосновую доску с расстояния 50 метров. Он был убежден, что проведение эксперимента летом позволит увеличить это расстояние вдвое.

Проведенные эксперименты возродили интерес научной общественности к катоптрике — разделу оптики, в котором изучается теория изображений, даваемых зеркально отражающими поверхностями. Дань ей отдал и Ломоносов, опубликовавший в 1741 г. «Рассуждение о катоптрико-диоптрическом зажигательном эксперименте». Инструмент Ломоносова состоял из ряда зеркал, которые направляли солнечные лучи на линзы, фокусировавших их в одну точку.

В нашу эпоху эксперименты повторялсь. 3 ноября 1973 года в заливе Кепал на территории морской базы вблизи Афин под руководством греческого инженера Сакаса 70 матросов напрявляли зеркала 1.7\times 0.7 метров на деревянную лодку, покрытую смолой, расположенную на расстоянии 55 метров. Лодка воспламенилась через 3 минуты. 15 сентября 2002 года 500 человек с помощью зеркал 0.45 \times 0.45 метров воспламенили корабельный парус на расстоянии 50 метров за несколько минут, при этом в фокусе зеркала энергия достигала 500 кВт.ч.

Источник. Часть данных для исторического обзора взяты из статьи

Стафеев С.К., Томилин М.Г. Солнечное оружие Архимеда. Машины и механизмы. 4, 2008, C. 80-87

Оригинал фотографии зеркала Чирнгауза ☞ ЗДЕСЬ
?

Показать несостоятельность физической модели, предложенной в произведении А.Н.Толстого:

Это просто, как дважды два. Чистая случайность, что это до сих пор не было построено. Весь секрет в гиперболическом зеркале (А), напоминающем формой зеркало обыкновенного прожектора, и в кусочке шамонита (В), сделанном также в виде гиперболической сферы. Закон гиперболических зеркал таков…

Лучи света, падая на внутреннюю поверхность гиперболического зеркала, сходятся все в одной точке, в фокусе гиперболы. Это известно. Теперь вот что неизвестно: я помещаю в фокусе гиперболического зеркала вторую гиперболу (очерченную, так сказать, навыворот) — гиперболоид вращения, выточенный из тугоплавкого, идеально полирующегося минерала — шамонита (В), — залежи его на севере России неисчерпаемы. Что же получается с лучами?

Лучи, собираясь в фокусе зеркала (А), падают на поверхность гиперболоида (В) и отражаются от него математически параллельно, — иными словами, гиперболоид (В) концентрирует все лучи в один луч, или в «лучевой шнур» любой толщины. Переставляя микрометрическим винтом гиперболоид (В), я по желанию увеличиваю или уменьшаю толщину «лучевого шнура». Потеря его энергии при прохождении через воздух ничтожна. При этом я могу довести его (практически) до толщины иглы…

— Во время первых опытов я брал источником света несколько обычных стеариновых свечей. Путем установки гиперболоида (В) я доводил «лучевой шнур» до толщины вязальной спицы и легко разрезывал им дюймовую доску. Тогда же я понял, что вся задача – в нахождении компактных и чрезвычайно могучих источников лучевой энергии. За три года работы, стоившей жизни двоим моим помощникам, была создана вот эта угольная пирамидка. Энергия пирамидок настолько уже велика, что, помещенные в аппарат, и … зажженные (горят около пяти минут), они дают «лучевой шнур», способный в несколько секунд разрезать железнодорожный мост… Вы представляете, какие открываются возможности? В природе не существует ничего, что бы могло сопротивляться силе «лучевого шнура»… Здания, крепости, дредноуты, воздушные корабли, скалы, горы, кора земли —все пронижет, разрушит, разрежет мой луч… [5].
П

Пример. Катакаустика при отражении от полуокружности при источнике света, находящемся «на бесконечности»

дает представление о картинке, наблюдаемой при отражении солнечных лучей от поверхности чашки [6]:

Получим теперь формулы для каустики. Для окружности x=\cos t,\ y=\sin t_{} и источнике света, находящемся в бесконечности на оси \mathbf Oy, уравнение семейства отраженных лучей имеет вид:

x+y\operatorname{tg} 2\,t -\cos t - \operatorname{tg} 2\,t \ \sin t=0 \ .

