УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к разделу ☞ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА


?

Вычислить сумму всех корней n_{}-й степени из 1_{}.

Решение. Пусть n>1. Если

\varepsilon_k=\cos \frac{2\pi k}{n} + \mathbf i \sin \frac{2\pi k}{n} \quad npu \quad k\in\{0,1,\dots,n-1\} \ ,

то, по формуле Муавра, \varepsilon_k = \varepsilon_1^k.

\varepsilon_0+\varepsilon_1+\dots+\varepsilon_{n-1}=1+\varepsilon_1+ \varepsilon_1^2+\dots+\varepsilon_1^{n-1}=\frac{\varepsilon_1^{n}-1}{\varepsilon_1-1}=0

поскольку \varepsilon_1^n =1.

Ответ. 0_{} при n>1.

=>

Если \varepsilon_{} — какой-то корень n_{}-й степени из 1_{}, то

1+ \varepsilon+ \varepsilon^2+\dots + \varepsilon^{n-1} = \left\{ \begin{array}{ccc} n & npu & \varepsilon=1 , \\ 0 & npu & \varepsilon\ne 1 . \end{array} \right.

=>

Если \{\varepsilon_j\}_{j=0}^{n-1} обозначают корни n_{}-й степени из единицы, то

\varepsilon_0^k+ \varepsilon_1^k+ \varepsilon_2^{k}+\dots + \varepsilon_{n-1}^{k} = \left\{ \begin{array}{ccc} n & npu & k\equiv 0 \pmod{n} , \\ 0 & npu & k\not\equiv 0 \pmod{n} . \end{array} \right.

§

Последний результат можно переформулировать в терминах сумм Ньютона уравнения z^n-1=0 деления круга.


2011/06/21 17:24