Многозначные комплексные функции

!

Материал настоящего раздела очень сложен и может быть пропущен при первом чтении.

На примере решения задачи об извлечении корня из комплексного числа z мы столкнулись с проблемой неоднозначности ответа: формальное определение числа w из соотношения w^n = z приводит к n значениям. Эта проблема проявляется и в вещественном случае: корень квадратный из числа 4 имеет два вещественных значения. Если мы договоримся в качестве \sqrt{x} понимать единственное неотрицательное значение корня из неотрицательного аргумента, то таким образом определенная функция становится функцией в классическом понимании: каждому значению аргумента x\ge 0 соответствует единственное значение арифметического квадратного корня. Эта функция оказывается непрерывной при x \in [0,+\infty [. Из этого свойства, в частности, следует, что при произвольном непрерывном изменении аргумента x со стартовой точкой в x=4, при возвращении в эту точку значение функции остается равным 2.

Попробуем избавиться от многозначности функции \sqrt{z} в комплексной плоскости. Будем считать корень квадратный с использованием тригонометрической формы комплексного числа z= \rho ( \cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi ) по формуле

\sqrt{z} = \sqrt{\rho} \left(\cos \frac{\varphi}{n} + \mathbf i \sin \frac{\varphi}{n}\right) \, .

Таким образом \sqrt{1}=1. По аналогии с вещественным случаем, можно ожидать, что при непрерывном изменении z значения функции будут меняться непрерывно, т.е. в окрестности z = 1 значения \sqrt{z} должны оставаться близкими к 1.

§

В этом месте следовало бы ввести строгое определение непрерывности функции комплексной переменной, но я просто ссылаюсь на непрерывность функций \sqrt{ \cdot }, \cos, \sin как функций вещественных аргументов.

Продолжаю. Можно ожидать, что если изменять z в комплексной плоскости \mathbb C по любой непрерывной и замкнутой кривой, проходящей через z=1, то при возвращении в точку z=1 мы получим исходное значение функции \sqrt{z}=1. И это ожидание подтверждается примерами, иллюстрируемыми рисунками

Но не подтверждается примером окружности |z|=1:

при однократном обходе которой значение \sqrt{z} меняется с +1 на -1.

Вопросы, порождаемые этим примером:

1. Почему это произошло? В чем заключается принципиальное отличие последнего рисунка от предыдущих?

2. Что с этим делать? Как обеспечить непрерывность функции \sqrt{z}?


2019/12/31 19:37 редактировал au