Дифференцируем это равенство по t_{} и находим y_{}, затем подстановкой в исходное устанавливаем x_{}:

x=\frac{1}{2}\cos\,t\,(1+\cos 2\,t)=\cos^3 t ,\quad y=\frac{1}{2}\sin\,t\,(2+\cos 2\,t) \ .

Из этих уравнений можно найти и неявное представление каустики в виде

[4(x^2+y^2)-1]^3-27\,x^2=0 \ .

Эта кривая известна как нефроида и относится к типу эпициклоид4).

П

Пример. Катакаустика при отражении от окружности при источнике света, находящемся внутри нее:

Для окружности x^2+y^{2} =1 и при x_{0}=0,y_0=4/5 имеем уравнение каустики в виде:

-210681\,x^6+(-362043\,y^2-182520\,y+272592)x^4+
+(-92043\,y^4-365040\,y^3+386784\,y^2+149760\,y-80640)x^2+
+(13\,y+4)^3(3\,y-4)^3=0 \ .

При источнике на самой окружности — например, при x_{0}=0,y_0=1, — получим уравнение каустики в виде

27(x^2+y^2)^2-18(x^2+y^2)-8y-1=0 \ ;

оно определяет замкнутую кривую

которая называется кардиоидой.

Эволюта и эвольвента

Эволютой кривой \mathbf K называется огибающая семейства нормалей к этой кривой. По отношению к своей эволюте кривая \mathbf K называется эвольвентой5) .

Т

Теорема. Для кривой, заданной параметрически уравнениями X=\zeta(t), Y=\eta(t), представление эволюты в параметрическом виде:

x=\zeta- \eta'\frac{(\zeta')^2+(\eta')^2}{\zeta'\eta''-\eta'\zeta''},\quad y=\eta+ \zeta'\frac{(\zeta')^2+(\eta')^2}{\zeta'\eta''-\eta'\zeta''} \ .

Доказательство основано на общем способе построения огибающей кривой семейства: из системы линейных уравнений

\begin{array}{lcl} x \zeta'(t) + y \eta'(t)&=&\zeta'(t)\zeta(t) + \eta'(t) \eta(t), \\ x \zeta''(t) + y \eta''(t)&=&\zeta''(t)\zeta(t) + \eta''(t) \eta(t) +(\zeta'(t))^2+ (\eta'(t))^2. \end{array}

(где первое уравнение задает семейство нормалей к кривой, а второе получается дифференцированием первого по параметру t_{}) выражаются x_{} и y_{}.

§

Определитель этой системы представляет вронскиан системы функций \{\zeta'(t),\eta'(t)\}, если он тождественно по t_{} равен нулю, то указанные функции линейно зависимы.

Пример. Найти эволюту эллипса x^2/4+y^{2}=1.

Решение. Здесь \zeta(t)=2\cos(t),\eta(t)=\sin(t). Теорема дает уравнения эволюты в виде:

x=3/2 \cos^3(t),y=-3\sin^3(t) \quad npu \quad t\in [0, 2\pi];

из них можно получить уравнение в неявном виде:

(2\,x)^{2/3}+y^{2/3}=3^{2/3} \ ;

эта кривая оказывается уже встречавшейся нам ВЫШЕ астроидой.




Статья не закончена!







Огибающая поверхность

Рассмотрим теперь семейство \left\{ \mathbf P(\lambda_{}) \right\} поверхностей в \mathbb R^{3}, зависящих от параметра \lambda_{}, принимающего значения из интервала [a,b] \in \mathbb R. Если существует некоторая поверхность \mathbf Q_{}, которая в каждой своей точке касается некоторой поверхности рассматриваемого семейства, то эта поверхность \mathbf Q_{} называется огибающей семейства поверхностей \left\{ \mathbf P(\lambda_{}) \right\}.

Видим, что это определение аналогично определению огибающей кривой, за одним только исключением: в определении огибающей кривой ставится ограничение на то, что эта кривая не должна совпадать ни с одной кривой семейства на каком-то своем участке, «отрезке». А в определение огибающей поверхности аналогичного требования не приводится. На самом деле, это дополнительное ограничение должно присутствовать — хотя бы для того, чтобы отсечь случай, когда за огибающую поверхность семейства может быть взята любая поверхность этого семейства. Не буду слишком уделять внимания формальностям, считая интуитивно понятным характер ограничения, «дополняющего» определение.

