УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


Вспомогательная страница к разделу КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА


Выражение cosn φ и sinn φ через косинусы и синусы кратных углов

Задача. Выразить \cos^n \varphi и \sin^n \varphi через косинусы и синусы кратных углов, т.е. через \cos \varphi,\sin \varphi,\cos 2\varphi , \sin 2\varphi ,\dots, \cos n\varphi , \sin n\varphi.

Для пояснения идеи решения рассмотрим сначала случай n=6. Обозначим z= \cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi, тогда 1/z=\cos \varphi - \mathbf i \sin \varphi =\overline{z}. Легко показать справедливость формулы:

z^k+\frac{1}{z^k}=2\, \cos k \varphi \ npu \ k \in \mathbb N \ .

Рассмотрим выражение (z+1/z)^6. С одной стороны, оно равно 2^6 \cos^6 \varphi. С другой стороны, формула бинома Ньютона позволяет выписать разложение:

(z+1/z)^6=z^6+ C_6^1 z^4 + C_6^2 z^2 + C_6^3 + C_6^4 \frac{1}{z^2}+ C_6^5 \frac{1}{z^4} + \frac{1}{z^6} =

Воспользуемся симметрией ряда биномиальных коэффициентов (см. свойство 3 ЗДЕСЬ ): C_6^1=C_6^5,\ C_6^2=C_6^4, получаем

\qquad =\left(z^6+ \frac{1}{z^6} \right) + C_6^1 \left(z^4+ \frac{1}{z^4} \right) + C_6^2 \left(z^2+ \frac{1}{z^2} \right) + C_6^3 =
\qquad = 2\, \cos 6 \varphi + 2\, C_6^1 \cos 4 \varphi + 2\, C_6^2 \cos 2 \varphi + C_6^3 \ .

Сравнивая два выражения, приходим к искомой формуле:

\cos^6 \varphi=\frac{1}{32}\left(\cos 6 \varphi + 6\, \cos 4 \varphi + 15\, \cos 2 \varphi + 10 \right) \ .

Аналогично доказывается и общая формула:

2^n \cos^n \varphi =2\, \cos n \varphi + 2n \, \cos (n-2) \varphi + 2C_n^2 \cos (n-4) \varphi + \dots + \left\{ \begin{array}{ccc} C_n^{n/2} & npu & n\ 4ETHOM , \\ 2C_n^{(n-1)/2} \cos \varphi & npu & n\ HE4ETHOM . \end{array} \right.

Выведение аналогичной формулы для \sin^n \varphi возможно с помощью равенства

z^k-\frac{1}{z^k}=2\mathbf i\, \sin k \varphi \ .
2^n \sin^n \varphi= \left\{ \begin{array}{rl} (-1)^{n/2}\left( 2\, \cos n\varphi - 2n\, \cos (n-2) \varphi + 2C_n^2 \cos (n-4) \varphi - \dots +(-1)^{n/2} C_n^{n/2} \right) & npu \ n\ 4ETHOM , \\ (-1)^{(n-1)/2}\Big( 2\, \sin n\varphi - 2n\, \sin (n-2) \varphi + 2C_n^2 \sin (n-4) \varphi - \dots + (-1)^{(n-1)/2}2C_n^{(n-1)/2} \sin \varphi \Big) & npu \ n\ HE4ETHOM . \end{array} \right.

2011/03/13 22:14 редактировал au