Пусть поверхности семейства \left\{ \mathbf P(\lambda_{}) \right\} заданы уравнением

\Psi(x,y,z,\lambda)=0 \ ,

где \Psi(x,y,z,\lambda) — функция, непрерывно дифференцируемая по своим аргументам. Геометрическое место точек пространства (x,y_{},z), удовлетворяющих условиям

\Psi(x,y,z,\lambda)=0,\ \frac{\partial \Psi(x,y,z,\lambda)}{\partial \lambda} = 0

называется дискриминантной поверхностью семейства \left\{ \mathbf P(\lambda_{}) \right\}.

П

Пример. [2] Составить уравнение огибающей поверхности системы шаров одинаковых радиусов r_{}, центры которых лежат на кривой x=\phi(\lambda), y=\chi(\lambda),z=\psi(\lambda). В частности, получить уравнение искомой поверхности, если центры шаров лежат на окружности x=R \cos \lambda, y=R \sin \lambda, z = 0.

Решение. Уравнение семейства шаров:

(x-\phi(\lambda))^2 +(y-\chi(\lambda))^2+(z-\psi(\lambda))^2-r^2=0 \ .

Дифференцируем это равенство по параметру \lambda_{}:

(x-\phi(\lambda)) \phi^{\prime}(\lambda) +(y-\chi(t))\chi^{\prime}(\lambda)+(z-\psi(\lambda))\psi^{\prime}(\lambda)=0 \ .

Уравнение огибающей поверхности получается исключением параметра \lambda_{} из этой системы уравнений. В приведенном частном случае уравнения дискриминантной поверхности:

(x-R \cos \lambda)^2 + (y-R \sin \lambda)^2+z^2-r^2=0,\quad x\sin \lambda - y \cos \lambda =0 \ .

Исключаем \lambda_{}. Из первого уравнения имеем:

(x^2+y^2+z^2+R^2-r^2)=2R(x \cos \lambda+ y \sin \lambda) \ .

Возводим в квадрат:

(x^2+y^2+z^2+R^2-r^2)^2=4R^2(x^2 \cos^2 \lambda+ y^2 \sin^2 \lambda+2 xy \cos \lambda \sin \lambda) \ .

Представим правую часть в виде

4R^2(x^2 (1-\sin^2 \lambda)+ y^2 (1-\cos^2 \lambda)+2 xy \cos \lambda \sin \lambda)= 4R^2(x^2+y^2)-4R^2 (x^2\sin^2 \lambda+ y\cos^2 \lambda-2 x y\cos \lambda \sin \lambda )=
=4R^2(x^2+y^2)-4R^2 (x\sin \lambda - y \cos \lambda)^2 \ .

Теперь воспользуемся вторым из уравнений, задающих дискриминантную поверхность. Уравнение огибающей поверхности:

(x^2+y^2+z^2+R^2-r^2)^2=4\,R^2(x^2+y^2) \ .

Что это за поверхность?

Задачи

Источники

[1]. Бертранъ Ж. Дифференцiальное исчисленiе. СПб. Изд-во «Наука и жизнь», 1911

[2]. Дингельдэй Фр. Сборникъ задачъ по приложенiю дифференцiальнаго и интегральнаго исчисленiй. Часть I. Дифференцiальное исчисленiе. СПб. 1912. Типография Суворина

[3]. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. М.Едиториал УРСС, 2003

[4]. Серре И.А. Курсъ дифференцiальнаго и интегральнаго исчисленiй. Т.I. М.-СПб. Изданiе т-ва М.О.Вольфъ. 1883

[5]. Толстой А.Н. Гиперболоид инженера Гарина. М.Художественная литература. 1983. Текст можно найти ☞ ЗДЕСЬ

[6]. Фотография — Paul Venter; оригинал ☞ЗДЕСЬ.

1) \kappa \alpha \upsilon \sigma \tau \iota \kappa \eta (древн.греч.) — жгучая, жалящая
2) В источнике не указан какой именно фут имеется в виду, оценка приведена для фута саксонского.
3) Сообщение о замечательных эффектах одного нового зажигательного зеркала.
4) Может быть также получена как след, заметаемый фиксированной точкой окружности, катящейся без проскальзывания по другой окружности.
5) evolutus (лат.) — развернутый; evolvens, (род. падеж evolventis) — разворачивающий

2014/01/06 00:27 редактировал au